電容電感電壓電流關(guān)系

1、第七章電容元件和電感元件前幾章討論了電阻電路，即由獨立電源和電阻、受控 源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電 壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實際電路的 分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路 模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對時間的 微分或積分，稱為動態(tài)元件。含動態(tài)元件的電路稱為動態(tài) 電路，描述動態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種 儲能元件一電容元件和電感元件。再介紹簡單動態(tài)電路微 分方程的建立。以后兩章討論一階電路和二階電路的時域 分析，最后一章討論線性時不變動態(tài)電路的頻域分析。§7-1電容元件一.電容元件集總參數(shù)電路中與電場有關(guān)的

2、物理過程集中在電容元 件中進行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需 的一種理想電路元件。電容元件的定義是：如果一個二端元件在任一時刻,其電荷與電壓之間的關(guān)系由"吆平面上一條曲線所確定，則 稱此二端元件為電容元件。(a)(b)圖7-1(Cl)電容元件的符號和特性曲線如圖7-l(a)和(b)所示。圖71(a) 電容元件的符號(c)線性時不變電容元件的符號(b) 電容元件的特性曲線(d)線性時不變電容元件的特性曲線其特性曲線是通過坐標原點一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。q(a)(b)(c)(d)圖7-1線性時不變電容元件的符號與特性曲線如圖(c)和(d)所

3、示，它的特性曲線是一條通過原點不隨時間變化的直線， 其數(shù)學表達式為q = Cu(7-1)式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電 容，單位是法拉，用F表示。實際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化 很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下， 可以用一個電容作為它的電路模型。當其漏電不能忽略時, 則需要用一個電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個電感來構(gòu) 成電容器的電路模型，如圖72所示。圖7-2電容器的幾種電路模型二.電容元件的電壓電流關(guān)系對于線性時不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián) 參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式(7-2)此式表明

4、電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正 比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不 同，電容電流與此時刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束 關(guān)系O在直流電源激勵的電路模型中，當各電壓電流均不隨時間變化的情況下，電容元件相當于一個開路（上0）。在已知電容電壓u的條件下，用式(62)容易求出其電流誼)。例如已知C=dyF電容上的電壓為w(0=10sm(50V,其波形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為圖7-3xd10sin(5/)dt= 50x106cos(5/)A=50cos(5f)“A例71已知C=05“F電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示,試求電壓電流釆用關(guān)聯(lián)參考方向時

5、的電流心，并畫出波形圖。2圖7-4例7-1門 «c/V/MA圖7 - 4例7 - 1解：根據(jù)圖7 - 4(a)波形，按照時間分段來進行計算1當OUWls時，uc(t)=2t,根據(jù)式7 - 2可以得到d”廠d(2Z)ic(t) = C = 0.5x10一 = 1 x 10_ A = 1/zAc&&嚴2當ls<<3s時，mc(0=4-2Z,根據(jù)式7 - 2可以得到ic（t）=c = 0,5 X106 dT1 = _1 x 10 6 A = W圖7-4例7-13當3s<<5s時，wc(0=-8+2r,根據(jù)式7-2可以得到du廠人d(8 + 2t)入4

6、當5sM時，Mc(Z)=12-2r,根據(jù)式7-2可以得到0.5 x 10"d(12-2Z)dt=lx 106A = 1/zA根據(jù)以上計算結(jié)果，畫出圖7 - 4(b)所示的矩形波形。在已知電容電流ic（f）的條件下，其電壓"c（f）為1 ft«c（O = -fC J-8T_c ©d § + 右"c ©叱譏（O）+ ：J）c© 叱（7-3）其中1 e o（O）= -J_jc（）d稱為電容電壓的初始值，它是從Q- 8到Q0時間范圍內(nèi)流 過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。I/OIff(7 3)=g Ic ©

7、;d § + Q "c © 心 (0) + J ic ©d §式(7 - 3)表示40某時刻電容電壓叫等于電容電壓的 初始值叫(0)加上心0到(時刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累 電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個直流電壓源叭(0)和一個初始電壓為零的電容的串聯(lián) 如圖7-5所圖7-5I/OIff(7 3)=g Ic ©d § + Q "c © 心 (0) + J ic ©d §從上式可以看出電容具有兩個基本的性質(zhì)(1)電容電壓的記憶性。從式(7-3)可見，任意時刻F電容電壓的數(shù)

8、值(門， 要由從8到時刻F之間的全部電流匚來確定。也就是說, 此時刻以前流過電容的任何電流對時刻T的電壓都有一定 的貢獻。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的 電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。例7-2電路如圖7 - 6(a)所示，已知電容電流波形如圖7- 6(b)所示，試求電容電壓uc(t),并畫波形圖。/c/MA圖76123456 t/s(b)(a)(b)圖7-6解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時間分段來進行計算1. 當広0時，茲二。，根據(jù)式73可以得到 %()= ：ic()d = 2xl06j' Od = O2. 當o<r<ls時，aglyA,根據(jù)式

9、73可以得到%(/)=丄ic(g)dg = wc(0) + 2x 106J: 10_6d = 0 + 2/ = 2(8 0當 t = ls 時 wc(ls) = 2V3. 當ls<Z<3s時，fc(0=0,根據(jù)式7 - 3可以得到ic(§)d§ = wc(1) + 2x106J；0d§ =2V + 0 = 2V當 r = 3s 時 uc (3s) = 2V4. 當3sUv5s時，zc(0=1|liA,根據(jù)式7 - 3可以得到 "c(° =右 J ic()d = wc(3)4-2xlO6j4o6d =2 + 2(t - 3) 當 t

10、= 5s 時 wc(5s) = 2V + 4V = 6V5. 當5sU時，ic(O=°，根據(jù)式7 - 3可以得到c(f)=汀 ic()d< = %(5) + 2 x 106J ；Odf =6V + 0 = 6V根據(jù)以上計算結(jié)果，可 以畫出電容電壓的波形如圖(C) 所示，由此可見任意時刻電 容電壓的數(shù)值與此時刻以前 的全部電容電流均有關(guān)系。例如，當lsVv3s時，電 容電*c(/)=0,但是電容電壓 并不等于零，電容上的2V電 壓是OVvls時間內(nèi)電流作用的 結(jié)果。' Zc/MAO 123456/s圖7-6圖7 - 7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸

11、出電壓波形如圖(b)中實線所示保持輸入電壓眈訕波形如圖(b)中虛線所示中的峰值。圖7-7峰值檢波器電路的輸入輸出波形(2)電容電壓的連續(xù)，性從例7-2的計算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不 連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即 電容電流在閉區(qū)間百®有界時，電容電壓在開區(qū)間(心婦)內(nèi) 是連續(xù)的。這可以從電容電壓.電流的積分關(guān)系式中得到 證明。將t=T和t=T+6t代入式(6 - 3)中，其中tl<T<t2和 /產(chǎn)卩+(1心2得到Aw = wc(T + d/)-wc(T) = -J7 ic(§)dg|g

12、o T0 當進)有界時當電容電流有界時，電容電壓不能突變的性質(zhì)，常用 下式表示Uc C+） = uc （匚）對于初始時刻仁0來說，上式表示為uc(Q+) = uc(Q(6 4)利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)發(fā)生作 用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說明。例7-3圖7-8所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在歸0時刻斷開瞬間電容電壓的初始值wc(0+).解：開關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定 值，造成電容電流等于零，即ic (f) = C= 0&圖7-8電容相當于開路。此時電容電壓為%（0=R1 usR+R2當開關(guān)斷開時，在電阻和鳥不為零的情況下，電容電流為有限值，電容

13、電壓不能躍變，由此得到"c（°+）= "c（°_）=例7-4電路如圖7-9所示。已知兩個電容在開關(guān)閉合前一瞬 間的電壓分別為wc1(0.)=0V,wC2(0.)=6V,試求在開關(guān)閉合后一 瞬間，電容電壓wcl(0 + ),wC2(0 + ) o圖7-9解：開關(guān)閉合后，兩個電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個 電容電壓必須相等，得到以下方程C1（°+）= “C2（°+）再根據(jù)在開關(guān)閉合前后結(jié)點的總電荷相等的電荷守恒 定律，可以得到以下方程Ci”ci（°+） + C2WC2（O+） = CUci（O_） + C2wC2（0_）聯(lián)立求

14、解以上兩個方程，代入數(shù)據(jù)后得到WC1（O+） = %C2（°+）= 3V兩個電容的電壓都發(fā)生了變化，wcl（0由0V升高到3V, %2（丫）則由6V降低到3V。從物理上講，這是因為電容上 有3yC的電荷移動到C上所形成的結(jié)果，由于電路中電阻 為零，電荷的移動可以迅速完成而不需要時間，從而形成 無窮大的電流，造成電容電壓可以發(fā)生躍變。三、電容的儲能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電容的吸收 功率為dr由此式可以看出電容是一種儲能元件，它在從初始時 刻4到任意時刻/時間內(nèi)得到的能量為w（r0,/）=p©dg=c譏§）二叱八 oJ 5de=C udu = -Cu （

15、t）-ut.）J “（5）2(7-5)Wc(t) = -C u2(t)2當C>0時，W(/)不可能為負值，電容不可能放出多于 它儲存的能量，這說明電容是一種儲能元件。由于電容電 壓確定了電容的儲能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。從式(7 - 5)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因為電容電壓的躍變要伴隨電容儲存能量的躍變，在 電流有界的情況下，是不可能造成電場能量發(fā)生躍變和電 容電壓發(fā)生躍變的。若電容的初始儲能為零，即"(0=0,則任意時刻儲存在 電容中的能量為Wc(f) = *C w2(r)(7 -5)此式說明某時刻電容的儲能取決于該時刻電容的電壓與電容的電流值無關(guān)。包容

16、電壓的絕對值增大時，電容儲能增加；電容電壓的絕對值減小時，電容儲能減少。7、電容的串聯(lián)和并聯(lián)O< H(a)1.兩個線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導如下:=C = Ci + C2圖 7-10列出圖7 - 10(a)的KCL方程，代入電容的電壓電流關(guān) 系，得到端口的電壓電流關(guān)系其中C=C+C(7-6)2.兩個線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效 于一個線性電容，其等效電容的計算公式推導如下：Ci+等效gc2Ci + c2(b)(a)圖 7-11列出圖7 - 11(a)的KVL方程，代入電容的電壓電流關(guān)系， 得到端口的電壓電流關(guān)系u(

17、t) = u1(t) + u2(t) =吉匚進心+右匚姑)心右匚姑)昭其中由此求得c =召今-(7-7)+C2根據(jù)教學需要，用鼠標點擊名稱的方法放映相關(guān)錄像。時間名稱時間2:411 電容的電壓電流波形 4:162電感的電壓電流波形回轉(zhuǎn)器變電容為電感2:42§7-2電感元件常用的幾種電感器82UMlai 鼻一. 電感元件如果一個二端元件在任一時刻，其磁通鏈與電流之間的 關(guān)系由i-憐平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電 感元件。電感元件的符號和特性曲線如圖7 - 12(a)和(b)所(a) 電感元件的符號(b) 電感元件的特性曲線7-12(c) 線性時不變電感元件的符號(d) 線性時

18、不變電感的特性曲線其特性曲線是通過坐標原點一條直線的電感元件稱為 線性電感元件，否則稱為非線性電感元件。線性時不變電 感元件的符號與特性曲線如圖(c)和(d)所示，它的特性曲線 是一條通過原點不隨時間變化的直線，其數(shù)學表達式為屮=Li (7-9)式中的系數(shù)z為常量，與直線的斜率成正比，稱為電 感，單位是亨利，用H表示。實際電路中使用的電感線圈類型很多，電感的范圍變 化很大，例如高頻電路中使用的線圈容量可以小到幾個微 亨(pH , 1|liH=10 6H)，低頻濾波電路中使用扼流圈的電感可 以大到幾亨。電感線圈可以用一個電感或一個電感與電阻 的串聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還 需

19、要增加一個電容來構(gòu)成線圈的電路模型，如圖7-13所示。圖9 - 13電感器的幾種電路模型二. 電感的電壓電流關(guān)系對于線性時不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián) 參考方向的情況下，可以得到(7 10)此式表明電感中的電壓與其電流對時間的變化率成正比, 與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電感 電壓與此時刻電流的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。在直流電源激勵的電路中，磁場不隨時間變化，各電壓電流均不隨時間變化時，電感相當于一個短路("=0)。在已知電感電流的條件下，用式(7 - 10)容易求出其 電壓“。例如H的電電感上，施加電流為i(0=10sin(5Z)A時, 其關(guān)聯(lián)參考方

20、向的電壓為) = £ = 10-3xd1°Sin(5r)dzdr= 50x 10 3cos(5r)V = 50cos(5r)mV電感電壓的數(shù)值與電感電流的數(shù)值之間并無確定的關(guān) 系，例如將電感電流增加一個常量變?yōu)閕(/)=R+10sin5/A 時，電感電壓不會改變，這說明電感元件并不具有電阻元 件在電壓電流之間有確定關(guān)系的特性。例7-5電路如圖7- 14(a)所示，已知L=5yH電感上的電流波形如圖7 - 14(b)所示，求電感電壓"并畫出波形圖。圖 7-14 例7-5解：根據(jù)圖6-15(b)波形，按照時間分段來進行計算1當広0時，1(0=0,根據(jù)式7 - 10可以

21、得到u(t) = L = 5x 10"6= 0dtdt2當0<<3|is時，i(0=2x!03Z,根據(jù)式7-10可以得到u(t) = L = 5x 106 *2x1° 0 = 10x 10-3v = 10mv dZdZ"p *pOH劉L;穿劄72m鼠愆Y3A0Il>yOA注苗功srl 寸訓 Vauioeh atoixoeh*p *pnOI X S M Ij M (*)2(才OIX9IOIX 寸Z)P9 gp01 ryMHX9eoIX 寸 z"注feST1寸VI61E 訓ES ZM m®根據(jù)以上計算結(jié) 果，畫出相應的波形， 如圖

22、7-14(c)所示。 這說明電感電流為三 角波形時，其電感電 壓為矩形波形。234f/ps(b)"AS©7-14在已知電感電壓的條件下，其電流L為M)=打如 冷匸如(阿+打；如(皿 = /L(0) + Jo«L()d(7-11)其中2) = 2匚必心稱為電感電壓的初始值，它是從A- 8到Q0時間范圍內(nèi)電感 電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。加）=+匸（0話=匚（0）+ *匸©叱（7-11）式（7 - 11）表示/>0的某時刻電感電流茲等于電感電流的初始 值匚（0）加上（=0到r時刻范圍內(nèi)電感電壓在電感中所產(chǎn)生電流 之和，就端口特性而言，等效為一個直流電流

23、源匚（0）和一個 初始電流為零的電感的并聯(lián)，如圖7-15所示。圖 7-15從式(7 - 11)可以看出電感具有兩個基本的性質(zhì)。(1)電感電流的記憶性。從式(6-8)可見，任意時刻F電感電流的數(shù)值*, 要由從8到時刻T之間的全部電壓來確定。也就是說，此時刻以前在電感上的任何電壓對時刻F 的電感電流都有一份貢獻。這與電阻元件的電壓或電流僅 取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電感是一種 記憶元件O例7 - 6電路如圖7 - 16(a)所示，電感電壓波形如圖7 - 16(b)所 示，試求電感電流/(/)，并畫波形圖。Hq/ihV(a)圖 7-16(b)圖 7-16解：根據(jù)圖(b)波形，按照時間分

24、段來進行積分運算1當fvO時，w(0=0,根據(jù)式7-11可以得到ZL(r) = lf Z w()d = 2xio3f ' Od決=0J 00J 002當o<r<ls時，tt(Z)=lmV,根據(jù)式7-11可以得到(I)=丄= iL(0) + 2xl03J10_3d = 0 + 2M = 2ZALj 80當 / = Is 時 iL(ls) = 2AVO H (S3 J 岔 sTrH* 訓 V(E 丄)z IVZH up7or-)Loh X z + $3 n 7PQM- j 八 H Wz 鼠愆公kn 卜騁濮AunnsH 苗s寸V.VSE制sv(z I *)z + 0 H jpTo

25、r LOIX z + (z) A H jp(u)s8JT (*)J 鼠*WArt I 卜*唏卑 AunHsH feSEVVSZ 訓寸VOH(SZ)JSZH*詢 V(I 丄)ZIVZH UPTOI 丄rI X z + a) A H up(u)凡 j+ H u) A 鼠愆公kH 卜X 聘濮 AunisH feSZVPSIE根據(jù)以上計算結(jié)果，可以畫出電感電流的波形如圖7- 16(c)所示，由此可見任意時刻電感電流的數(shù)值與此時刻 以前的電感電壓均有關(guān)系?！皊/mV圖 7-16在幻燈片放映時,請用鼠標單擊圖片放映錄像。(2)電感電流的連續(xù)性從電感電壓、電流的積分關(guān)系式可以看出，電感電壓在 閉區(qū)間有界時，

26、電感電流在開區(qū)間SO內(nèi)是連續(xù)的。Ai =/L(Z+)-iL(C)LJt-當有界時也就是說,當電感電壓有界時,電感電流不能躍變,只能連續(xù)變化，即存在以下關(guān)系i、C+) = (t_)對于初始時刻心0來說，上式表示為iL (0+) = iL (0_)(7 -12)利用電感電流的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電感電流值。例7-7圖7 - 17(a)所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在心0斷 開時電容電壓和電感電流的初始值mc(0+)和匚(。+)。(a)圖 7-17(b)圖 7-17解：由于各電壓電流均為不隨時間變化的恒定值，電感相當于短路；電容相當于開路，如圖(b)所示。此時/L（0J =1

27、0V40 + 6G叫（0= 6Q X10V-2V = 4V40 + 60當開關(guān)斷開時，電感電流不能躍變；電容電壓不能躍變。兀（°+）=兀（°-）= 1A %（）+）= ”c（0 ） = 4V三、電感的儲能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電感的吸收 功率為di= Z(Z)2L 當p>0時，電感吸收功率；當pvO時，電感發(fā)出功率。電感在從初始時刻4到任意時刻I時間內(nèi)得到的能量為W(t0,t) = = Li 2(纟)§=L!i(t)1."/()2若電感的初始儲能為零，即誼o)=O,則任意時刻儲存在 包感中的能量為Wt) = Li2(t)(7-13)此

28、式說明某時刻電感的儲能取決于該時刻電感的電流值，與電感的電壓值無關(guān)。電感電流的絕對值增大時，電感儲能增加;電感電流的絕對值減小時,電感儲能減少。由于電感電流確定了電感的儲能狀態(tài),稱電感電流為狀態(tài)變量。從式(7 - 13)也可以理解為什么電感電流不能輕易躍變, 這是因為電感電流的躍變要伴隨電感儲存能量的躍變，在 電壓有界的情況下，是不可能造成磁場能量發(fā)生突變和電 感電流發(fā)生躍變的。電感的串聯(lián)和并聯(lián)1.兩個線性電感串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個線性電感，其等效電感的計算公式推導如下:圖 7-18列出圖7 - 18(a)的KVL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系, 得到端口電壓電流關(guān)系其中(7

29、 -14)2.兩個線性電感并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效 于I個線性電感，其等效電感的計算公式推導如下：列出圖7 - 19(a)單口網(wǎng)絡(luò)的KCL方程，代入電感的電壓 電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系邇)=片(/) +的)=丄匚陀心+右匸心必節(jié)匸"必厶-8(2 8厶其中廠乙+由此求得L=:丄2厶1 + (7-15)| :、d鴨 7di"=匚=I 丁IZL) = J_ooML()df=匚(0) +丄(咖Wl(Z) = |£i2(O二端電阻，二端電容和二端電感是三種最基本的電路元件。它們是用兩個電路變量之間的關(guān)系來定義的。這些關(guān)系從下 圖可以清楚看到。在四個基本變

30、量間定義的另外兩個關(guān)系是RO_II0訛)=譽dt dy(£) dr0 = o、 dr 1電容/r /dt火電感 7個基本電路變量之間的關(guān)系>： -, il.¥:-:-:左 石養(yǎng)釁:-7亨利是一個美國物理學家,他發(fā)明了電感 和制造了電動機。他比法拉第先發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象,電感的 單位是用他的名字命名的。法拉第是一個英國化學家和物理學家,他是一個 最偉大的實驗家。他在1931年發(fā)現(xiàn)的電磁感應是工程上的一個重要突破，電磁感應提供了產(chǎn)生電的一種方法。電磁感應是 電動機和發(fā)電機的工作原理。電容的單位(farad)用他 的名字命名是他的榮譽。根據(jù)教學需要，用鼠標點擊名稱的方法放映相

31、關(guān)錄像。時間名稱回轉(zhuǎn)器變電容為電感2:42時間2:411 電容的電壓電流波形 4:162電感的電壓電流波形§7-3動態(tài)電路的電路方程含有儲能元件的動態(tài)電路中的電壓電流仍然受到KCL、KVL的拓撲約束和元件特性VCR的約 束。一般來說，根據(jù)KCL、KVL和VCR寫出的電 路方程是一組微分方程O由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。 由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。 由兀階微分方程描述的電路稱為孔階電路。例7-8列出圖7-20所示電路的一階微分方程。圖 7-20解：對于圖所示RC串聯(lián)電路，可以寫出以下方程us(t) = uR(t) + uc(t) = Ri(t) + uc(t)在上

32、式中代入：迫)=得到RC "%(° + %(門=叫0)(7-17)d/這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖(a)是一階電路。對于圖(b)所示并聯(lián)電路，可以寫出以下方程is(O = iR(O + iL (t) = G% (r) + iL(O在上式中代入：wT (t) = LAt 得到dzf (r)GL+ fL (t )= is (O (7 -18)dr這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖(b)是一階電路。例79電路如圖7 - 21(a)所示，以茲為變量列出電路的微分 方程。圖721解一：列出網(wǎng)孔方程(1 + 人2 "1 - R2 = US (!)di.(2)Ria ik由式

33、求得dt L代入式得到(R.+RL diLRi+ (Ri + Rq)'l RJl = "s整理R,+R2)L diLR2 曲(7-19)圖 7-21解二：將含源電阻單口用諾頓等效電路代替，得到圖(b)電路,其中SCR° =圖 7-21圖7-21(b)電路與圖7-20(b)電路完全相同，直接引用式7-18可以得到（仏+尺2）兀dARR? d/"s此方程與式7 - 19相同，這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖但)是一階電路。例710電路如圖722(a)所示，以為變量列出電路的微 分方程。圖722解一：列出網(wǎng)孔方程f 十）"1 RJc = "s

34、1 + （2 + 尺3）C + "c = 0(R、+ RJi RJc = "s+ (尺2 + R3 )C + "c = 0補充方程得到以的）和為變量的方程(仏+尺2兀一尺2(史乞=叫&-R2i1+(R2+RJC + uc=0dt(1)ii RiRs)局c=r«Yr(a)IucRoC Z=Zuc(b)從式中寫出匚的表達式 _ （尺2 +«3）C duc （/ -gI、r2 dr r2將J代入式（1）,得到以下方程心罟訂C瞥+ %=說寸s（7-20）這是以電容電壓為變量的一階微分方程。解二：將連接電容的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧等效電路代替，得到圖(b)所示電路，其中Ro = R3 +圖7 - 22(b)電路與圖7 - 20(a)相同,直接引用式7 - 17可以所得到與式7 - 20相同的的微分方程。例711電路如圖723所示，以（）為變量列出電路的微分 方程。圖 7-23解：以匚和応為網(wǎng)孔電流，列出網(wǎng)孔方程+ （R + 尺 2）'l RJc = "s1一 RJl 十 RJc + “c = o+ (R + *2)'l RJc