狹義相對論——應用

1、第13講：狹義相對論應用內容：§18 4, §18 51 .狹義相對論的時空觀（50分鐘）2 .光的多普勒效應3 .狹義相對論動力學的幾個結論（50分鐘）4 .廣義相對論簡介要求：1 .理解狹義相對論的時空觀，包括同時性的相對性、長度的收縮與時 間的延緩2 . 了解光的多普勒效應。3 .掌握狹義相對論動力學的幾個結論，明確當物體運動速度 V C時,相對論力學過渡到牛頓力學，牛頓力學僅適用于低速動動的物體。4 . 了解廣義相對論的意義。重點與難點：1 .狹義相對論時空觀的理解。2 .狹義相對論動力學的主要結論。作業(yè)：問題：P213 : 7, 8, 9, 11習題：P214 :

2、 11 , 12 , 13 , 14復習：伽俐略變換式牛頓的絕對時空觀邁克爾遜-莫雷實驗狹義相對論的基本原理精品資料Simultaneity ):§184狹義相對論的時空觀Outlook on Time_space of Special Theory of Relativity一、同時的相對性（Relativity of1 .概念狹義相對論的時空觀認為：同時是相對的。即在一個慣性系中不同地 點同時發(fā)生的兩個事件，在另一個慣 性系中不一定是同時的。例如：在地球上不同地方同時出生的兩個嬰兒，在一個相對地球高速飛行的飛 船上來看，他們不一定是同時出生的。以u勻速直線運動，車廂中央有一閃光燈

3、發(fā)出信號，光信號到車廂前壁為事件1,到后壁為事件2;地面為S系，列車為S'系。在S'系中，A以速度v向光接近；B以速度v離開光，事件1與事件2同 時發(fā)生。在S系中，光信號相對車廂的速度v'1 = c-v, v'2=c+v,事件1與事件2不是同時發(fā)生。即S'系中同時發(fā)生的兩個事件， 在S系中觀察卻不是同時發(fā)生的。 因此，“同時”具有相對性。說明：Lorentz速度變換式中，是求某質點相對于某參考系的速度，不可 能超過光速。而在同一參考系中，兩質點的相對速度應該按矢量合成來計算。2 .解釋：在S'系中，不同地點Xi與X2'同時發(fā)生兩件事t1&

4、#39;= t2', A t'= t1'- t2'=0 , A x'=X1' -X2在S系中.t ;：x :t = c1 _ v c 2由于 A t'=0。A x'=xi' X2'w0,故 A tw0。可見，兩個彼此間作勻速運動的慣性系中測得的時間間隔，一般來說是不 相等的。即不同地點發(fā)生的兩件事，對S來說是同時發(fā)生的， 而在S系中不一定是同時發(fā)生的。若A x'=xi' -X2'=0 ,則A t=0 ,即是同一地點同時發(fā)生的兩件事，則在不同 的慣性中也是同時發(fā)生的。3.進一步說明：若ti&#

5、39;< t2', S'系中，事件1早于事件2;但是隨著xi' -x2'的取值不同，ti- t2 就可能小于零、大于零或等于零，既事件 i可能早于事件2,也可以晚于2, 或同時發(fā)生，兩事件的先后次序在不同的慣性系中可能發(fā)生顛倒。例：地球上，甲出生于：xi, ti；乙出生于：x2, t2若 x2- xi=3000km , t2- ti=0.06s結論：甲一一哥哥，乙一一弟弟若飛船上看，v=0.6c , t2'- ti'=0 ,甲乙同時出生v=0.8c , t2 '< ti =0 ,甲 弟弟，乙 哥哥*相對論可以證明，關連事件的時

6、序具有絕對性。*同時性的相對性否定了各個慣性系具有統(tǒng)一時間的可能性，否定了牛頓 的絕對時空觀。*事件的因果關系不會顛倒，如人出生的先后假設在S系中，t時刻在x處的質點經過 A t時間后到達x+Ax處，則由:t = t - xv c2 Ji -（ v/c）2得到. t - xv c2t i - u v c2xtu 二一i - v c 2i - v c 2t洛倫茲收縮因為vAc, u>c,所以A t'與At同號。即事件的因果關系，相互順序不會顛倒。、長度的收縮(Length Contraction )S'、S系，棒l相對于S'靜止于OX'軸，棒長（固有長度，P

7、roper Length ） 1=X2'- xi用S的坐標表示，則Xi =xi - vi ti12X2同時測量tl= t2,則1 .固有長度觀察者與被測物體相對靜止時，長度的測量值最大，稱為該物體的固有長 度（或原長），用10表示。即I =1 ,iK2 .洛倫茲收縮（長度縮短）觀察者與被測物體有相對運動時，長度的測量值等于其原長的vi - 22倍，即物體沿運動方向縮短了，這就是洛倫茲收縮（長度縮短）。結論：i .相對觀察者靜止，其長度測量值大；2 .相對觀察運動，則在運動方向上縮短，只有原長的、；i - P2倍；3 .在與運動垂直的方向上長度不變。湯普斯金的誤解（伽莫夫一一物理世界奇遇

8、記，科普讀物）：高速運動的物體變扁。這是不對的，長度收縮效應只能測量出來，是看不出來的。直到 i955年，James Torrel等人才開始糾正了這個錯誤。長度收縮效應是時空屬性，并不是由于物體運動引起物體之間的相互作用而產生的實在的收縮。 應該強調的是，狹義相對論中的長度收縮完全是相對的。三、時間的延緩（Time Dilation ）:時間膨脹S'系中處有一靜止的鐘，兩事件發(fā)生在同一地點X',對于時刻ti'、t2'，時間間隔（固有時間,Proper Time ） A t'= t2'-ti'。S系中，時刻ti > t2由Lorent

9、z變換得到：ti =Y t；+與< vt2 " t:+午 < v所以,t =t2 11 "t2 11)二拿t即，t =/t/.,1 - -2可見S'系同一地點發(fā)生 的兩個事件的時間間隔小于 S系所記錄兩事件的時間間 隔，即運動的鐘變慢。在一個慣性系中，先后 發(fā)生在同一地點的兩個事件 之間的時間間隔稱為該參考 系的固有時間。S系觀察者發(fā)現(xiàn)自己的那些同步鐘走了1秒，那只相對自己運動的鐘走了還不到1秒，因而他說運動的鐘變慢。有加速度的人會變 年輕一一生命過程 將進行緩慢，不易衰 老，對身體有好處。 生命在于運動佯繆：對同一事物，用一種推理得出一個結論， 而用另

10、一種推理卻得到相反得結論。*攣生子效應(Twin Effect ),不是 Twin Paradox問題：哥哥一一風華正茂弟弟一一白發(fā)蒼蒼中國神話：天上一日，地下一年這種效應能夠證明一一1971年，美國空軍 Cs原子鐘證明；相對論觀點：不會出現(xiàn) Paradox ,廣義相對論可以解釋。四、狹義相對論時空觀：1 . Lorentz變換坐標的特點：時間坐標與空間坐標互為函數(shù)時間坐標與空間坐標都與慣性系的相對運動有關。2 .時空觀：時間與空間的測量都與觀察者所在的參考系有關，空間與時間的測量不是 彼此獨立的，并且它們都與物質運動狀態(tài)有著密切的關系。例一 在慣T系S中，有兩個事件同時發(fā)生，在 xx制上相距

11、1.0X10 3m處, 從另一慣性系 S '中觀察到這兩個事件相距 2.0X103m。問由S'系測得此兩事件 的時間間隔為多少?3解：由題意知，在S系中， =L，即& =上1 =0 , x2 川=1.0x10 m。而 在S'系看來，時間間隔為 母旦2；,空間間隔為 悵xi'=2.0M103m。由洛倫茲坐標變換式得:X2 - Xi X2 - Xi - v t2 - tiX2 - X11 -(v.' C f精品資料t2 -ti- -2X2-X12Xi-X2：t=t2-ti=c 2=c2=；x-X22J - vci- vc c由（i）式得代入（2）式得

12、333 i03上t =2 i03 = 3- =5.77 10 s2c3 103例二 半人馬星座 “星是離太陽系最近的恒星，它距地球為4.3Xi016m。設有一宇宙飛船自地球往返于人馬星座a星之間。若宇宙飛船的速度為0.999 c ,按地球上的時鐘計算，飛船往返一次需多少時間？如以飛船上的時鐘計算，往 返一次的時間又為多少？解：以地球上的時鐘計算：、s 2 4.3 1016-t =88v 0.999 M3M10 =2.87 M10 =9a （a 為 annual 之首字母）；若以飛船上的時鐘計算：（原時），因為母=At/ji -（v c 2所以得：t = ：t .1 一 v c 2 =2.87

13、108 '.1 0.9992= 1.28 107 s = 0.4a ,，_ 0例三 假設火箭上有一天線，長l =im,以45角伸出火箭體外，火箭沿水平方向以u =32速度運行，問地面上的觀察者測得這天線的長度和天線與火箭體的尸交角各多少？3解：在S'系中:lx = l cos4d = 2 2mly =sin450 ="2/2(m)在 S 系中：ly =ly =&/2(m)lx = IX，1 -(u/c 2 =55/2 M/1 Q§/2 2 =<2/4(m )22所以 l = J： +l； =V(J2.，4 ) +(五/2 ) =ViO/4 =

14、0.791(m)-arctg ly lx =arctg2 =63.43° = 630 26這就是洛倫茲收縮例題四（課本 P.215第10題）在慣性系S中觀察到有兩個事件發(fā)生在某一地 點，其時間間隔為 4.0s。從另一慣性系觀察到這兩個事件發(fā)生的時間間隔為 6.0s。問從S'系測量到這兩個事件的空間間隔是多少？（設系以恒定速率相對 S系沿x軸運動。）（注意課本原題目有印刷錯誤）解：由題意知，兩個事件的固有時為在 s系中的時間間隔 &=4.0s,由時 間膨脹可得在s'系中兩個事件的時間間隔為：= &/、H_（vcj ,所以,$,系相對于s系的運動速度為：v

15、 = 1 -（&/&，212c = 1 -（4/6 2 12c =網9c = CV5./3o由洛侖茲變換式可得在 s'系測量這兩個事件的空間間隔是：xv：tvt!_x - - -V-t包-（v/cj審-（v/cj（逆變換式也可得到）*一般人的思維方式一一復雜性思維遇到問題時，思考用學過的知識是怎樣教我們解決這個問題的，選擇以經 驗為基礎的、最有希望的方法，排除其他一切方法，并且沿著這個明顯界定的 方向去解決問題。愛因斯坦一一創(chuàng)造性的思維發(fā)散思維一一從多角度考慮問題，挖掘所有可供選擇的解決方法形象化思維一一使自己的思維形象化，非常直觀同時性的相對性一一理想列車閃電實驗時間

16、相對性一一坐在火爐上和在公園柳蔭下與漂亮女郎談情說愛善于創(chuàng)造一一248篇論文Edison 1093項專利莫扎克 600多首樂曲獨創(chuàng)性的組合：質能關系質速關系在不同的事物之間建立聯(lián)系愛因斯坦：卓別林，偉大一一您的電影全世界都能看懂卓別林：愛因斯坦，偉大一一您的相對論基本沒有人能看懂§18-5光的多普勒效應Optical Doppler Effect前面討論了機械波的多普勒效應，即運 動物體的頻率與參考系的選擇有關。本節(jié)我們討論光的多普勒效應。如圖所示，以光源 B為S'系，S'相對于S系以速度v運動，以探測器 A為S系。開始時，tA=tB=0, S'系中B發(fā)出一脈

17、沖信S'系測得此脈沖信號得時間間隔為t B。S系測得此脈沖信號得時間間隔應為AtA1 = 丫AtB,其中，=，1 一口2光信號從B - A,需時間A tA2=x/c,其中x=cA tAl為光脈沖在A tA2時間內經過的距離。探測器A測得的時間間隔為:xv-Tai ' LtA2 - - ：tB - - - ：tB ''' LtA1即:S系A鐘測得得時間A+ YvAtB =丁 '1 + Y k,tBc1/2&BtA比S'系B鐘測得的時間A tB要長。若以A t表示兩連續(xù)光脈沖的時間差，即振蕩周期，則頻率可以由1/21/A t求得為:A

18、式中丫 A為S系探測器接收的光信號頻率；V B為S'系中光源發(fā)出的光脈沖信號頻率（即所謂的本征頻率）若光源向著探測器運動，則：a結論：當光源與觀察者之間有相對運動時，觀察者接受到的光的頻率與光源的頻率不同，若光源的頻率為丫察者接受到的頻率V 為：0，前源與觀察者之間相對運動的逋率為 7當光源與探測器相遠離時，探測器測得光的頻 率要小于光的本征頻率紅移現(xiàn)象。當光源與探測器相向運動時，探測器測得光的嵋觀頻率要大于光的本征頻率藍移現(xiàn)象。1 士 "1/2V =_ n V0”Pj 其中v =v/c。若光源與觀察者互相接近，上式分子取正號，分母取負號，接受到的頻率 大于原來的頻率；若光源

19、與觀察者互相遠離，上式分子取負號，分母取正號，接受到的頻率 大于原來的頻率。注意：光的多普勒效應不會改變光的顏色。§18-6狹義相對論動力學基礎一、相對論質量(Relativitic Mass )：1 .牛頓力學：質點得質量 m為恒量，在外力F作用下，由牛頓運動定律 F=ma可知質點得加速度不為零，速度逐漸增大，最終可超過光速Co2 .狹義相對論：質量不是恒量。 前提條件：系統(tǒng)總質量與總動量守恒，由 Lorentz 變換式可導出質量與速率的 關系式中m0為粒子的靜止質量。運動物體質量增大了。3 .簡單推導：假設有兩個靜止質量相同的小球A、B作完全非彈性碰撞。對于靜止的S系，假設A碰撞

20、前的速度為v,碰撞后的速度為ux,則(1)(2)m m0 ux = mv而在運動的S'系中，則有m m0 ux - -mv碰撞前后，質量守恒，均為m+ mo, m為運動質量，<«>mo為靜止質量因而：ux = -ux由Lorentz變換：Ux -v ux = = -ux1 2uxc2vv uv v解得： -1 =1 -;ux =1 -ux =2 x2ux cv c(3)(1)代入(3)得： 2mm。/ m v-1=1-2m m。二 2m2m v2m mo cmm m0 c兩邊同乘以m(m +m0 ),則有 2 2 c2 vm m0= 2m m m0 )-m c化簡

21、，得22 dm0 = m 1所以運動時球的質量為質速關系式m o靜止質量（v =0）m運動質量（v w 0）例子假設有兩個靜止時質量均為m的小球，發(fā)生完全非彈性碰撞前的分別相對于S系和S'系靜止，S'系相對于S系以速度v沿x軸正向運動。下面 我們分析一下在兩個參照系中的觀察者所看到的物理過程。yf sf南止于掌 靜止于so/L0?r-O-, q九JLys-kV- U* *X X（1） S系中觀察者本系小球：v = 0, m0, P = 0另一小球：v, m, P=mv所以碰撞之前：總動量=mv（完全非彈性）碰撞之后：由總質量守恒知總質量為（m0+m） u,由總動量守恒知動量為：

22、（m0 + m',這里u為總質量相對S系的速度。由動量守恒定律得：mv =（m0 +m u（1）（2） S'系中觀察者本系小球：v=0，m°，P=0另一小球：v, m, P = mv所以碰撞之前：總動量 =-mv,（完全非彈性）碰撞之后：（m0，m）u：總動量=（m0+mU；這里u，為總質量 相對S'系的速度。由動量守恒定律得：一mv = （m。+ m u '（2）由（1）式和（2）式得:u'=Uv. u = 1 二 , 1 - v2 c2 .由洛倫茲速度變換可得：u' = u -v/（1 -uv c2），將u' = -u代入上

23、式可得：（v/u > -2（v/u ）+（v/cf =0,解之得:由（1）式得：所以取+”證畢。v. u = m04.說明:1)在宏觀物體所能達到的速度范圍內，質量隨速度變化非常小，可以忽略不計。.4一 ， m m011 o2110i0例如：v=10 4m/s , = ,-1 & P = - 5= 5.6 父 10,moJ1_P222 13黑108,2)在微觀粒子實驗中，粒子的速度經常達到或接近光速，此時質量變化很大：例如 v=0.98c , m=5.03m。3) v>c時，質量m為虛數(shù)，沒有意義，因而光速是物體運動速度的極限。4)當v=c時，分母為零，要求質量 m為有限值

24、，則必須 m0=0。結論：光子靜止質量為零，不存在靜止的光子。5.實驗驗證：1) I子衰變；2) Bucherer實驗：電子質量與速度有關。二、相對論動量1.相對論動量：m0vP = mv =動量守恒普通成立。動量公式與牛頓力學形式完全相同，但是質量的含義不同。2.動力學方程一一相對論力學的基本方程。dm°v相對論動力學方程回到牛頓dPF = dt在v « c時，近似為f = ma ,牛頓力學成立。ddvF = - m0vLm°m°adtdt,運動定律。l ddv dmF = mv = m v(2) 出出dt ,因此外力不僅改變物體的速度還改變物體的質量

25、。(3)當VT c時，dv/dtT 0物體速度不再改變，因此光速為物體的極限 速度。(4)由m =m0J1 -V2 c2可知當vT c時，必須m0 = 0 ,否則表達式無物理意義。因此光子靜止質量為0。三、相對論動能：1 .公式： Ek =mc2 -m0c22 .推導質點在力F作用下，速率由0t v,力對質點所作的功等于質點動能的增 量，即質點的未動能v v d 1Vl drEk = F dr mv dr = d mv 00 dt0dtv=jv d mvo式中d mv = mv dv v vdm = mvdv v2dm(1)又因為:m0得:J"一 2 2 一 2 2 一2 2m c

26、-m v =m°c兩邊微分:得:由（1）-2222mc dm -2mv dm -2m vdv = 022c dm = v dm mvdv(2)可得：v d(mv)=c2dm(2)故有mEk = c2dm = mc2 - m°cmo3.說明1)動能公式在形式上與牛頓力學不相同。推導過程中的關鍵:動能的定義質速關系積分2)當v <<c時,1 - v c 2二12 c2=122 c（麥克勞林展開）得:1Ek = - mv2與牛頓力學結論相同。四、相對論能量:在相對論動能公式中, 可以認為靜止能量（ 能之和等式右端兩項具有能量的量綱ORest Energy ):所有微觀

27、粒子支能及相互作用勢2Eo = moc相對論能量靜止能量與動能之和(質能關系，Mass Energy Relation )2E = mc質量變化一一能量變化lE = . ：mc21932年，英國物理學家 J. D. Cockcroft 與E. T. Walton 利用他們所設計 的質子加速器進行核蛻變實驗，為此他們于1951年獲得Nobel物理學獎。說明：1)質能關系是相對論最有意義的結論之一，一定的質量相應于的能量，二者的數(shù)值只相差一個因子 c2;例如：電子： m0=0.91 M0-30kg, E=8.19 X10-14J質子：m°=1.673 X10-27kg, E=1.503

28、X10-10J質量是物質慣性的量度，能量是物質運動的量度；兩者是兩種屬性不同的 物理量。2)對于一個孤立系統(tǒng)，質量與能量守恒，但可以有靜質量與動質量的相互轉 化，相應地就有動能與靜能的轉化；由能量守恒2 Ei= 2 mic2=const可得2 mi=const質量守恒在相對論中，二者相同一。3)在高能物質中，質能關系有很重要的應用。 例核反應：m10反應粒子的質量，m2。一一反應粒子的質量Ek1 反應前的總動量，Ek2 反應后的總動量能量守恒m1oc2+ Ek1= m2oc2+ Ek2Ek2- Ek1=( m20- mo)c2令A E= Ek2- Ek1核反應釋放的能量Am = m20- m1

29、0質量虧損則A E = A m c2原子能的基本公式例：氫核與瓶核的聚變2H+；HT：He+0n (中子)氫的三種同位素:已知m0(2H )=2.0141 022, m0(3H )=3.0160497u 五：H一一11H4 4.J 1,笊：D 21Hm0 cHe )=4.0026033u , m0 (01n )= 1.0086652u 瓶.T 31H J27 .其中 u =1.660552 10 kg反應前后靜質量之和(Z m0 * =5.0301519, E m0 匕=5.0112685u 靜質量減少-：m0 = 0.0188834u =0.0311 10 27 kg釋放能量.Emc2 =1

30、.759 107eV =17.59MeV =2.799 102J1kg優(yōu)質煤燃燒所釋放的熱量(2.931kg核燃料釋放的能量為3.35X1014J,是X107J）的 1.15 X107J 倍，即 1千萬多倍。五、能量與動量的關系:由能量公式E=mc2和動量的關系式P=mvPc帶入可得2二mcmomo2 4m°c對于光子 m0 = 0 ,E = PcP =-h、 hm =c六、質能公式在原子核裂變核聚變中的應用1、核裂變有些重原子核能分裂成兩個較輕的核，同時釋放能量，這個過程稱為裂變。235113995192U °n > 54Xe .38Sr 20n生成物的總靜質量比鈾

31、-235的質量要減少 0.22u ,因此一個鈾-235在裂變時釋放的能量為(1u=1.66 X10-27kg)由于瓶核的質量比鈾-235核的質量小，所以就單位質量而言，輕核聚變釋放的 能量要比重核裂變時釋放的能量大得多。2、輕核聚變有些輕原子核結合在一起形成較大原子核，同時釋放能量，這個過程稱為聚變。2H 2H >；He生成物的總靜質量比兩個瓶核的質量要減少0.026u ,因此兩個瓶核在聚變時釋放的能量為CL2Q 二.E 二.：mc278 211= 0.026 1.66 103 10=3.3 10 J = 200MeV例題1:靜止的冗與子衰變?yōu)镹+輕子和中微子v,三者的靜止質量分別為m定

32、mN和0,求"和中微子的動能。解：衰變公式（方程）為：五十（介子h N-v（中微子）而且在衰變過程中動量和能量均守恒：（1）動量守恒因為mY = 0 ,所以中微子不能靜止而必須具有動量Pv；衰變前總動量為0,因此衰變后PN巳=0 ,即：(1)(2)Pj = Pv（2）能量守恒衰變前總能量 mc ,衰變后E+Ev,因此有:2Ell ' Ev = m c由相對論能量和動量關系：222 22 42 2E = E0 Pc = m0c P c可得:2222 4c P.i - E.i - mc2222 4c Pv =Ev -mvC(3)=E： - 0 = E：(4)由（1 ）、（3）、（4）式可得:22 4(5)E ,i. - m.c聯(lián)立（2）、（5）式可解得:E(m2r+ m2iC22m 二Ev222m二-mc2m 二22根據(jù) Ek=mc -m0c 得:Ek.>. - E2i-m.c2(m2Ekv =E： -0 =(mn -m(if c22m 二-m2i c22m 二例I 設一質子原速度仃-k80,達動.求其總能讓，動能和動量-解 從表18-2知道，質子的靜能量為Ea. - mQc2 -«8