泰勒公式修正PPT課件

1、一、一、泰勒泰勒(Taylor)公式公式1. 泰勒公式的建立泰勒公式的建立回顧：特點:)(01xp )(0 xf )(0 xf )(xf)()(000 xxxfxf )(1xp以直代曲0 x)(1xp)(01xpxxy)(xfy O設 f (x)在 x0 處可導，則)1,0)(00時時且且當當 xxxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf x 的一次多項式第1頁/共61頁不足:1 精確度不高2 難以估計誤差.,0誤差較大誤差較大不是很小時不是很小時當當xx ,0 xxx很小的很小的只適用于只適用于 )()(01xxoxR 只知道誤差：只知道誤差：.)(1的大小的大小不能具體估計出誤

2、差不能具體估計出誤差xR第2頁/共61頁需要解決的問題:.0很小的限制很小的限制且去掉對于且去掉對于xx ),()()(xpxfxpnn ，使得，使得尋找多項式尋找多項式2 給出誤差：)()()(xpxfxRnn 的具體估計式.1第3頁/共61頁)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )(1xp觀察：)(01xp )(0 xf )(0 xf )(01xp有 )(xpn0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 相交相切猜pn(x) 與 f (x) 在x0 處相同的導數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？pn(x) 的確定:第4頁/共61頁要求: )(xpn )(xpn, )()

3、(00 xfxpn 1a)(202xxa 10)( nnxxan, )()(00 xfxpn ,0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 求系數(shù)尋求尋求n次近似多項式：次近似多項式：:ia. )()(0)(0)(xfxpnnn 0a, )(0 xf 1a, )(0 xf )(0 xpn )(0 xpn 第5頁/共61頁 )(xpn1a)(202xxa 10)( nnxxan要求:, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn )(xpn2!2 a20)()1( nnxxann2a, )(! 210 xf , )()(xpnnna

4、n!na),(!10)(xfnn )(!10)(xpnnn )(! 210 xpn )(xpn)(0 xf)(00 xxxf 200)(! 21xxxf nnxxxfn)(!100)( 階泰勒多項式階泰勒多項式處的處的在在nxxf0)(第6頁/共61頁帶有皮亞諾型余項的n 階泰勒公式),()(0baxxf的某開區(qū)間的某開區(qū)間在包含在包含若若n內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到階的導數(shù),),(bax 有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ).)(0nxxo 則對2. 帶有皮亞諾型余項的帶有皮亞諾型余項的n階泰勒階泰勒(Taylor)公公式式定

5、理3.6Rn(x) 的確定：第7頁/共61頁分析分析 要證要證只需證. 0)()()(lim00 nnxxxxxpxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ),)(0nxxo )()()(xpxfxRnn 令(稱為余項) ,. 0)()(lim00 nnxxxxxR只需證)(xpn第8頁/共61頁證證),()()(xpxfxRnn 令)(0 xRn)(0 xRn . 0)(0)( xRnn則有, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn nnxxxxxR)()(lim00

6、10)()(lim0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR )( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx 00)1()1()()(lim!10 xxxRxRnnnnnxx )(!10)(xRnnn . 0 洛必達法則第9頁/共61頁定理3.6的條件可以減弱：注注定理3.6 存在存在)(0)(xfn)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )(0 xUx 證明同上，只需注意到：提示：處可導處可導在在0)1()(xxfn 內(nèi)有定義內(nèi)有定義在某在某)()(0)1(xUxfn 階可導，則階可導，則處處在在若若nxxxf0)( .1)()(0階可導階可

7、導內(nèi)內(nèi)在某在某 nxUxf第10頁/共61頁帶有拉格朗日型余項的n 階泰勒公式),()(0baxxf的某開區(qū)間的某開區(qū)間在包含在包含若若內(nèi)內(nèi)具具有有直到 n +1 階的導數(shù),),(bax 有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 則對定理3.73. 帶有拉格朗日型余項的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒階泰勒(Taylor)公式公式),(xRn 其中10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR ).0(之間之間與與在在xx 第11頁/共61頁證證).()()1()1(xfxRnnn 只需證.)(!)1()()(10)1( nnnx

8、xnfxR ),()()(xpxfxRnn 令)(0 xRn)(0 xRn , 0)(0)( xRnn則有柯西中值定理 )( )(10 nnxxxR10)()( nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(0 xRn 0 )01(之間之間與與在在xx )0)()1( xpnn且第12頁/共61頁),0(之間之間與與在在nx )(2)1( )(0)(xnRnnnn )(1( )(011nnxnR 1022)()1()( nnxnnR !)1()()1( nRnn )(0 xRn 0 )(0)(xRnn 0 x)102(之間之間與與在在 x即10)()( nnxxxR!)1()()1( nRnn

9、 .)(!)1()()(10)1( nnnxxnfxR 第13頁/共61頁的冪展開成帶有的冪展開成帶有按按求函數(shù)求函數(shù))1(1)( xxxf解例例1.階泰勒公式階泰勒公式拉格日型余項的拉格日型余項的n.)!1() 1()(21)1( nnnxnxf, 1)1( f,!) 1()(1)( nnnxnxf, 1)1( f, !2)1( f!.)1()(nfn ,)1()1()(121 nnnnxxR 其中其中.1之間之間與與在在x ),()1()1()1(1)(2xRxxxxfnn 因此第14頁/共61頁注注 1 泰勒公式的余項估泰勒公式的余項估計計10)1()(!)1()()( nnnxxnfx

10、R ,)()()1(0時時常數(shù)常數(shù)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)當在當在Mxfxn ).0(之間之間與與在在xx .! )1()(10 nnxxnMxR).()()(00 xxxxoxRnn 顯然顯然的誤差為的誤差為代替代替用用)()(xfxpn有有)()()(xpxfxRnn 第15頁/共61頁(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?)(xf)(0 xf)(0 xxf (2) 當 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)?)(xf)(0 xf)(00 xxxf 20)(!2)(xxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf fd)0(之間之間與與在在xx )0(之間之間與與在在xx 2 泰勒

11、公式泰勒公式的特的特例例, 00 x(3) 若在泰勒公式中稱為麥克勞林公式第16頁/共61頁二、麥克勞林二、麥克勞林（Maclaurin）公式公式 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!)1()( nnxnxf 2!2)0(xf nnxnf!)0()( )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 由此得近似公式便可得到麥克勞林（ Maclaurin ）公式： , )10(,00 xx在泰勒公式中取第17頁/共61頁xxfe)()1( ,e)()(xkxf ),2,1(1)0()( kfkxe其中 )(xRn!)1( n)10( 1 nxx e幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式

12、：幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式：)0(f xf)0( 2!2)0(xf 1)1(!)1()( nnxnxf )(!)0()(xRxnfnnn 1 x !33x !nxn )(xRn !22x 第18頁/共61頁)sin( xxxfsin)()2( )()(xfkxsinx !33x !55x )(2xRm 其中 )(2xRm)212sin( mx 2 k2sin)0()(kfk mk2 ,012 mk,)1(1 m),2,1( m !)12(12 mxm1)1( m)10( 12 mx!)12( m)cos()1(xm 第19頁/共61頁)22(cos mx!)2(2mxm xxfcos)()3

13、( 類似可得xcos1 !22x !44x )(12xRm 其中 )(12xRm!)22( m)cos()1(1xm )10( m)1( 22 mx第20頁/共61頁)1()1()()4( xxxf )()(xfk )1(x 1 x 2xnx)(xRn 其中 )(xRn11)1(!)1()()1( nnxxnn )10( kxk )1)(1()1()1()1()0()( kfk ),2,1( k!2 ) 1(! n )1()1( n 第21頁/共61頁)1()1ln()()5( xxxf已知)1ln(x x 22x 33x nxn )(xRn 其中 )(xRn11)1(1)1( nnnxxn

14、)10( 1)1( n類似可得 )()(xfkkkxk)1(! )1()1(1 ),2,1( k第22頁/共61頁三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在函數(shù)逼近中的應用 第23頁/共61頁誤差,!)1()(1 nnxnMxR其中M 為)()1(xfn 在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.常見類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ; )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.2. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用第24頁/共6

15、1頁在例例2 計算無理數(shù)計算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106 解xe中令 x = 1 , 得e).10(!)1(e!1!2111 nn)10( 由于,3ee0 欲使)1(nR!)1(3 n,106 的麥克勞林公式!)1( nx e1 nxxe1 !33x !nxn !22x x 由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因此e!91!2111 .718281. 2 第25頁/共61頁3. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限.克勞林公式克勞林公式利用帶皮亞諾余項的麥利用帶皮亞諾余項的麥.ecoslim4220 xxxx 求極限求極限解),(41211cos442

16、xoxxx ！例3)(!211e22tottt 時，時，當當22xt ),(42121e44222xoxxx ！第26頁/共61頁44424420)(4! 2121 )(! 4211limxxoxxxoxxx ！4202ecoslimxxxx ),(42121e44222xoxxx ！),(41211cos442xoxxx ！.121 4440)()81241(limxxoxx 第27頁/共61頁)11ln(lim2xxxx )1(211lim222xxxxxx (方法1)用泰勒公式)1(xt 令令)1ln(t t 22t 33t ntn ),(nto 1)1( n)0(Ut 例例4)1(21

17、lim22xxx .21 ).11ln(lim2xxxx 求求解第28頁/共61頁(方法2).21 )11ln(lim2xxxx 20)1ln(limtttt 得得令令,1tx )1ln(11lim20tttt ttt2111lim0 )1(21lim0tt 用洛必達法則，需換元:第29頁/共61頁11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1( )10( 例5證21)1(1xx 21x 2)121(21!21x 325)1)(221)(121(21!31xx 3225)1(161821xxxx ).0(82112 xxxx4. 利用

18、泰勒公式進行證明利用泰勒公式進行證明)10( ).0(82112 xxxx證明證明第30頁/共61頁證例例6上具有三階連續(xù)上具有三階連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)1 , 1)( xf, 0)0(, 1)1(, 0)1( fff且且. 3)()1 , 1( f，使，使內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點區(qū)間區(qū)間!3)(!2)0()0()0()(32xfxfxffxf 32)(61)0(21)0(xfxff 之間，之間，和和介于介于其中其中x0 由麥克勞林公式有證明在開導數(shù)，從而第31頁/共61頁)1(0 f)01(1 兩式相減得)(61)0(21)0(1 fff )1(1f )10(2 )(61)0(

19、21)0(2 fff 6)()(21 ff32)(61)0(21)0()(xfxffxf 1 , 1 x從而由介值定理，和最大值和最大值上必有最小值上必有最小值在在又又Mmxf)(2, 1 使得使得),1 , 1(2, 1 )( f)()(2121 ff ,Mm . 3)()(2121 ff第32頁/共61頁1. 泰勒公式其中余項)(0nxxo 當00 x時為麥克勞林公式 . )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR )0(之間之間與與在在xx 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)第33頁/

20、共61頁2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式,ex, )1ln(x ,sin x,cos x )1(x 3. 泰勒公式的應用(2) 近似計算(3) 求極限 (4) 證明(1) 利用多項式逼近函數(shù)第34頁/共61頁思考題思考題1. 在第一 章6 中，重要極限)()11(lim存在存在annn 718282. 2e a為什么？解,)11(nnnx 設設!1! 2111nyn 由第一 章6 的證明，知nnyx 第35頁/共61頁,時時當當又又nm mmmx)11( )11()11(!1)11(! 2111mnmnm )11()11(!1mmmm )11()11(!1)11(! 2111mnmnm 舍掉對于固

21、定的n, 令m 得nya n+1 項.ayxnn 第36頁/共61頁nnnx)11( ayxnn axnn lim 由夾逼準則，得.limaynn ).10(!)1(e!1!2111e nn!1! 2111nyn )!1(e nyn elim nny一方面，另一方面，由于. e a從而從而第37頁/共61頁解的幾階的幾階時是時是當當試問函數(shù)試問函數(shù)xxxx0sin 無窮小量？無窮小量？),(!3sin33xoxxx 因為因為2.),0()(! 3sin33 xxoxxx.sin0的三階無窮小量的三階無窮小量是是時，時，所以當所以當xxxx 第38頁/共61頁備用題備用題例例2-1 計算 cos

22、 x的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解近似公式的誤差為)cos(!4)(43xxxR .244x 令,005. 0244 x解得,588. 0 x即當588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到 0.005 .用近似公式! 21cos2xx 第39頁/共61頁選擇解37x211(6 ),(822xRx 例例2-2 計計算算的近似值 , 要求精確到小數(shù)點后的13637 .2)1(621近似值近似值階麥克勞林公式來求其階麥克勞林公式來求其的的x 21)1(6x 第5位.).10(16)1()(3252 xxxR其中其中 )1(x 1 x 2x)(2xR !

23、2 ) 1(,)3611(621 第40頁/共61頁)361(62R33611616 ,105 . 05 因此符合精度要求，)36181361211(6372 .08275. 6 來計算，來計算，取取)0(3610 xx其其誤誤差差為為).10(16)1()(3252 xxxR第41頁/共61頁解x4312 43 x21)431(2x 用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,由于)(nxo nx! n ) 1() 1(n )1(x 1x 2x !2 ) 1(2 x43 ),(1694122xox 2 )43(211x ! 21)121(21 2)43( x)(2xo 例例3-1.43

24、443lim20 xxxx 求求第42頁/共61頁x34 21)431(2x 2 20 limxx )(1692122xox .329 x43 ).(1694122xox 類似地，類似地，2043443limxxxx 243 xx43 ),(1694122xox 第43頁/共61頁解),(!211e4422xoxxx ),(!4!21cos542xoxxx ),()!412!21(3cos2e442xoxxx .127)(127lim4440 xxoxx原式例例3-2.3cos2elim402xxxx 求求第44頁/共61頁例例3-3),(!3!21e332xoxxxx ),(!3sin33x

25、oxxx 利用泰勒公式求極限解3333320)1()(!3)(!3!21(limxxxxoxxxoxxxx 原式原式33320)(!3!2limxxoxxx .31 .)1(sinelim30 xxxxxx 第45頁/共61頁解xxsin1 )(132xx xcos例例3-4因為)0(),(4332 xxx x2sin22)(xx .cossin1sinlim20 xxxxx 求求)(21132xx )(21132xx )(41132xx xxxcossin1 )0(),(32 xxx 第46頁/共61頁.34 所以xxxxxcossin1sinlim20 )(43)(lim32320 xxx

26、xx 第47頁/共61頁證例例5-1上有二階導數(shù)，上有二階導數(shù)，在在設設10)(xf,| )(|axf ,| )(|bxf .212| )(|)1 , 0(bacfc 有有),1 , 0( c對任意給定的對任意給定的處有二階處有二階在點在點所以函數(shù)所以函數(shù)cxxf )(泰勒中值公式成立，泰勒中值公式成立，即即2)(!2)()()()(cxfcxcfcfxf 其中a, b是非負數(shù)，求證：對一切有二階導數(shù)，上上，在在因因10)(xf第48頁/共61頁,之間之間與與在在其中其中xc 時，時，和和特別當特別當10 xx. 1,010 cc其中其中兩式相減得,)0(!2)()0)()()0(20cfcc

27、fcff ,)1(!2)()1)()()1(21cfccfcff )()1)(!21)()0()1(2021cfcfcfff 第49頁/共61頁)1(222ccbaa 于是)()1)(! 21)0()1 ()(2021cfcfffcf | )0(| )1 (| )(|ffcf | )(|)1 ( | )(|! 212021cfcf ,| )(|axf )1 , 0(,| )(| cbxf122222 ccba.22ba 1)1(222 ccba第50頁/共61頁證上二階可導，上二階可導，在在設函數(shù)設函數(shù),)(baxf且且例例5-2使得, 0)()( bfaf),(ba 試證明存在一點試證明存在

28、一點. | )()(|)(4| )(|2afbfabf 有有點應用泰勒公式點應用泰勒公式點與點與分別在分別在,ba )(xf21)(!21)()(axfaxafaf )(1xa ,)()(! 21)(21axfaf 第51頁/共61頁,2bax 在上面兩式中令在上面兩式中令)1()2(可得 )(xf22)(! 21)()(bxfbxbfbf )(2bx ,)()(! 21)(22bxfbf 21)()(81)()2(abfafbaf 22)()(81)()2(abfbfbaf 得得用用)1()2( 0)()()(81)()(122 ffabafbf第52頁/共61頁,)(, )(max| )(|21fff 取取從而得),(ba 則則| )()(|)(81| )()(|122 ffabafbf ()()(81122 ffab |,)(|)(41| )()(|2 fabafbf 并有并有),(ba . | )()(|)(4| )(|2afbfabf 使得即存在一點第53頁/共