第二章通信原理

1、第二章 線性時不變系統(tǒng)（LTI）的時域分析在第1章中我們已經(jīng)討論了什么是線性時不變系統(tǒng)，即系統(tǒng)運算既滿足線性關系又滿足其參數(shù)不隨時間而變化的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，簡寫為LTI系統(tǒng)。2.1連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析2.1.1信號的脈沖分解信號的脈沖分解討論用討論用(t)表示任一連續(xù)時間信號表示任一連續(xù)時間信號2.1.2卷積積分與單位沖擊響應卷積積分與單位沖擊響應卷積積分用于LTI系統(tǒng)求解對激勵信號的響應LTI系統(tǒng)激勵信號響應信號我們設沖擊信號我們設沖擊信號（t）的的響應為響應為h（t）LTI系統(tǒng)對沖擊信號的響應被稱之為單位沖擊響應系統(tǒng)對沖擊信號的響應被稱之為單位沖擊響應這就是說，輸入這就是說，

2、輸入f(t)從從t=t0到到t這段時間內(nèi)電路的連續(xù)作用可以這段時間內(nèi)電路的連續(xù)作用可以用一序列沖擊信號對電路激勵等效，每個沖擊信號用一序列沖擊信號對電路激勵等效，每個沖擊信號f(k)(t- k)的強度為的強度為f(k)=f(),相應的響應為相應的響應為f()h(t- )，就是輸入就是輸入沖擊信號的瞬間，而沖擊信號的瞬間，而t可以理解為觀察這個輸入作用引起響可以理解為觀察這個輸入作用引起響應的瞬間。因為應的瞬間。因為時刻作用的信號，到時刻作用的信號，到t時刻才觀察到輸出，時刻才觀察到輸出，這之間時間差值為這之間時間差值為t- 可以理解電路對輸入作用的記憶時間?？梢岳斫怆娐穼斎胱饔玫挠洃洉r間。2

3、.1.3卷積積分的圖示卷積積分的圖示2.1.4卷積積分性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學運算方法，它具有一些特殊性質(zhì)，這里給出幾個卷積運算的常用性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以簡化卷積計算。常用信號卷積表2.2離散時間LTI系統(tǒng)的時域分析2.2.1離散時間信號的單位脈沖分解 根據(jù)單位脈沖n的取樣性質(zhì)，任意離散信號xn可以表示為knkxnxk證明：證明：利用利用n的性質(zhì)：的性質(zhì)： k-nxnk-nxkn-nxnn-nxn000因此有：因此有：上式中上式中k為變量，可以直接推出為變量，可以直接推出kkkknnxknnxknkx其中累加項其中累加項kkn僅有僅有k=n所對應的移位單位脈沖這一項是非零的所對應的移位單位脈

4、沖這一項是非零的所以有：所以有： kkn1故原式成立故原式成立 ，證畢，證畢 可將任意離散信號的表示式展開為：可將任意離散信號的表示式展開為：.22 1 1 0 1 122.nxnxnxnxnxknkxnxk實質(zhì)：把一個離散信號當作一連串的單個脈沖來看待，每個實質(zhì)：把一個離散信號當作一連串的單個脈沖來看待，每個移位脈沖移位脈沖n-k的加權值為對應時刻點上的信號樣值的加權值為對應時刻點上的信號樣值xk。2.2.2離散時間LTI系統(tǒng)的卷積和卷積和與單位脈沖響應對任一離散時間LTI系統(tǒng)離散時間LTI系統(tǒng)xnyn定義當xn= n時，系統(tǒng)的響應為單位脈沖響應hn n hn輸入信號可表示為knkxnxk利

5、用利用LTI系統(tǒng)的時不變性質(zhì)：系統(tǒng)的時不變性質(zhì)：n-k hn-k利用利用LTI系統(tǒng)的疊加性質(zhì)可得：系統(tǒng)的疊加性質(zhì)可得：knkxnxkkknhkxnykknhkxny被稱為離散系統(tǒng)的卷積和，通?？梢杂帽环Q為離散系統(tǒng)的卷積和，通常可以用yn=xn hn表示表示卷積和的性質(zhì)與求解方法)()()(NkfNkkfkiifkUkf)()(*)(2、f(k)與與單位階躍序列卷積單位階躍序列卷積1、f(k)與單位序列信號卷積與單位序列信號卷積)()()(kfkkf)()()(NMkfNkMkf1交換律交換律 )()()()(1221kfkfkfkf)()()()()()()(3121321kfkfkfkfkf

6、kfkf)()()()()()(2121khkhkfkhkhkf3、U(k)與與akU(k) 卷積卷積)(11)(*)(1kUaakUkUakk例：例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷積和求卷積和y(k)=f(k)*h(k).1利用定義計算利用定義計算 例：例：已知已知f(k)=, 0 , 3 , 2 , 1 , 0, h(k)= (0.5)kU(k), 求求y(k)=f(k)*h(k).1）f(k)、h(k) f(m)、h(m)2） h(m) h(-m) （折疊）折疊）3） h(k-m) （平移）平移）4） f(m) h(k-m) （相乘）相乘）5） 求和計算求和計

7、算-mm)-f(m)h(k)(*)(khkf0k)(*)()(khkfky解解：01. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky0.120.090.060.0300.080.060.040.020.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.020.04 0.03 0.02 0.0101. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky7、序列相乘法、序列相乘法f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2

8、0.1X 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.12 0.09 0.06 0.03 00.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 00k8k01. 0,04. 0,09. 0,16. 0,21. 0,20. 0,17. 0,12. 0)(0kky說明：說明：若若f(k)非零值非零值N個，位于個，位于21nknh(k)非零值非零值M個，位于個，位于21mkm則：則：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有的非零值有(N+M

9、-1)個，位于個，位于2211nmknm 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于系統(tǒng)激勵與系統(tǒng)單位序列響應的卷積和。離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于系統(tǒng)激勵與系統(tǒng)單位序列響應的卷積和。即即)(*)()(khkfkyf分析步驟：分析步驟：1）求單位序列響應；）求單位序列響應；2）計算卷積和）計算卷積和例例1 kUkhkUkfk,10解解:mmmkUmU)()(kmmkU0)()(111kUk khkfky*求求零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應已已知知1 ,1 ,1)(0kkf，3,2,1)(0kkh，求求)(*)(khkf。 例例2解解:) 2() 1()()(kkkkf)2(3) 1(2)()(kkkkh) 4(3) 3(5)

10、 2(6) 1(3)(kkkkk khkfky* khkfky*2.3LTI系統(tǒng)性質(zhì) 2.3.1可逆性與可逆系統(tǒng) 根據(jù)系統(tǒng)可逆性的定義，可逆系統(tǒng)必存在著一個逆系統(tǒng)，與其原系統(tǒng)級聯(lián)后等效一恒等系統(tǒng)，即級聯(lián)后系統(tǒng)的輸出等于原系統(tǒng)的輸入LTI系統(tǒng)的可逆性h(t)或hnh1(t)或h1n恒等系統(tǒng)(t) 或nx(t)或xny(t)或ynr(t)=x(t)rn=xnx(t)或xnx(t)或xn因此因此LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)應該存在以下關系：系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)應該存在以下關系：h(t)*h1(t)= (t) 或者或者 h(n)*h1(n)= (n) 2.3.2LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果一個系統(tǒng)對于任何有

11、界的輸入其輸出都是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，有界的輸入必產(chǎn)生有界的輸出。 LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：連續(xù)時間系統(tǒng)：dh)(離散時間系統(tǒng)：nnh證明：對于連續(xù)時間系統(tǒng)證明：對于連續(xù)時間系統(tǒng)設設x(t)為一有界信號為一有界信號系統(tǒng)輸出的絕對值為系統(tǒng)輸出的絕對值為BtxdhBdtxhdtxhty)()()()()()(即，當即，當 時，輸出是有界的時，輸出是有界的 dh)(證明：對于連續(xù)時間系統(tǒng)證明：對于連續(xù)時間系統(tǒng)考慮一個有界的輸入xn |xn| B 對所有的n而言假設把這樣一個有界輸入加入到單位脈沖響應為hn的系統(tǒng)中可得到輸出的絕對值kknxkhny因為乘積和的絕對值總不大于絕對值

12、乘積的和，所以有knxkhknxkhnykk對所有的n與k都有|xn-k| B ，所以kkhBny即，當即，當 時，輸出是有界的時，輸出是有界的 nnh2.3.3LTI系統(tǒng)的因果性一個因果系統(tǒng)的輸出僅決定于現(xiàn)在和過去時刻的系統(tǒng)輸入值。一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)因果性的充要條件： h(t)=0 t0一個離散時間LTI系統(tǒng)因果性的充要條件： hn=0 n02.3.4單位階躍響應定義：LTI系統(tǒng)對單位階躍信號u(t)或un的響應記為：s(t)或snktkhnhnunsdhthtuts)()()()(對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)對離散時間LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的單位階躍響應和系統(tǒng)的單位沖激系統(tǒng)的單位階躍響應和系統(tǒng)的單位沖

13、激/脈沖響應脈沖響應有一一對應關系有一一對應關系由(t) 與u(t)及n與與un之間之間的關系：的關系： 1)()(nunundttdut可得： 1)()(nsnsnhdttdsth由上可知，連續(xù)時間由上可知，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)中，單位階躍響應的微系統(tǒng)中，單位階躍響應的微分為的單位沖激響應，離散事件分為的單位沖激響應，離散事件LTI系統(tǒng)中，單位階系統(tǒng)中，單位階躍響應的差分為單位脈沖響應。躍響應的差分為單位脈沖響應?？捎脝挝浑A躍響應求系統(tǒng)對輸入信號的響應可用單位階躍響應求系統(tǒng)對輸入信號的響應)1()1()1()1()()()()()()()(nsnxnxnsnnnxnsnnnxnsnsnxnhn

14、xnytsdttdxdttdstxthtxty對連續(xù)時對連續(xù)時間系統(tǒng)：間系統(tǒng)：對離散時對離散時間系統(tǒng)：間系統(tǒng)：2.4LTI系統(tǒng)的微分、差分方程 連續(xù)LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型是常系數(shù)線性微分方程，它可以描述極為廣泛的一類連續(xù)時間系統(tǒng) 離散LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型是常系數(shù)線性差分方程，它可以描述極為廣泛的一類離散時間系統(tǒng)2.4.1 2.4.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應連續(xù)系統(tǒng)的響應 一、微分方程的經(jīng)典解：一、微分方程的經(jīng)典解： 一般來說，如果單輸入一般來說，如果單輸入單輸出系統(tǒng)的激單輸出系統(tǒng)的激勵為勵為f (t)，響應為響應為y(t)，則描述則描述LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型是是 n 階常系數(shù)線性微分方

15、程。階常系數(shù)線性微分方程。 nimjjjiimmmmnnntfbtyatfbtfbtfbtfbtyatyatyaty00)()(0) 1(1) 1(1)(0) 1(1) 1(1)()()( )()()()( )()()()(即：即：其中，其中， 均為常數(shù)，且均為常數(shù)，且), 1 , 0(), 1 , 0( mjbniaji 1 na該方程的解由該方程的解由齊次解齊次解 和和特解特解 組成組成， 即即 )(tyh)(typ)()()(tytytyph 齊次解：齊次解：齊次解是齊次微分方程齊次解是齊次微分方程 0)()()()(0)1(1)1(1)( tyatyatyatynnn的解，它是形式為的

16、解，它是形式為 的一些函數(shù)的線性組合。的一些函數(shù)的線性組合。 為特征方程的根為特征方程的根-特征根。特征根。tCe 特征根：特征根：特征方程特征方程 00111 aaannn ),2,1(nii 的的n個根個根 稱為微分方程稱為微分方程 的特征根。的特征根。 齊次解齊次解 的函數(shù)形式由特征根決定的函數(shù)形式由特征根決定 。)(tyh 特征根特征根 齊次解齊次解 單實根單實根 r 重實根重實根 一對共軛復一對共軛復根根 或或r 重共軛復根重共軛復根 j 2, 1)sin()cos(tDtCet 其中其中tCe tttrrtrreCteCetCetC 012211 )cos( tAetjDCAej

17、)cos()cos()cos(00222111 teAtetAtetAtrtrrrtrr下表列出了特征根不同值時所對應的齊次解。下表列出了特征根不同值時所對應的齊次解。其中其中 等為待定系數(shù)。等為待定系數(shù)。iiiiADC ,特解特解：特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。：特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。 課本表課本表2-2中列出了幾種激勵及其所對應中列出了幾種激勵及其所對應的特解。的特解。 選定特解后，將它帶入到原微分方程，求出選定特解后，將它帶入到原微分方程，求出 各待定系數(shù)，就可得出方程的特解。各待定系數(shù)，就可得出方程的特解。 例：若例：若 tnttnneCeCeCt 2121h21y

18、,則則均均為為單單根根 nitiieC1 全解：線性常系數(shù)微分方程的全解是齊次解和全解：線性常系數(shù)微分方程的全解是齊次解和 特解之和。特解之和。 i 如果微分方程的特征根如果微分方程的特征根 均為實單根，則全解為均為實單根，則全解為:)()()()(1tyeCtytytypnitiphi 待定系數(shù)的求法：待定系數(shù)的求法：一般一般n階微分方程，利用已知的階微分方程，利用已知的 n個初始條件個初始條件y(0) , y(1)(0) , y(2)(0) y(n1)(0) ,就可求就可求 出全部的待定系數(shù)。設出全部的待定系數(shù)。設f (t)在在t=0時接入，則全解適時接入，則全解適 合于區(qū)間合于區(qū)間0+，

19、 ）。）。)t(f)t(y)t(y)t(y 求（求（1）當）當 時的全解；時的全解； （2）當）當 時的全解。時的全解。 1) 0 (, 2) 0 (, 0,2)( yytetft0)0(, 1)0(, 0,)(2 yytetft解：（解：（1）先求特征根）先求特征根 3, 2065212 ttheCeCty3221)( 例例2.1-1描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為查表設查表設 ，代入原方程，得，代入原方程，得tpPety )(ttttePePePe 26)(5tpety )( 解得：解得：1 P確定待定系數(shù)：確定待定系數(shù)：全解為：全解為： tttpheeCeCtytyty

20、 3221)(ttteeCeCty 3221)(ttteeCeCty 322132)( 2321- CC 0 2332 teeetyttt特特解解齊齊次次解解 -1132)0(21)0(2121 CCyCCy全解：全解： 將將 代入：代入：1) 0(, 2) 0( yy 自由響應自由響應強迫響應強迫響應（2）齊次解同上。）齊次解同上。ttheCeCty3221)( 設特解為：設特解為： ttpePtePty2021)( 將將 代入微分方程并稍加整理，得代入微分方程并稍加整理，得 )(, tfyyypppttteePPPPPtePPP22001012111)610544()6104 ( 解得：解

21、得： 11 PttpePtety202)( 013)(2)0(1)()0(201201CPCyCPCy0,2)(232 tteeetyttt全解為：全解為： *此時，不能區(qū)分此時，不能區(qū)分P0 、C1，所以，不能區(qū)分自由所以，不能區(qū)分自由響應和強迫響應。響應和強迫響應。12201 CPC 全解為：全解為： tttteeCePCty232201)()( ttttteeeCePCty223220123)( 2)( 例例2 .1-2)()(6)(5)( tftytyty 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 ：求輸入求輸入 時的全響應。時的全響應。 0) 0(, 2) 0(, 0,cos10

22、)( yytttf解：齊次解同上，解：齊次解同上， ttheCeCty3221)( 設特解為：設特解為： tQtPtypsincos)( )(, tfyyyppp將將 代入微分方程，得代入微分方程，得 ttQPQtPQPcos10sin)65(cos)65( - 0551055QPQP-1 QP)4cos(2sincos)( -ttttyp 確定待定系數(shù)：確定待定系數(shù)：)4cos(2)(3221 -teCeCtytt -)4sin(232)(3221 -teCeCtytt 0132)0(21)0(2121CCyCCy- 1221-CC0 )4cos(22)(32tteetytt，穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)響響應

23、應暫暫態(tài)態(tài)響響應應 - 自由響應自由響應強迫響應強迫響應 * 一般輸入為有始周期信號或階躍信號且特征根一般輸入為有始周期信號或階躍信號且特征根有負實部時，系統(tǒng)全響應可分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響有負實部時，系統(tǒng)全響應可分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分。應兩部分。將將 代入：代入：0) 0(, 2) 0( yy二、關于二、關于0- 和和0+ 初始值初始值),0(),0(yy應指應指 0t時刻的值時刻的值 ),0(),0(),0( yyy在系統(tǒng)分析中，我們從系統(tǒng)中直接獲得的初始在系統(tǒng)分析中，我們從系統(tǒng)中直接獲得的初始 條件往往是條件往往是: 0)0(yy、它們提供了以往歷史的全部信息而與激勵無關，它們提供了以

24、往歷史的全部信息而與激勵無關， 因此，有這樣一個問題：因此，有這樣一個問題：如何從如何從 )0()0()()( jjyy就要考慮：就要考慮： 即：即：)()(tyj tytyty )(在在 時刻是否連續(xù)或者說有沒有跳變；時刻是否連續(xù)或者說有沒有跳變；0 t若無跳變，若無跳變， 時刻的值與時刻的值與 時刻的值相同；若時刻的值相同；若有跳變，有跳變， 時刻的值與時刻的值與 時刻的值不同，應想辦時刻的值不同，應想辦法求出跳變量。法求出跳變量。 0 0 0 0下面我們來看一道例題。下面我們來看一道例題。)0()( jy如何從如何從 求出求出 呢？呢？)0()( jy例例2.1-3：描述某：描述某LTI

25、系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為)(6)(2)(2)(3)( tftftytyty 已知已知 求求 ),()(, 0)0(, 2)0(ttfyy )0(),0( yy解：將解：將代入微分方程得：代入微分方程得：)()(ttf )(6)(2)(2)(3)( tttytyty 根據(jù)方程兩邊沖激函數(shù)匹配知：根據(jù)方程兩邊沖激函數(shù)匹配知： ty ty在在 連續(xù)連續(xù)在在 有躍變有躍變0 t 0 t 0000000)( 0)( 0)(dttdttydtty 于是上式得：于是上式得： 2)0()0( yy 22)0()0(2)0()0(yyyy對上式兩端從對上式兩端從 到到 進行積分，有進行積分，有00000

26、0000000 )(6)(2)(2)(3)(dttdttdttydttydtty思考：思考： 如果微分方程右端不含有沖激函數(shù)及其各如果微分方程右端不含有沖激函數(shù)及其各 階導數(shù)，那末，階導數(shù)，那末，?)0()( jy)0()0()()( jjyy此時：此時：)(6)(2)(3)( ttytyty 2.4.2離散LTI系統(tǒng)的差分方程描述及其經(jīng)典求法 差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：)()1()( )()1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn mjbniaji, 2 , 1, 2 , 1 、為常數(shù)為常數(shù) kykykyph )(其解為：其解為：齊次解特解齊次解：齊次方程齊

27、次解：齊次方程0 )()1()(01 nkyakyakyn的解，稱為齊次解。的解，稱為齊次解。齊次解由形式為齊次解由形式為 的序列組合而成。的序列組合而成。 為特征方為特征方 程程 的根，稱為差分方的根，稱為差分方 程的特征根。不同特征根所對應的齊次解形式不同。程的特征根。不同特征根所對應的齊次解形式不同。 kC 00111 aaannn kaCkyakykykayky 10)1()(例例特征根特征根齊次解齊次解 單實根單實根 重實根重實根一對共軛復根一對共軛復根 或或 重共軛復根重共軛復根 jejba 21、 kyhkC kkkkCkCkCkC 012211 kDkCk sincos jDC

28、AekAjk ,cos 00222111coscoscos kAkkAkkAkkk表表3-1不同特征根所對應的齊次解）不同特征根所對應的齊次解）特解：特解的形式與激勵的函數(shù)形式有關，表特解：特解的形式與激勵的函數(shù)形式有關，表3-2列出列出了幾種不同激勵所對應的特解。了幾種不同激勵所對應的特解。表表3-2 不同激勵所對應的特解不同激勵所對應的特解激勵激勵 特解特解 所有特征根均不為所有特征根均不為1 有有 重為重為1的特征根的特征根 當當 不等于特征根時。不等于特征根時。 當當 是特征單根時。是特征單根時。 當當 是是 重特征根時。重特征根時。 當所有的特征根均不等于當所有的特征根均不等于 kf

29、mkka k cos k sin kyp 0111pkpkpkpkmmmm kpaakkapkap01 aa je jQPAekAkQkPj ,cossincos0111pkpkpkpmmmm kkkkapkapakpakp0111 全解：全解：n階線性差分方程的全解是齊次解與特解之和。階線性差分方程的全解是齊次解與特解之和。如果方程的特征根均為單根，則差分方程的全解為：如果方程的特征根均為單根，則差分方程的全解為： kyCkykykypnikiphi 1)( 各系數(shù)由給定的各系數(shù)由給定的n個初始條件個初始條件 確定。確定。 1,1,0 nyyy下面我們來看兩道用經(jīng)典法求解差分方程的例題。下面

30、我們來看兩道用經(jīng)典法求解差分方程的例題。例例3.1-2 若描述某系統(tǒng)的差分方程為若描述某系統(tǒng)的差分方程為 kfkykyky 2414已知初始條件已知初始條件 激勵激勵 求方程的全解。求方程的全解。 ; 11, 00 yy . 0,2 kkfk解：首先求齊次解。特征方程為：解：首先求齊次解。特征方程為：221 0442 kkhCkCky2221 再求特解：根據(jù)激勵的形式由表再求特解：根據(jù)激勵的形式由表3-2可知特解可知特解 0 , 2 kPkykp將將 、 和和 代入到原方程，得代入到原方程，得 kyp 1 kyp 2 kyp41 PkkkkPPP22424221 于是特解于是特解 0,241

31、kkykp差分方程的全解差分方程的全解 0,2412221 kCkCkykkk將初始條件代入，有將初始條件代入，有 12412210410212CCyCy 14112CC 0,2412412 kkkykkk 自由響應自由響應強迫響應強迫響應例例3.1-3 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 kfkykyky 2156已知初始條件已知初始條件 激勵為有始的周期激勵為有始的周期 序列序列 求其全解。求其全解。 ; 11, 00 yy . 0,2cos10 kkkf 解：特征方程為解：特征方程為01562 31,2121 齊次解齊次解 kkhCCky 312121 2sin2c

32、os kQkPkyp由表由表3-2根據(jù)激勵的形式可設特解：根據(jù)激勵的形式可設特解： 2cos2sin1 kQkPkyp 2sin2cos2 kQkPkyp代入原方程整理得：代入原方程整理得： 2cos102sin562cos56 kkQPQkPQP 0561056QPQPQP 11QP 42cos2 2sin2cos 2sin2cos kkkkQkPkyp差分方程的全解差分方程的全解 0,42cos2312121 kkCCkykk 將初始條件代入，有將初始條件代入，有 11312110102121CCyCCy 3221CC 0,42cos2313212 kkkykk 自由響應自由響應（瞬態(tài)響應

33、）（瞬態(tài)響應） 強迫響應強迫響應（穩(wěn)態(tài)響應）（穩(wěn)態(tài)響應） 當激勵為有始周期序列或階躍序列且系統(tǒng)特征根的模當激勵為有始周期序列或階躍序列且系統(tǒng)特征根的模小于小于1時，系統(tǒng)的自由響應會隨著時，系統(tǒng)的自由響應會隨著k的增大而衰減到的增大而衰減到0，因此自由響應部分又稱為瞬態(tài)響應，而強迫響應部分因此自由響應部分又稱為瞬態(tài)響應，而強迫響應部分稱為穩(wěn)態(tài)響應。稱為穩(wěn)態(tài)響應。2.5LTI系統(tǒng)的響應分解：系統(tǒng)的響應分解：零狀態(tài)響應和零輸入響應零狀態(tài)響應和零輸入響應 LTI 系統(tǒng)的完全響應可分為系統(tǒng)的完全響應可分為零輸入響應零輸入響應和和 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應。 零輸入響應零輸入響應是指激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始是

34、指激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始 狀態(tài)所引起的響應，用狀態(tài)所引起的響應，用 表示。表示。 )(tyx零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應是指初始狀態(tài)為零，僅由激勵所是指初始狀態(tài)為零，僅由激勵所 引起的響應，用引起的響應，用 表示。表示。 )(tyf)()()(tytytyfx 總響應總響應 在零輸入條件下，微分方程式右端為零，化在零輸入條件下，微分方程式右端為零，化 為齊次方程。若其特征根均為單根，則其零輸入為齊次方程。若其特征根均為單根，則其零輸入 響應為：響應為： nitxieCty1xi)( ixC其中其中為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 零輸入響應的求法：零輸入響應的求法：零狀態(tài)響應的求法：零狀態(tài)響應的求法：若初始

35、狀態(tài)為零，若初始狀態(tài)為零， 且其特征根均為單根且其特征根均為單根,則其零狀態(tài)響應為：則其零狀態(tài)響應為： )()(1tyeCtypnitffii 其中其中為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 fiC 系統(tǒng)的全響應可以分為自由響應和強迫響系統(tǒng)的全響應可以分為自由響應和強迫響應，也可分為零輸入響應和零狀態(tài)響應，它們應，也可分為零輸入響應和零狀態(tài)響應，它們的關系是：的關系是： 零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應零零輸輸入入響響應應強強迫迫響響應應自自由由響響應應)()()(111tyeCeCtyeCtypnitfnitxpnitiiiiii nitfnitxnitiiiiiieCeCeC111 式中式中 0jy由由 確定確定

36、0jxy由由 確定確定 0jfy由由 確定確定實際的系統(tǒng)給定的初始條件為：實際的系統(tǒng)給定的初始條件為：)0()( jy如何從如何從 0)0()(jxjyy 如何確定待定系數(shù)如何確定待定系數(shù) ixC1, 1 ,0 ),()()()()()( njtytytyjfjxj )0()0()0( )0()0()0()()()()()()(jfjxjjfjxjyyyyyy對于零狀態(tài)響應，在對于零狀態(tài)響應，在 時刻激勵尚未接入，時刻激勵尚未接入，故應有故應有 0t0)0()( jfy)0()0()()( jjxyy對于零輸入響應，由于激勵為零，故應有對于零輸入響應，由于激勵為零，故應有)0()0()()(

37、jxjxyy)0()0()0()()()( jjxjxyyy 如何確定待定系數(shù)如何確定待定系數(shù) ifC)0()( jfy應根據(jù)應根據(jù) 來確定。來確定。 但已知的條件是：但已知的條件是：0)0()( jfy 如何從如何從 ?00)0()( jfjfyy 就要根據(jù)零狀態(tài)響應滿足的方程來確定它在就要根據(jù)零狀態(tài)響應滿足的方程來確定它在 時刻有無跳變。時刻有無跳變。0 t例例2.1-4描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為)(6)(2)(2)(3)( tftftytyty 已知已知 )()(, 0)0(, 2)0(ttfyy 求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應

38、。解：（解：（1）零輸入響應）零輸入響應)(tyx是滿足是滿足的解。的解。 0)(2)(3)( tytytyxxx)0(),0( xxyy 0)0()0()0( 2)0()0()0( yyyyyyxxxx023 )()()(tytytyxxx0020 )(,)(xxyy )(tyx是滿足是滿足的解。的解。 2,121 零輸入響應零輸入響應txtxxeCeCty221)( 將初始值代入：將初始值代入： 02)0(2)0(2121xxxxxxCCyCCy特征方程為特征方程為 ：0232 2421xxCC0 , 24)(2 teetyttx（2）零狀態(tài)響應）零狀態(tài)響應)(tyf應滿足：應滿足：)(

39、6)(2)(2)(3)( tttytytyfff 0)0()0( ffyy 根據(jù)方程兩邊沖激函數(shù)匹配知：根據(jù)方程兩邊沖激函數(shù)匹配知： tyf tyf在在 連續(xù)連續(xù)在在 有躍變有躍變0 t 0 t 0000000000 )(6)(2 )(2)(3)(dttdttdttydttydttyfff 20000fffyyy2)0()0( ffyy對方程兩端從對方程兩端從 到到 進行積分，有進行積分，有00 6)(2)(3)( tytytyfff2000 )()(ffyy 3)( 221 tftffeCeCty所以，零狀態(tài)響應在所以，零狀態(tài)響應在 時滿足：時滿足：0 ttftfeCeC221 齊齊次次解解

40、為為 3 特特解解為為常常數(shù)數(shù) 1421 ffCC0 , 34)( 2 teetyttf零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應為為將將 代入得：代入得： 22)0(03)0(2121 ffffffCCyCCy2000 )()(ffyy 求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。),()(, 1)0(, 3)0(ttfyy 例例2.1-5：上例所述的系統(tǒng)，若已知：上例所述的系統(tǒng)，若已知解題思路：先求出零狀態(tài)響應解題思路：先求出零狀態(tài)響應(與上例相同），再與上例相同），再根據(jù)根據(jù) 1)0()0()0(3)0()0()0(fxfxyyyyyy 000000fxfxyyyyyy即可求出零輸入響

41、應。即可求出零輸入響應。解：解：0 , 34)( 2 teetyttf零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應為為 2)0(0)0( ffyy 1)0(3)0(xxyy 000000fxfxyyyyyy零輸入響應為零輸入響應為txtxxeCeCty221)( 12)0(3)0(2121xxxxxxCCyCCy 2521xxCC0,25)(2 teetyttx 通過前面的例題可見，當方程的右端含有激勵通過前面的例題可見，當方程的右端含有激勵 的各階導數(shù)時，零狀態(tài)響應或其導數(shù)在的各階導數(shù)時，零狀態(tài)響應或其導數(shù)在t=0處可能處可能 躍變，在求零狀態(tài)響應的時候比較麻煩。實際上，躍變，在求零狀態(tài)響應的時候比較麻煩。實際上，

42、 利用利用LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微分特性可避免這一過系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微分特性可避免這一過 程。程。)()()()()( tftftytytyfff 6223 )t (f)t (f)t (f)t ( y)t (y 例例2.1-6：描述某：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。)()(ttf 解：解： 設僅由設僅由 單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應為應為 ，它滿足方程：，它滿足方程： tf y)t(f)t(y)t(y )(2)(111tytytytyf 則：則：)(1ty0)0()0( 11 yy21 021)0(111

43、 CCy)()1(21)1(21)(221teetytt 處是連續(xù)的處是連續(xù)的在在0)( 1 tty 00)()(2)(111yttyty 求解求解21)(211 teCty又又),()( 11tyty及及分別求出分別求出)()(21tetyt t)t (e)t (yt ttetytytytytf 21 )()()(2)( 2 111 )()1(21)(21tetyt 2.6LTI系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示 模擬框圖可以簡便地表示一個系統(tǒng)，通常用幾個基模擬框圖可以簡便地表示一個系統(tǒng)，通常用幾個基本的運算單元來完成微分方程或差分方程所表示的系統(tǒng)本的運算單元來完成微分方程或差分方程所表示的系統(tǒng)輸入輸入/輸出關系或系統(tǒng)的運算關系。輸出關系或系統(tǒng)的運算關系。 LTI系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示： 系統(tǒng)分析的一個重要目的是為了設計并實現(xiàn)滿足系統(tǒng)分析的一個重要目的是為了設計并實現(xiàn)滿足要求的系統(tǒng)，其實質(zhì)就是完成系統(tǒng)模型所包括的各要求的系統(tǒng)，其實質(zhì)就是完成系統(tǒng)模型所包括的各種運算。利用基本運算單元來表示系統(tǒng)模型的運算種運算。利用基本運算單元來表示系統(tǒng)模型的運算功能，就形成了系統(tǒng)的模擬框圖。它有助于系統(tǒng)的功能，就形