《高等代數(shù)》學習筆記

1、學習好資料歡迎下載高等代數(shù) ( 上) ：學習筆記這是我自學的筆記做成的電子檔，其中有許多注釋，盡量深入淺出，以供大家學習。有些筆誤也修正差不多了。課本和王德明老師的符號略有不同，但意思是一樣的，祝大家都能通過考試。第一章行列式§ 1.1定義D = |23|= 2×4- 3×1= 5A = 23 (23)14|D| ）1414這是行列式（或?qū)憺檫@是矩陣，注意區(qū)別a11 x1 +a12 x2a21 x1 + a22 x2a31 x1 + a32 x2+ a13 x3+ a23 x3+ a33 x3= b1= b2這是三元線性方程組= b3a11a12a13= a11

2、a22 a33+ a12 a23 a31 + a13 a21 a32D = |a21a22a23 |-a 11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31a31a32a333 階行列式右下斜線為正代數(shù)和左下斜線為負§ 1.2逆序數(shù)逆序數(shù) (j1 ,j2 , ?,j n )偶排列，正號奇排列，負號n 階排列，有 n!個§ 1.3 n階行列式的代數(shù)和判斷逆序數(shù)的奇偶性a11a12?a1na21a22?a2n(-1 )(j 1,j 2 ,?,j n ) a1j 1 a2j 2 ? anj nD = | = ?(j 1,j 2 ,?,jn )an1an2

3、?annn 階排列§ 1.4行列式性質(zhì)1、行列式轉(zhuǎn)置值不變：2、 k 可以乘上某行( 列) ：3、加法：某行之和展開為兩行列式之和：4、互換兩行 (列 )：負號5、兩行相同 (成比例 )：零值6、某行乘以k 加到另一行：值不變DT=DkDrow iDrow(a+b)= Drow(a)+ Drow(b)Drow i ?rowk =-DDrow i =k× row k = 0Dk× row i +row k = D學習好資料歡迎下載§ 1.5代數(shù)余子式所在行列的和 (同等于逆序數(shù) )Aij = (-1)i+j Mij代數(shù)余子式余子式：刪去 i, j 所在的行

4、與列后得到的n-1 階行列式n 階行列式 |D| = ak1 Ak1+ ak2 Ak2 + ?+ akn Akn( k = 1, 2, ? ,n) 即展開第 k 行 ( 列)§ 1.6范德蒙行列式111?1a1a2a3?an|D| = a12a22a23?a2n=(a i -aj )|?|1 j<? ?n-1n-1n-1?n-1表示所有可能的差i>ja1a2a3an如： (4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2- 1)第二章線性方程組§ 2.1克萊姆法則b1a12a13解集： xi = DDi (D 0)D1 = | b2a22a23 | D2 、

5、 D3類似左邊b3a32a33系數(shù)行列式 (b 在 1 列)當 D 0 時，方程組有唯一解：x1 =D 1, x2=D 2, x3 =D 3.(D 0)該解法適用于n 階DDD只有當常數(shù)項 b 不全為零時，且s=n 時才可用克萊姆法則§ 2.2消元法初等變換：反復對方程進行row 變換，最后剩下一個上三角矩陣。如果線性方程組D 0，則初等變換后的上三角矩陣，元首都不為0。§ 2.3數(shù)域§ 2.4 n維向量P：包含 0、 1 且任意兩個數(shù)的基本運算仍屬于P。 如實數(shù) R，有理數(shù)Q，復數(shù) C1000= (a1, a , a , ? ,an)( , , ,) =0 1

6、002 312 3 40010n 維基本向量組0001數(shù)量乘積： k 零向量： 0負向量： - 行向量與列向量：row(column)學習好資料歡迎下載§ 2.5線性相關= k + k + ? + krank=n，有唯一解1 12 2s srank<n，有無窮多解由向量組線性表出線性組合充要充要充要系數(shù)矩陣 r = 增廣矩陣 r線性相關 ?k 有解 ?可線性表出 ?互相線性表出向量組等價： (, 2,? , n ) ?1k + k + ? + k 1122ss常數(shù)項為0 的充要條件線性相關( , , ? , )12n= 0線性無關有待更進一步補充K 有解，且不全 0K 只有零解

7、| |0|D| 0Ds < ns = n時不一定都可被 ( , ,? , ) 線性表出不能被 ( , , ? , )線性表出11i2ni2n不可逆，因為分母不能為 0可逆r<n，稱退化的r=n 稱非退化 (或滿秩 )特征值 有重根，不一定相關特征值 無重根一定無關極大線性無關組： 每個向量 i 都不能被前面某些向量線性表出例 ( , , )123不能表出，即 k + k 31122§ 2.6秩rank= 極大線性無關組的向量個數(shù)行秩列秩行列式秩(D 最高階子式 0)§ 2.7求全部解和基礎解系的步驟詳見書 P154-155 頁 例 6初等變換第一步：求梯陣增廣矩

8、陣 A 梯陣第二步：求一般解求x1 ,x2 ,? ,xr 的一般解注：如果是求矩陣化和求特征值，第三步：求特解 0設自由 x = 0，求 只需求基礎解系 ，又稱特征向量in-r 個0第四步：求齊次的一般解使常數(shù) b = 0，求一般解 x1 ,x2 ,?,xr第五步：求基礎解系將代入自由 x，求基礎解系 , , ?, 即 n 維基本向量組i12n-r即x r+1 , xr+2 , ? ,xn-ri第六步：答：得全部解= + ? + kn-r0+ k 1 1+ k2 2n-r全部解特解基礎解系學習好資料歡迎下載第三章矩陣附 1：矩陣名詞匯總：方陣：s = n初等變換系數(shù)矩陣：s ×nb

9、即系數(shù)等價矩陣：A ?B增廣矩陣：s ×(n + b)初等矩陣：E 初等變換一次梯陣：左下=0左下：對角線左三角形正交矩陣：AAT = E，|A| = ±1約化梯陣：左下 0，元首 1相似矩陣：AB, B X-1 AX三角矩陣：左下 0， s = n約當形矩陣：對角矩陣：除對角線，余為0 對角線上的元素二次形矩陣： 詳看 §5.1單位矩陣：E，對角 1實對稱矩陣： 實數(shù)，對角線對稱零矩陣：O，全 0( 半 )正定矩陣： 全 ( )> 0即特征值數(shù)量矩陣：kE( 半 )負定矩陣： 全 ( )< 0轉(zhuǎn)置矩陣：AT不定矩陣：不全 >?<0分塊矩陣

10、：?標準形矩陣： 對角線 1 or 0? ?滿秩矩陣：rank = nRank 即矩陣的秩逆矩陣：A-1伴隨矩陣：A?附 2：一般 n 維線性方程組、 s×n維矩陣、 n 維向量組的表示法a11 x1 + a12 x2 + ? + a1n xnf( x1, x2, ? , xn ) = a21 x1 + a22 x2 + ? + a2n xn?as1 x1 + as2 x2 + ? + asn xn= b1= b2?= bs注： bi 全為 0 時，稱齊次線性方程組bi 不全為 0 時，稱非齊次線性方程組a11a12? a1nx1b1a21a22? a2nx2b2AX= B?=? a

11、s1as2? asn xn bs 注： s 為行數(shù)， n 為列數(shù) (未知數(shù)個數(shù) )附：有的書行數(shù)用m 表示= k + k + ? + k 1122nn1=( a11,a21, ?,as1 )2=(a12,a22, ?,as2 )? ? ? =( a,a2n,?,a )n1nsn= ( b1 ,b2 ,? , bs )注：這個 k既可理解為：基礎解系 的系數(shù) kiii也可以理解為：矩陣對角化后對角線的元素1還可以理解為：二次型|E- A|的特征值 1(同上句 )附：本書中用拉丁字母表示向量 (或稱矢量， 但王老師或某書中用“ ?”表示，我認為不錯，不易混淆。學習好資料歡迎下載§ 3.1

12、矩陣運算1、加 (減)法：A ±B各個元素對應相加（減） ，即 aij ±bij性質(zhì)：交換律： A±B= B±A結(jié)合律： A +()B+C =(A+B)+C2、乘法：C= A×B201 5cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ? + ain bnj×+×+×12321-155-5例：AB= 2-11 021 = 5 0 -5 注： A 的|row|=B 的 |column|性質(zhì)：02410-244-1AB 不一定 = BA（當 AB = BA，稱可交換）AE= EA= A結(jié)合律： A( BC) = (

13、 AB)Ck 次冪： Ak ?Al = Ak+l(A k ) l = Akl非交換律： (AB) k Ak Bk§ 3.2分塊分塊后矩陣的基本運算依然等價詳見書 P183 頁ABA?B=A1A2B1B2 =A1B1 + A2B3A1 B2 + A2B4 AA BBAB+A4BAB+A4B4343431332§ 3.3逆矩陣A11A21?An1A12A22?An2伴隨矩陣： A? =?A1nA2n?Ann 求逆公式： A-1 = 1A?|A|1、求 aij 的代數(shù)余子式Aij2、對應的元素要轉(zhuǎn)置§ 3.4等價矩陣初等變換等價矩陣： A B初等矩陣： 由 E做1次初等

14、變換標準形：同時做行、列變換，對角線為1的個數(shù) r行變換用單位矩陣求逆： AE EA-1附：這是一個求逆的簡便方法，但易出錯，3 階矩陣建議用求逆公式。學習好資料§ 3.5正交矩陣性質(zhì):AAT = ATA= E|D| = ±1( ,) = a1 b1 + a2 b2 + ? + an bn = 0向量組的內(nèi)積內(nèi)積公式內(nèi)積性質(zhì)：()( )()分配律：+ ?=, +,結(jié)合律： (,)= ( ,)交換律： = 歡迎下載1122202112220例：2112-0又稱正交向量組，222112,一定線性無關 2-022任意兩行或列的內(nèi)積必為0正交化：1 , 2 , ?, n 線性無關，

15、求正交化的, , ?, n 的公式12詳見書P219頁 例 11= 1( )2 = 2 -2 , 1( 1, 1) 1 = -( , )( , )施密特正交化方法21 -3233() 1( ) 21,12 ,2附：由于向量通常是指列向量， = -( , ) -( , )- ? -( , )（ s = r)2 1(3 2s s-1ss( , )1 , )2( , )s-1如把 改 更易理解，謹記！1 12 2s-1s-1sn單位化：正交向量組（又稱歸一化）注： | =ii| = ( , )|1 1ii這里我設 i = (h 1i,h 2i ,? , hsi ) ，數(shù)學中并沒有明確規(guī)定符號正交單位

16、向量組33第四章 矩陣的對角化附：正交化向量關系圖§ 4.1相似矩陣0ABB = X-1AXc32c311、反身性： AAc32、對稱性： AB BAc223、傳遞性： AB, BC AC2 =1 = 1A=|B|2 -c2 ，且有矩形 02 2 c24、行列式等值： | |3 =3 -c3 ，且有矩形 03 3 c35、同時可逆 or 不可逆11、有相同的特征多項式6、B1 + B2 = X-1 (A1 + A2)X12、有相同的特征值7、 B1 B2= X-1 (A1 A2)X13、有相同的跡（即對角線元素個數(shù)）8、 kB1 = X-1(kA 1 )X9、 f(B) = X-1

17、f(A)X10 、 kE = X-1(kE)X2對角矩陣： a1 ,a2 ,a3 ,? , an 準對角矩陣：A 1 , A2, A3, ? ,An注：這里的 Ai 是指分塊矩陣，不是代數(shù)余子式學習好資料歡迎下載§ 4.2特征值和特征向量A= 0 特征向量n 階矩陣特征值求全部特征向量的步驟：詳見書 P241頁 例 1第一步：列出特證多項式特征多項式- a11a12?-a-a 21- a22?-a1n2nf( ) = | E- A| =|= ( 1- d1 )( 2- d2 ) ? ( 3- dn )( )?|d 是系數(shù)i特證值 根特征矩陣- an1-a n2 ?- ann第二步：求

18、的解注：考慮是在 Q、 R、 C 數(shù)域范圍內(nèi)，特征根的個數(shù)不同第三步：求基礎解系將代入 |E-A|，求基礎解系見 §2.7 第五步i即第四步：答：得特征向量屬于 的特證向量：1屬于 的特證向量：2k + k + ?1122等價于基礎解系，只是表示方法略不同l + l + ?1122§ 4.3對角化條件A 與對角矩陣相似，稱 A 對角化B=X -1條件注： X，即 A 的特征向量構(gòu)成的矩陣， X 不是唯一的。AX充要：有 n 個線性無關的特征向量，A B即 n 個不同的特特征值充要：有 n 個線性無關的特征向量一定是對角形矩陣X 即 A 的特征向量構(gòu)成的矩陣§ 4.

19、4實對稱矩的對角化任何實對稱矩陣都可以對角化求正交矩陣 T 的步驟詳見書 P257 頁 例 1第一步：求特征值即|E-A| ，求 見 §4.21代 |E- A|，求基礎解系1見§2.7 第五步第二步：求 的特征向量1第三步：求特征向量 的正交化2,? ,n見§ 3.511 ,第四步：求單位化, ,? ,見§ 3.51 2n第五步：重復第二、三、四步，with2 , 3, ? , nh11h12?h1n ?h21h22?h2n第六步：得正交矩陣? 注：有時候會有重復個相同的特征T= 12n = ?hn1h n2?h nn值的特征向量學習好資料歡迎下載第五章

20、 二次型§ 5.1二次型及矩陣表示二次齊次多項式f (x1, x2 ,? , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1x2 + ? + 2a1n x1xn+a 22 x22 + ? + 2a2n x2 xn+?+a nn x2n設 aij = aji ，得 （注：系數(shù)是左等式的一半）= a11 x12 + a12 x1x2 + ? + a1n x1 xnnn+a 21 x2x1 + a22 x22 + ? + a2n x2 xn= aij xi xj+?i=1j=1+a n1 xn x1 + an2 xnx2 + ? + a nn xn2a11a12?a1nx1a21a22?

21、a2nx2= XT AX = x1, x2 ,? , xn 這 A 是二次型矩陣，且一定是對稱矩陣? an1an2?ann x n 合同矩陣：A ? B即B = CT AC注：合同的不一定相似性質(zhì)：1、反身性： A ? A2、對稱性： A? BB? A3、傳遞性： A? B,B? CA? C4、 | B| = |C|2 |A|§ 5.2正交替換化為標準形步驟詳見書 P275-277 頁 例 1第一步：化為二次形矩陣將二次齊次多項式寫成二次形矩陣第二步：求特征值 求 |E|的特征值 見§ 4.21-A1第三步：求基礎解系代入 |E-A|求基礎解系見§2.71第四步：

22、求正交化和單位化見 §3.5第五步：重復三、四步， with, , ?, 2 3n第六步：將全部單位化向量表示為正交矩陣Tx1 = a11 y1 + a12 y2 + ? + a1n yn第七步：答：得X = TY x2 = a21 y1 + a22 y2 + ? + a2n yn? xn = an1 y1 + an2 y2 + ? + ann yn注：數(shù)學中沒有明確規(guī)定單位化向量中元素的符號，如將 aij 改hij將便于與 §4.2理解第八步：答：得標準形： y 2+ y2+ ? + y 2這是標準形，是平方和形式1 12 2n n學習好資料歡迎下載§ 5.3非

23、退化線性為標準形（略）詳見書 P278 頁整節(jié)A方法：先做列變換，后做對稱的行變換（先列后先，這稱E T一個變換周期），直到使 A 為對角矩陣，則T 即使 X=TYA|E |T方法：方法同上，但是先行后列，且最后得到的T 要轉(zhuǎn)置§ 5.4規(guī)范形注意：用非退化線性求出來的矩陣與原矩陣是合同關系，非相似！都可替換為標準形一定是對角矩陣，且不是唯一的，原二次型r=對角非零元素個數(shù)任意二次型 都可替換為一定是對角矩陣，是唯一的，原二次型r=對角非零元素個數(shù)任意二次型 規(guī)范形z2+ z2+ ? + z2-z2- ? - z2這是規(guī)范形，是平方和形式12pp+1r正慣性指數(shù) ：即 p負慣性指數(shù)：

24、即 r-p注：規(guī)范形由zi =得來，去掉 0 元素i yi符號差：即兩個相減，正慣性指數(shù)負慣性指數(shù)§ 5.5正定二次型充要條件：1、其標準形的系數(shù)i> 02、其規(guī)范形的正慣性指數(shù)p = r3、有可逆矩陣 C，使二次型A= CTC4、二次型的特征值i> 0注：這和第 1 點是同一個概念5、所有的主子式|M|>0注： 有的書稱為順序主子式，即從a11 aii 所構(gòu)成的行列式值正定矩陣：即> 0所有的主子式 |M| > 0i負定矩陣：即< 0所有的 奇階 主子式 |M| < 0且偶階 主子式 |M| > 0i半正定矩陣：即i 0半負定矩陣：即

25、i 0不定矩陣：即i> ?< 0第八章線性空間§ 8.1定義與性質(zhì)線性空間條件? = = k °性質(zhì)：1、交換律： ? = ? 2、結(jié)合律： ( ? )? = ? ( ? )3、零律： ? = 注： 元素不一定是 04、負律： ? = 注： 即 - ,Vk, l P稱 V 為數(shù)域 P 上的線性空間5、壹 律：1 °= 6、結(jié)合律：k( l °) = (kl) °7、向量分配律：( k + l) °= k °?l°8、數(shù)量分配律：k °(? ) = k °?k°注： ”? ”

26、即向量加法， ”°”即向量乘法，但這只是為了區(qū)別通常加(乘 )法，所以有時用普通符號”+ ”, ×” ,?”表示也可以的。求 V 是否為線性空間的方法：性質(zhì)推廣：1、根據(jù)題目給定的向量加法和數(shù)乘的定義1、 ? ? ，其加法不計先后2、證明在該定義下V 都符合以上 8個性質(zhì)2、是唯一的這個證明需要多做題練習掌握3、-由 唯一確定 4 ?= ? = 則§ 8.25、 k =0 或 = 時，充要 k = 6、 (-k)= -k 系數(shù)重述一些符號定義：= k11 + k2 2 + ? + ks siV0、 a, b, c, 表元素kiP1、 k, l, m, 表系數(shù)2、

27、, ,表,向量由1, 2, ,n 線性表出線性組合3、 x, y, x, 表未知數(shù)4、下標 1, 2, 3, 表第幾個數(shù)（即總結(jié)上冊所有知識）5、下標 i, j ,k, , 表任一個數(shù)6、下標 s, m ,n, 表總個數(shù)1、任一 都可由 , , , 線性表出，則線性相關i12s2、k i 不全為0 ，使 k 1 1 + k 2 2 + ? + k ss= 0成立，線性相關；反之k i 為 0 時等式才成立，線性無關3、向量組有 零向量，則線性相關4、部分向量組線性相關，則向量組也線性相關5、至少有一 可由其余向量線性表出，則線性相關（注意區(qū)分第1 點）11 ,2 , , s, 6、1 , 2

28、, , s線性無關，但線性相關 可由其線性表出，則 7、|D| = 0，則線性相關； |D| 0，則線性無關互相線性表出8、 1 , 2 , , s ?1, 2, , s，稱等價的, , , 9、 , , , 可由 , , s > t則線性相關1 2s1 2t線性表出，且12s如果 1 , 2 , , s是線性無關，那么 s t10 、在 1, 2 , , s中，部分向量組線性無關，但添加其余向量后線性相關，稱極大線性無關組11 、 1, 2 , , s都可由部分向量組( 線性無關 ) 線性表出，后者稱極大線性無關組12 、1, 2, , s中，每個i不能被1 , 2 , ,i-1( 即

29、 前面向量組 ) 線性表出，線性無關 ( ii 0 且 i 2)等價等價13 、向量組中，任一極大線性無關組? 原向量組 ?另一個極大線性無關組14 、線性無關組，其秩r = sr( ) r( )15 、 1, 2 , , s可由1, 2, , t線性表出，則秩相等；向量組等價，則秩r 相等；秩 r 相等且 i1, 2, , t線性表出，則向量組等價。§ 8.3n 維線性空間： V 中有 n 個向量線性無關，但當n+1 個向量時線性相關注：此定義雷似極大線性無關組無限維線性空間：V 中有任意多個線性無關的向量零空間： 維數(shù) n = 0V 是 n 維的條件： V 中任意向量都可由, , , 線性表出1 2n坐標= a + a + ? + a 1122nnV 的任意向量基矩陣表示換個字母x?= x?=?V 中任意向量基坐標另組基另組坐標附加說明： 對于這種常見的線性表出， 已出現(xiàn)多次， 它們的性質(zhì)意義是一樣的， 只是叫法不同，應該提升到一個規(guī)律性的認識。為書寫簡便，定義符號：（自創(chuàng) , 考試勿用）x1x? 表示 x2 ， x? 表示 x1 x2 ? xn ?xn學習好資料§ 8.4基變換與坐標