電磁場與電磁波公式總結(jié)

1、電磁場與電磁波復(fù)習(xí)第一部分知識點(diǎn)歸納第一章矢量分析1三種常用的坐標(biāo)系(1)直角坐標(biāo)系dSx二dydz微分線兀：dR 二 axdx ay dy az dz 面積元：dSy 二dxdz ，d = dxdydz|dSz =dxdy(2 )柱坐標(biāo)系'dlr = drdSr = dl qdl z = rd ®dz長度元： dl申=rd ® , 面積元 < dS = dlrdlz = drdz體積元：di = rdrd®dzdlz=dz、dSz = dlqdlz = rdrdz(3 )球坐標(biāo)系dlr =drdSr = dlqdl = r2 sinTdTd

2、4;長度元：* dlg = rd日 ,面積元：* dSg = dl r dl半=r si n Tdrd ®,體積元：dl = rsind®,dS = dlrdl日=rdrd 日d 二 r2 sindrd M2、三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系(1 )直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系Ircos 護(hù) r=W2+y2y =rsin=arctan丄z = zz =z %(2 )直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系'2 , 2,2x = r si n Geos®<y =rsin日sinB =z = r cos日r = . x y - zz=arccosJx2+y2+z2巾y二

3、arcta nzr = . r2 z2z(3)柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系r =rsin 日、r2 z2二 ，arccos3、梯度(1 )直角坐標(biāo)系中：grad='二 axz = r cos -T刖 T出+ ay +az x :y:z(2)柱坐標(biāo)系中：TZgradar aaz 一_rr - z-2 -(3)球坐標(biāo)系中： 1 " > grad=ar aa .：cr燈r點(diǎn)日 r sin日群4散度(1 )直角坐標(biāo)系中：divA 二 x .zx；y(2) 柱坐標(biāo)系中： 1 :div A(rAr)r a(3) 球坐標(biāo)系中：divA = ；(r2AJ1(s in g1 A-'亠

4、rsin日旳砂rsinT汐$A d S - Ad二div Ad ,意義為：任意矢量場XXT5、高斯散度定理:.zA ： :Az 汐 &TA的散度在場中任意體積內(nèi)的體積分等于矢量場 A在限定該體積的閉合面上的通量。6,旋度(1)直角坐標(biāo)系中：Tax；xAxTaya-yTaz:zAz(2)柱坐標(biāo)系中：TTTarracpazVx A1=8rdrArrA(pAz(3)球坐攻標(biāo)系中：Ay 1'、A = 2 1 .r sin。Tar:rAfra,胡rA.T r sin 6 a(pr sinAcp兩個(gè)重要性質(zhì)：矢量場旋度的散度恒為零，'上 A=0標(biāo)量場梯度的旋度恒為零,7、斯托克斯公

5、式：/記打 A d S-4 -第二章 靜電場和恒定電場1、靜電場是由空間靜止電荷產(chǎn)生的一種發(fā)散場。描述靜電場的基本變量是電場強(qiáng)度E、電12位移矢量D和電位:。電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系為：E。8.854 10 F/m2、電場分布有點(diǎn)電荷分布、體電荷分布、面電荷分布和線電荷分布。其電場強(qiáng)度和電位的 計(jì)算公式如下：（1）點(diǎn)電荷分布T qk Rkt 1 NE 二34 ： =0 k 4 Rk(2)體電荷分布P(r')(U)dv'申5F" q八(右)，告c4： ip k 4Rk4： z- 0 kJ RkE匚4二；0(r )dv4二；°(3)面電荷分布：(r')(/-

6、r')dS14 二；°s(r')dS' C(4)線電荷分布Pl(r')(-r)dl3T Tr r沁）d| c3、介質(zhì)中和真空中靜電場的基本方程分別為RdS-q,（積分形式）_表示皀T介質(zhì)中的高斯定理（q為s面內(nèi)的總源電荷和S面內(nèi)的總極化電荷之和）I D =代r）（微分形式）f T T口 /、CE d 1 =0，（積分形式）表示意義，安培環(huán)路定理,說明靜電場是一種發(fā)散場，也是保守場。 燈漢E=0（微分形式）冷EdS=：Z qi.（積分形式）S；0 i 三、 pE ='（微分形式，二為體電荷密度） I奄表示意義真空中的高斯定理在線性、各向同性介質(zhì)中

7、，本構(gòu)方程為:TT T TTD - 0 EP - ； E - 0 r E4、電介質(zhì)的極化（1） 極化介質(zhì)體積內(nèi)的極化體電荷密度為：二-' 卩（P極化強(qiáng)度矢量）。（2） 介質(zhì)表面的極化面電荷密度為：pS = P n（n為表面的單位法向量矢 量）5、在均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程為泊松方程和拉普拉斯方程，即2_（有源區(qū)域 ,$進(jìn)=0（無源區(qū)域）Z6、介質(zhì)分界面上的邊界條件（1 ）分界面上 Dn的邊界條件D1n - D2nT T Tn (Di - D2)=（:S為分界面上的自由電荷面密度），當(dāng)分界面上沒有 自由電荷時(shí)，則有：rtT T T TTD1n =D2n即n D1 = n Q2，它給

8、出了 D的法向分量在 介質(zhì)分界面兩側(cè)的關(guān)系：nT D1D1n客17名2| hD2n分界面上D的邊界條件n（I）如果介質(zhì)分界面上無自由電荷，則分界面兩側(cè)D的法向分量連續(xù);-7 -# -（II）如果介質(zhì)分界面上分布電荷密度"s， D的法向分量從介質(zhì)1跨過分界面進(jìn)入介質(zhì)-# -時(shí)將有一增量，這個(gè)增量等于分界面上的面電荷密度亠。. 1. 2用電位表示：-V 一，2 - - =S和M cncn（2）分界面上Et的邊界條件（切向分量）T T T T , T Tn E = n E或 E1t =: E2t，電場強(qiáng)度的切向分量在不同的分界面上總是連續(xù)的。由于電場的切向分量在分界面上總連續(xù)，法向分量有限

9、，故在分界面上的電位函數(shù)連續(xù)，即一2。j：J1 ：nhJ：=0)電力線折射定律:tan 円 _ “tanr2；27、靜電場能量（1）靜電荷系統(tǒng)的總能量_ 1-2=丄22n1,巳/-1< 1tJf1l E2 L k兇©E2t分界面上Et的邊界條件體電荷:面電荷:線電荷:We.I :T：Jdl。-# -1（2）導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量為：We =丄qk 在任何情況下，總靜電能可由2 k一點(diǎn)的能量密度為：一 D e = 1 ；E2J /m32 2（3 ）能量密度靜電能是以電場的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的。場中任意v；E2d來計(jì)算。8、恒定電場存在于導(dǎo)電媒質(zhì)中由外加

10、電源維持。描述恒定電場特性的基本變量為電場強(qiáng)度TfffE和電流密度J，且J E。二為媒質(zhì)的電導(dǎo)率。（1）恒定電場的基本方程電流連續(xù)性方程:積分形式：Jd S - _ q微分形式：I J二-二或I .j'.= =0 I.ct&恒定電流場中的電荷分布和電流分布是恒定的。場中任一點(diǎn)和任一閉合面內(nèi)都不能有電荷的增減，即 出=0和0。因此，電流連續(xù)性方程變?yōu)椋?dS = 0和I J = 0，再加上actscE'd丨0和' E=o，這變分別是恒定電場基本方程的積分形式和微分形式。(2) 恒定電場的邊界條件、TTTT T、TTT(1)J1n = J2n 或 n (Ji-J2)

11、=0,(2)Eit = E 2t 或 n (E1 E2t - 0T T應(yīng)用歐姆定律可得：rE1n -；2E2n和土二且。°2此外，恒定電場的焦耳損耗功率密度為p -；E2，儲能密度為e第四章1、磁場的特性由磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場強(qiáng)度(真空磁導(dǎo)率：卩0 =4兀 xIOH /m,)恒定磁場H來描述，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式為:(1)線電流:>0 Id laRB =R2主 Idl'(rlr')4二丨3t rr -r(2)面電流:T T乍_ Jo Js (r -r )4二"3 dST Tr r(3)體電流:. T T0 J aRB - 廠 d .4 二 R2T

12、T T-oJ (r -r 幾d .4 7： '-9 -# -2、恒定磁場的基本方程(1)真空中恒定磁場的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程：丿積分形式：，d S = 0， b、真空中安培環(huán)路定理：.微分形式：I B =0積分形式：忖心尸=巴1微分形式：I B = Jo J(2) 磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程為：A、磁通連續(xù)性方程仍然滿足:積分形式：qB，dS=oB、磁介質(zhì)中安培環(huán)路定理:.微分形式：' B = 0 積分形式：叩H d丨=1 微分形式：' H二J-# -C、磁性媒質(zhì)的本構(gòu)方程：B rH-M ,其中M為磁化強(qiáng)度矢量）。卩。恒定磁場是一種漩渦場，因此一般不能用一個(gè)標(biāo)

13、量函數(shù)的梯度來描述。3、磁介質(zhì)的磁化 磁介質(zhì)在磁場中被磁化， 其結(jié)果是磁介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)凈磁矩或宏觀磁化電流。程度用磁化強(qiáng)度M表示。磁介質(zhì)的磁化八M ；J ms = M n（其中，n為表面的單位法向量矢 量）T矢量A為矢量磁位。在庫侖規(guī)范條件（' A=0 ）下，場與源的關(guān)系方程為：i2A-jj（有源區(qū)）12a' = 0（無源區(qū)） 對于分布型的矢量磁位計(jì)算公式：Id I （2）面電流：A="R（1 ）磁介質(zhì)中的束縛體電流密度為：Jm（2）磁介質(zhì)表面上的束縛面電流密度為：4、恒定磁場的矢量磁位為：BA，T（1）線電流：a= J4兀5、恒定磁場的邊界條件（1 ）分界面上Bn的邊

14、界條件 在兩種磁介質(zhì)的分界面上，取一個(gè)跨過分界面 兩側(cè)的小扁狀閉合柱面（高h(yuǎn) >0為無窮小量），如右圖所示，應(yīng)用磁通連續(xù)性方程可得：T T T TT T,B S =呂 n dS - B2 n dS = 0于是有：n （B2-B1）=0或 B1n 二 B2n（2）分界面上Ht （切向分量）的邊界條件：（H.'-H；） =Js'，如果分界面上無源表面電流（即 Js =° ），貝V 衣（Ht_Ht） =0 即 H1t或H1Sing磁力線折射定律：色口 1ta n 日2#2用矢量磁位表示的邊界條件為：A）tJsdSR（3）體電流：a=上Jd_ 4兀上R-j- CA2)t

15、 = J S26、電感的計(jì)算（1 ）外自感：l 0 二違.dl0 d l '，（ 2）互感:0 I 4兀地 R（3）內(nèi)自感：單位長度的圓截面導(dǎo)線的內(nèi)自感為：M 12 = M 21自感為l =匕）。8 二7、磁場的能量和能量密度（1）磁場的總能量磁介質(zhì)中，載流回路系統(tǒng)的總磁場能量為:1Wm f Mjlk2 j±k±（3）磁場能量密度A、任意磁介質(zhì)中：'|h B，此時(shí)磁場總能量可以由 WmJ0n1 n2d l1 d l24- h 化 Rl的一段圓截面導(dǎo)線的內(nèi)iB H計(jì)算出;-11 -在各向同性，線性磁介質(zhì)中：皿=丄,孑=丄卩，此時(shí)磁場總能量可以由 m 2 2Wm

16、1、法拉第電磁感應(yīng)定律(1)感應(yīng)電動(dòng)勢為:第五早時(shí)變電磁場d：dT ；>、:B 、E d ld STB微分形式： E=BIct它說明時(shí)變的磁場將激勵(lì)電場，而且這種感應(yīng)電場是一種旋渦場，即感應(yīng)電場不再是保T守場，感應(yīng)電場 E在時(shí)變磁場中的閉合曲線上的線積分等于閉合曲線圍成的面上磁通 的負(fù)變化率。2、麥克斯韋位移電流假說按照麥克斯韋提出的位移電流假說，(2)法拉第電磁感應(yīng)定律積分形式:密度，稱為位移電流密度，即TJd電位移矢量對時(shí)間的變化率可視為一種廣義的電流T:D。位移電流一樣可以激勵(lì)磁場，從而可以得出:t時(shí)變場中的安培環(huán)路定律積分形式：jH d=o(J微分形式:J AD ) dSa-12

17、 -'D (1)H d I = sJ -) dSB iEdI s胃 dST T(3) aB mo(4) °SDdS = q3、麥克斯韋方程組J空;:t(1) 微分形式、B ( 2 )積分形式I E二t(3) B=0(4) 、D(3) 非限定形式的麥克斯韋方程組在線性和各向同性的介質(zhì)中，有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：D = ；E = ；0訃E, B =H = "0叫H , J c = ； 丁 E，由此可得非限定形式的麥克斯韋方程組:r'Tl T T cE(1)Nhh =J十名ct(3) V 縣H =0(4) ；E(4) 麥克斯韋方程組的實(shí)質(zhì)A、第一方程：時(shí)變電磁場中的安培

18、環(huán)路定律。物理意義：磁場是由電流和時(shí)變的電場 激勵(lì)的。B、第二方程：法拉第電磁感應(yīng)定律。物理意義：說明了時(shí)變的磁場激勵(lì)電場的這一事 實(shí)。C、第三方程：時(shí)變電場的磁通連續(xù)性方程。物理意義：說明了磁場是一個(gè)旋渦場。D、第四方程：高斯定律。物理意義：時(shí)變電磁場中的發(fā)散電場分量是由電荷激勵(lì)的。 思考題：麥克斯韋方程中為什么沒有寫進(jìn)電流連續(xù)性方程？答：因?yàn)樗梢杂晌⒎中问降姆匠探M中 、式兩式導(dǎo)出。把式兩邊同時(shí)取散度得 (I H) (Z 巴一、'、J 巴=03由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得&，再把式代入上式，即得I .J.工 =0，這便是電流連續(xù)性方程。&4、分界面上的邊界條件

19、(1)法向分量的邊界條件T T TT T Ta、D的邊界條件n (D!-。？)'，若分界面上S =0，則n (D!-D2)=0b、B，的邊界條件T T Tn (Br _ B2) = 0-13 -(2) 切向分量的邊界條件E 的邊界條件TTTTTTTTb、H的邊界條件 n (Hi-H2)=Js，若分界面上 Js =0，貝y n (Hi-H2)=0(3)理想導(dǎo)體(廠-：)表面的邊界條件r' TTTTT(1) nxH =JsU Ht =JsT TT(2) n匯 E=0 二 Et =0，(3) n B =0w Bn =0；?STTPS n E= EnT式中n是導(dǎo)體表面法線方向的單位矢量

20、。上述邊界條件說明：在理想導(dǎo)體與空氣的分界面上，如果導(dǎo) 體表面上分布有電荷，則在導(dǎo)體表面上有電場的法向分量，則由上式中的式?jīng)Q定，導(dǎo)體表面上電場的切向分量總為零；導(dǎo)體表面上磁場的法向分量總為零，如果導(dǎo)體表面上分布有電流，則在導(dǎo)體表面 上有磁場的切向分量，則由上式中的 決定。5、波動(dòng)方程T TTf2 HT r E無源區(qū)域內(nèi)，E、h'的波動(dòng)方程分別為：、2H 2 0、2 E2 0；dict此兩式為三維空間中的矢量齊次波動(dòng)方程。由此可以看出：時(shí)變電磁場在無源空間中是以波動(dòng)的方式 在運(yùn)動(dòng)，故稱時(shí)變電磁場為電磁波，且電磁波的傳播速度為6、坡印廷定理和坡印廷矢量數(shù)學(xué)表達(dá)式：1 2 1 2 2-SE

21、H dS (JH 2E)dEd1i由于W4E2d為體積內(nèi)的總電場儲能， WmH2d為體積內(nèi)的總磁場儲能，P二.二E2d 為體積內(nèi)的總焦耳損耗功率。于是上式可以改寫成：T-SE H dS(W. Wm) P，式中的s為限定體積的閉合面。S4物理意義：對空間中任意閉合面 S限定的體積，S '矢量流入該體積邊界面的流量等于該體積內(nèi)電 磁能量的增加率和焦耳損耗功率，它給岀了電磁波在空間中的能量守恒和能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。-14 -坡印廷矢量（能流矢量）H表示沿能量流動(dòng)方向單位面積上傳過的功率。7、動(dòng)態(tài)矢量磁位 A和動(dòng)態(tài)標(biāo)量為門與電磁場的關(guān)系為:TA與門的非齊次波動(dòng)方程）為BA，EA-:t2達(dá)朗貝爾方程（

22、或稱第六章正弦平面電磁波歐拉公式：e" = cosx + j sin x1、正弦電磁場（1） 正弦電場、磁場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示方法（以電場強(qiáng)度為例） 在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場的電場分量可以寫成：E（x, y,z,t）二 ax Exm（x, y,z） cos t （x, y,z）】ay Eym(x, y, z) cost ：y(x, y,z)l az Ezm(x, y, z)cost z(x, y,z)】運(yùn)用歐拉公式將其表示成復(fù)數(shù)矢量形式：Ex 二 ExmCOSt >x(x,y,z)l-ReExmej( u LRe(Exmej t)Ey =EymCOSty(x,y,z)ReEyme

23、j( t7 =Re(Eymej ')Ez 二 EzmCOS t ；(x,y,z)l = ReEzmej( t z)LRe(Ezmej t)j xj yj ;z一其中，E xm二Exme , E ym二Eyme, Ezm二Ezme分別稱為各分量振幅的相量,它的模和相位角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此TT iE(x,y,乙t)二 Re(ax Exm ay*Eym az Ezm)ej t =Re(Eej l(2)-15 -(2)-# -其中， ax Exm - ay Eym - az Ezm，稱為電場強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要 素。電場強(qiáng)度復(fù)矢量是一個(gè)為簡化正弦場計(jì)算的表示符號，一

24、般不能用三維空間中一個(gè)矢量來表示， 也不能寫成指數(shù)形式。例題1將下列場矢量的瞬時(shí)值改寫為復(fù)數(shù)；將場得復(fù)矢量寫為瞬時(shí)值a二 x.： x（1） H = ax H 0k（） si n（ ）si n（kz-t）飛乙日。cos（ ） cos（kz -，t）兀 aa（2） Exm =2jE°sincos（kxco1）Jkzsin 71解：（1）因?yàn)閏os（kz ft）是偶函數(shù)，則 cos(kz -dt) = cos( t -kz)而 sin(kz 7t)二nncos(kz 7t -y = cos( t -kz ?)THm二 ax Hok(a)si n( XgTi 2兀 aTaz H 0 cos(

25、?* T *=ax H xm az H zm(2)-# -. a與(kzsinM)因?yàn)?Exm =2jEoSincos(kxco)ed sin " =2E°sin)cos(kxcos)e2(2)-16 -故 Ex =2E°sin Ticos(kxcos j) cos( .t kzsin)2(2)麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式'、H j DT _ T' E- B ，此方程組沒有時(shí)間因子，注意：式中的場量仍代表復(fù)矢量，標(biāo)量仍代表復(fù)數(shù)。'、B =0'、D =；-對于正弦電磁場的求解，我們可根據(jù)給岀的源寫岀其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的

26、復(fù)數(shù) 形式求出場得復(fù)矢量，再由電磁場的復(fù)矢量寫出電磁場的正弦表達(dá)式。例題2在真空中，已知正弦電磁波的電場分量為E(z, t) =ayi03sin伽t _0z)，求波的磁場分量H(z,t)解：先將波的電場分量寫出復(fù)矢量，即Ey =j103ej(M»)，將其代入矢量的麥克斯韋方程組：、El_j0H可得：hI_ 1 、El仝主，將Ey =-j103ej( 2)代入上式可得_ jK_j0 薦H"103ej(七一z)，將上式展開取實(shí)部得：H(z,t)=-ax103s in( .t - ：z)-'J0- 'J0(3) 正弦場中的坡印廷定理SSdS 二(Pm Pe PJd

27、j2(Wm 平均- We平均)dS其中Wm平均=1卩H 2為磁場能量密度的平均值， We平均=丄名E2為電場能量密度的平均值。這里場m 4e 4量E: H '分別為正弦電場和磁場的幅值。正弦電磁場的坡印廷定理說明：流進(jìn)閉合面S內(nèi)的有功功率供閉合面包圍的區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)的各種功率損 耗；而流進(jìn)(或流岀)的無功功率代表著電磁波與該區(qū)域功率交換的尺度。(4) 亥姆霍茲方程(正弦電磁場波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式)2 “ 2 >E. k E廣0，式中k2二'丄”；稱為正弦電磁波的波數(shù)。I 2 H k2 H =02、理想介質(zhì)中的均勻平面波(1) 均勻平面波的波動(dòng)方程及其解平面波是指波陣面為平面的電磁波。均勻平面波是指波的電場 E和磁場H