線性代數(shù)：第五章 特征值與特征向量

1、, ,AnnXAXAAXX 設(shè) 為 階方陣 若存在數(shù) 和 維向量使得:則稱數(shù) 為 的特征值是 的對(duì)應(yīng)(屬于定義1.1) 的特非零征向量.12311122231111,5115231141445114143112122515105AXXXAXXAXAAXXAXAAX ：設(shè)的特征值是 ，是 的屬于4的特征向量。的特征值是-2，是是 的屬于-2的特征向量。例3333115 5123XXA 不是 的特征向量。 1111111 -0 )00)0 )0)0)0 AXAXXAXEXAE XXAE XAEAEAEAE X設(shè) 是矩陣 的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則有 ，即：(因?yàn)椋史匠探M (有非平凡解！又因矩

2、陣(是方陣，故 det(反之，由det(，知方程組 特征值與特征向量的求法(有1111XAXXAX非平凡解，又可以推出 ，即是矩陣 的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量. 111212122212111212122212 )0 =nnnnnnnnnnnnAnaaaAEAaaaAEAEaaaaaaaaaAaaaA定義1.2特征矩陣特征設(shè) 是階方陣，的：的：的多項(xiàng)式 det(特征方程det(：111012 det()0, nnnnnAEbbbbA 令特征方程的根,，就是 的所有特征值12 (1) det()0, .(2) ()0 ()0 niiniii解特征方程求得特征值 ， ， ，可能有復(fù)根，也可能有重根

3、對(duì)的 ，其對(duì)應(yīng)的特征向量是方程組：的，有，用解集的 表示 對(duì)于特征值，方求解步驟不同非零解程組 的解集是的子空間()，稱為是矩陣 關(guān)于的(由零向量和所無(wú)窮多個(gè)向量參數(shù)形式解空間特征空間有特征空間AEAE X =AE XAR R i對(duì)應(yīng)的特征向量組成).2231100010000110430.102 110430(2)(1)102 2,1.2,(2 )031002410 100, AAAEAAE XAEX 11:求矩陣 的特征值和特征向量解的特征多項(xiàng)式為所以的特征值為當(dāng)時(shí) 解程 方 例組得基礎(chǔ)解系10 ,1(0)2kkX 1所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量,().,().AE XAkXEkX 3232

4、10 2101014200121010001 210122當(dāng)時(shí) 解方程組 由得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量1111 , (,) 1,0 ttttkkkk性質(zhì)非若為方陣的一個(gè)特征值，為 零組屬于 的特征向量，則它們?nèi)我獾牟蝗珵?也是的屬于 的特征向量合AXX X AX =X1111 , det( ) ( A) ijnnnniiiiiiininiianaa 1212若 階方陣的特征值為則 性 為質(zhì)稱跡的 A2 =A1112121222111-11122 ,det()0 det( )detdet()()()()0()()()(nnnnnnnnnnnnAEnAaaaaaaAEaaanAEaaa1

5、21 21212：由于是的 個(gè)根，有 令，則由于是 的 次多項(xiàng)式，其() 項(xiàng)的系數(shù)為證明 -1211) nnnniiiiia1的展開(kāi)式() 項(xiàng)的系數(shù)為由于恒等式兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)必相等，所以，0101220101 ( ), ( )( ),0,:( )() 3( )( )mmmmmmmmAf xaa xa xaaaffAXX XA XA XAXXA XXfXaaaXaffaa若 為 的特征值， 為相應(yīng)的特征向量，設(shè)有多項(xiàng)式則方陣 的特征值為特征向量為 仍為方陣屬于的特征向量。: 由有一般有性質(zhì)證XEAAXAAEAAEXAAX0101 =( )mmmmXaaaaaafXmmAXXX()X =1232

6、2123123 33043 48 , det( ) ( )48, ( ) 3()8,()8,()5 det( )() () ()8 8 532 0ABAAIBf xxxBf ABfffBfff 設(shè) 為 階方陣，有 個(gè)特征值 ，；求解：設(shè)則 的 個(gè)特征值為： 例 11*11111*111111*1,(1),0,(3).:(1)det( )0, 0,1,(2)(3)det, ,.detinnAAAXX XA XXAAinAXXA AXAXXA XXA XAA AAAAA i:設(shè) 可逆 則 的特征值不為0.(2)若則求 的特征值解由故由若 的特征值為則的特征值是所以 的特征值為例1123131211

7、1, , det, , , .:3,().: ()0,1,21,3nnnnAAAEAEAE即設(shè) 階方陣 的特征值為求的特征值解的特征值是,例11,2,31故值2征,的特是 111111,10 1, mmmkkkkkkAmtttktkc 11111不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)：設(shè)是 的 個(gè)互不相等的特征值， 其相應(yīng)的特征向量分別為對(duì)特征值個(gè)數(shù) 用數(shù)學(xué)歸納法證線性無(wú)關(guān).當(dāng)時(shí)， 結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)可由線性表示性質(zhì)4 證明1120,0kkkkccacc1不全為111 111 11111111111 11111()()()0(1,2, ), ,0()()0,kkkk

8、kkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkcccccccAccikccccccc1111111兩邊左乘不全為 ， ,不全為 AAA,kkm11線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)矛盾，所以,線性無(wú)關(guān)11212 , , (1,2, ) ,1 ,15itiiiiirtijintritrrritjr 設(shè)是階矩陣 的 個(gè)互異特征值,對(duì)應(yīng)的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為: 所有性質(zhì)這些共個(gè)特征向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)。A設(shè)為 階方陣，存在可逆矩陣 ，使得 則稱，記為可逆矩陣 稱為將 變?yōu)?的相似變換矩陣.定義2.1 與 相似反身性：對(duì)稱性：，則 傳遞性： ，則 若： 則 mmPP AP = BA B ABA A A B

9、 B A A B B C A C ABPA B A B1,(1)(2)(3),(4) ,A Bn111111det( )det()det()det( )det( ) det( )det( )det( )1)2det(相似矩陣有相同的秩.：設(shè)，則存在可逆陣 ，使相似矩陣行列性質(zhì)證性質(zhì)證式相同.：設(shè)，則存在可逆陣 ，使 A BPP AP = B rank(B)= rank(P AP)= rank(A) A BPP AP = BBP APPAPPPAA11111111111det()det()3detdet4de設(shè) 與 相似，則 與 同為可逆或不可逆，可逆時(shí)，與亦相似：設(shè) 與 相似，則存在可逆陣 ，

10、使因?yàn)?，故 與 同為可逆或不可逆.由， 得 ，與亦相似相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值(及重?cái)?shù)). ：性質(zhì)證性由得質(zhì)，證 BA ABABABABPP AP = BABP AP = BAB P AP = BP A P =BEP APEB 11t()det()det()AB與 有相同的特征多項(xiàng)式，于是有相同的特征值.1P APP (E)PP (AE)PAE性質(zhì)5證1211212120000( ,)000000det()()()()00,nnnnnBdiagBIBnAA 與 相似的矩陣有相同的特征值。而對(duì)角矩陣的特征值最容易計(jì)算：對(duì)角陣 的所有特征值就是 個(gè)對(duì)角元素： ,若 能與對(duì)角

11、陣相似，稱 可對(duì)角化. -哪些矩陣可對(duì)角化矩陣可對(duì)角化條件A？11111diag(diag(di2ag(diag(,.1nnnnnnnnAnXXXXXXAX1111對(duì)角化定理階方陣 與對(duì)角陣, ,)相似的充分必要條件是：有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證明：設(shè) 與, ,)相似，則存在可逆陣 ，使得 , ,)，即有 , ,)記 ， 可逆陣，, ,線性無(wú)關(guān)，有定理必要性 AAPP AP =AP = PP =P AP = A=1111, diag(,),1, ), 0,nnnniniiiAXXXinXXXAAXX而 故 (由于，是 的特征向量.P11111111111, (1,2, ),(,),(,),n

12、niiinnnnnnnnnnnnXXXXinXXXXdiagXXdiagXXXXXxXXdi11：設(shè) 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量對(duì)應(yīng)特征值為，則有 構(gòu)造矩陣，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，故 可逆充故分性.，AAPPPAPAAAAP = P111(,)(,).nnagdiagAP，即 注意： 相似的對(duì)角矩陣和相似變換矩陣不是惟一的，但的構(gòu)造要與對(duì)角矩陣相對(duì)應(yīng)！P AP = , nAkllknAAkl設(shè)為 階方陣 的一個(gè) 重特征值(),對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)()則 （證明略）階方陣 與對(duì)角矩陣相似的充要條件是：的每個(gè)特征值的等于: 定理代數(shù)重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù) 定理代數(shù)重?cái)?shù)幾何 （重?cái)?shù)證明略）.nn 有 個(gè)互異

13、特征值的 階方陣可對(duì)角化定理5.212312123323222242422, 52, ( 2,1,0) ,(2,0,1) , 5(1, 2,2)2 1 25TTTAXXXA 矩陣是否可對(duì)角化？若可對(duì)角化求相似變換矩陣.解 求得特征值為： 對(duì)于求得最多線性無(wú)關(guān)特征向量組：對(duì)于，求得線性無(wú)關(guān)特征向量：所例 其個(gè)數(shù)重?cái)?shù)其個(gè)數(shù)以， 數(shù)重1231221,102012 (2,2, 5)PXXXPPAPdiag，是相似變換矩陣，121212121 ,( ,) ,( ,) ( 3,1,2) ,(4,3, 1) ,( ,)( 3) 4 1 32 ( 13).111TTnnnnTTiinniTTb bbabb b

14、b 設(shè) =,為中任意兩個(gè)向量。實(shí)數(shù): ，=（）稱為與的內(nèi)積.：內(nèi)積：定義了內(nèi)積的向量空間定稱為內(nèi)積空間。義例內(nèi)積空間R R 1,; 2, 3,; (4),0, ,0. ：當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)積運(yùn)算質(zhì)0時(shí)性，=R R1222212222, , 0, ( 3,1,2) ( 3)1214TTnnnnTaaa 定義3.2范數(shù)模長(zhǎng) 設(shè)（），定義 的長(zhǎng)度（）為，記為的長(zhǎng)度也稱為 的，為1的向量度單位向稱為.，易驗(yàn)證為單位向量，稱其量的單位為（或規(guī)范化向量化向量例）：的單位化向量R RR R1312( 3,1,2)(,)14141414TT： 200,2,00;,; ,; ttttttkkkCauchy 若，則柯西不

15、等式顯然成立. 若，對(duì)，有 0 取 ，則有 10,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有23 柯西（）不等式：4 三角不等式:（1）（2）可由長(zhǎng)度定義直接證：證明；下面證（3）向向量量長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的性性質(zhì)質(zhì)3.13.1R RR R 220, 從而，兩邊開(kāi)方，于是: 2222(4): + ,+,2, ,2, 2 ,+ = 所以， 證2 , arccos , , 1,113.3 , 1nn TT設(shè)為非零向量，規(guī)定它們的夾角為定0記為 向量若=0，則稱 與 相互(也稱相互) 例如: 零義定義3.4 正交垂直定義3.5向量與任意向量正交，中向量與正交.設(shè)中一組向量，若它們兩兩非零正2 2n nR RR RR R5 5n交，則稱其

16、為的一組正交向量組.n nR R1111111, ,01,2,. ,0. ,0 ,0. 0 ,0 ,mmmimmiiiiimimijiiiiiikkkkimkkkijk i 正交向量組必線性無(wú)關(guān).：設(shè)為正交向量組，=0.:當(dāng)定理3.1證兩邊時(shí)與取， 又 從而內(nèi)，于是積101,2, , , imkim，線性無(wú)關(guān). 證畢1231233212312312123121233 = 2 1 2,1, 2,0,0,220 2 04254TTTx xxxxxxxxxx 11323： 已知向量， ，求使得， 是的一組基。： 由于，所以，正交。設(shè)它與，正交，則(,)=0即(,)=0取其任意一個(gè)非零解得到例解R R

17、1233, 2,5,T則，是正交組，所以是的一組基，且是。正交基R R111211211111112111121 , , , ,rrrrrrrrrrrVV 是內(nèi)積空間 的一組基,令則是 的一組，且與， ，可相互線性表示. (定理3.2正交基證明略)施密特正交化方法123112112311111223331222, (1,1,0,0) ,( 1,0,0,1) ,(1,0,1,0) ,(1,1,0,0),11 1( 1,0,0,1)(1,1,0,0),0,122 2,(1,0),1,0TTTTTTTT 已知將它們變成單位正交的向量組。解：先用施密特方法正交化。令：例11/21 1111(1,1,0

18、,0),0,1,1,23/22 2333TTT1122331231111(1,1,0,0),0,0222111 1112,0,1,0,2 23/2666111111131,1,33312 /312121212,TTTTTT 123單位化正交單再位。令：則是向量組。1 . TTnnAA AEAAAAnA若 階實(shí)矩陣 滿足 則稱 為正交矩陣.由定義易知， 為正交矩陣的充要條件為 （正交矩陣的構(gòu)造） 階實(shí)矩陣 為正交矩陣的充要條件是：其列（行）向量組是定義3.7定理3.的單3 位正交基.R R121112112122221212(,1,2,(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)1

19、(,)0niTnTnTnTnnnnnTijAAiinA AijA AEij ：設(shè))，其中為 的第證(以列向量為例證個(gè)列向量，明)則1212, ,nnn 兩兩正交且都是單位向量 為中的單位正交基.R R21112121,det1.,nnnYXX YRYTXYTX YTTAAA BABAAnRRXXTY Y 正交變換均為上的列向量正交變正換交變換定義: 定理 保向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度：（1）若 為正交矩陣，由也為正交矩陣;（2）若為同階正交矩陣，由也為正交矩陣;（3）若 為正交矩陣,則設(shè) 為 階正交矩陣，稱上滿足的變換為上的及其夾角() 即若且則 （1）持變，其中 .有不正正交交矩矩陣陣性性質(zhì)質(zhì)1221

20、2(); (), ; () YXYXXXY （2） 內(nèi)積不變長(zhǎng) （3度不變夾 角不變）12121 1 ,(), ,0TnniiTTTTTTTTTTTnAXXAXx xxXx xxxxAAA AAXAXX A XAXXAXXXXXXX XX XXX Xx xx：則 又因?yàn)?證, 由 定定理理3.43.4 T實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).設(shè)， 為實(shí)對(duì)稱矩陣。令，記=, 其中 表示 的共軛復(fù)數(shù).由 實(shí)對(duì)稱，所以,=只需證即可.考察等式0nx所以即 為一個(gè)實(shí)數(shù) , 11121122122121221212212121211212, ,. TTTTTTTAAXXAXXXXXXXXXAXXA XAXXXXX

21、XX 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量必正交.設(shè) 為實(shí)對(duì)稱矩陣， 則 由, 所以必有定理3.5 證：2,0X11211 ,TnnTATTTTTATAAA定理3 設(shè) 為實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在正交矩陣 ，使得為對(duì)角矩陣，即其中為 的全.6實(shí)對(duì)稱矩陣必與對(duì)部特征值（允許有角陣相似，即可對(duì)重根）.(角化) 111112det,1,2,0, , iimimriiiiiirimiiAErnAiT ATrXTmrAAE由特征多項(xiàng)式， 其中 得到 由于 可對(duì)角化，設(shè)對(duì)應(yīng) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的為 ，它們可通過(guò)求的基礎(chǔ)解系獲得.3 利用施密特正交化重特征值解方程方法再單位化，全部互異特征值組將特征向量給給定定實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱

22、稱矩矩陣陣 ，求求正正交交矩矩陣陣 ，使使為為的的步步驟驟1 1 對(duì)對(duì)角角 矩矩陣陣 ： = =2 2 1211111121211111,;,;,iimmiiriiirrrmmrrmmrnTrT化為，由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，這樣得到 個(gè)兩兩正交的單位特征向量: 個(gè)兩兩正交4 取，則 為的單所求 的正位向 量 交矩陣.13 ,det()(3)( 1) QAQAQAE例求正交已知實(shí)對(duì)稱矩陣011-110-11=1-101-1110使得為對(duì)角矩陣。：-11-11-111-1-1-111-矩陣解11112341211212131331,(1,1,0,0) ,(1,0,1,0) ,(1,0

23、,0, 1)(1,1,0,0),111(1,0,1,0)(11, 3(-,1,01 )0,0),1,0222 ,TTTTTTTAE X 123得到 對(duì)，求方程組 的基礎(chǔ)解系為用施密特方法將其正交化：=122232,11113,33T，1234(1, 1, 1,1)111(1,1,0,0),0,0222111112(0),0223/26661113111 1, ,222222 3 2 3 2 3(3 )0 ,TTTTTTTAE X 41234對(duì)，求方程組 的基礎(chǔ)解系=-3相互正交，將其單位化為則：，,1，1234111112262 311112262 32110262 3310022 ,11 13QQ AQ 得到正交矩陣：則有：11111212111212 ,(,), (,),()()(,)(,) Q QQQQ nnnnAQBQAQBQA BnABdiagdiagQ AQ Q BQdiagdiagdia 設(shè)均為 階實(shí)對(duì)