高等數(shù)學(xué)：3-1 微分(1-14)

1、第三章第三章 微分學(xué)的基本定理微分學(xué)的基本定理3.1 微微 分分11線性近似線性近似設(shè)設(shè) y = f (x) 在在 x0 0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,則有則有0000 xxxfxfxfxx )()(lim)( )()( )()(1000oxfxxxfxf )()( )()(0000 xxoxxxfxfxf )()( )()(0000 xxoxxxfxfxf 記記)( )()(000 xxxfxfxLy 則則 L( (x) )是曲線在點(diǎn)是曲線在點(diǎn) (x0 , f (x0) 處的切線處的切線, ,從上式得從上式得 )()()(0 xxoxLxf )( )()()(000 xxxfxfxLxf 0 x)(

2、Lyxoxy)(yxfM說明：說明：)( )()(000 xxxfxfxL 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f(x) 在在點(diǎn)點(diǎn)x0 0 附近的附近的線性近似線性近似(即在即在點(diǎn)點(diǎn) x0 附近附近以直代曲以直代曲) (1) 線性近似的幾何意義：線性近似的幾何意義：)( )()()(000 xfkxxkxfxAy存在存在 0, 使當(dāng)使當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有),( 0 xNx )()()()(xAxfxLxf （總習(xí)題（總習(xí)題 5）例例 計(jì)算計(jì)算 sin290 的近似值的近似值 取取 f (x)= sin x , 00029630 x x, 解解(2) 過點(diǎn)過點(diǎn)(x0 , f(x0) 的切線的切線 y =L(x

3、) 是是 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 任意一條直線任意一條直線 局部的局部的最佳的線性近似最佳的線性近似 , 即對(duì)于過點(diǎn)即對(duì)于過點(diǎn) (x0 , f(x0) 的的 則則, xx180100 利用線性近似公式利用線性近似公式, 有有4849018066290.)(cossinsin 2 微分微分若若 y = f (x) 在在 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 則則)()()()(0000 xxoxxx fxfxf )()()(xoxx fxfy 00即即 0 xxx )()()(xoxx fxf 00定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 如果增量

4、如果增量 y = f (x0+ x) f (x0) 可以表示為可以表示為)( xoxAy 其中其中A是不依賴于是不依賴于 x 的常數(shù)的常數(shù),則稱則稱f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處可微可微,并稱并稱 A x 為函數(shù)為函數(shù) y =f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處對(duì)應(yīng)于自變量增處對(duì)應(yīng)于自變量增量量 x 的的微分微分,記作記作 dy, 即即xAdy 定理定理 (可微的充要條件可微的充要條件) 函數(shù)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處可微的充要條件是處可微的充要條件是 f (x) 在在 x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且且xxfdy )( 0證明證明 只需證必要性只需證必要性 若若 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處可微，

5、則對(duì)處可微，則對(duì) x，有有)()()(xoxAxfxxfy 00 xx oAxxfxxfxy )()()(00)(xf 在在 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且且)(0 x fA 說明：說明：)( xodyy (1)(2) 若取若取 f (x)=x, 則則 dx = x 即自變量的微分即即自變量的微分即為自變量的增量，為自變量的增量，從而微分從而微分 xdxfdy)( 0 )( 0 xfxddy 即即 y對(duì)對(duì) x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 即為微分即為微分dy與自變量的微分與自變量的微分 dx 之比之比)( 0 xf微分的幾何意義微分的幾何意義:)(Lyxoxy)(xfy Mx0 x0+ x y xxfdy0微分的四

6、則運(yùn)算法則：微分的四則運(yùn)算法則：)()()()()(xdvkxdukxvkxukd 21211 )()()()()()()(xdvxuxduxvxvxud 2)()()()()()()()(xvxdvxuxduxvxvxud 23 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分 ( 一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性)設(shè)設(shè) y = f (u), u = (x) 都為可微函數(shù)都為可微函數(shù) , 考察復(fù)合函數(shù)考察復(fù)合函數(shù) y =f ( (x) 的的微分微分duufxdxu fxdxfdyx)( )( )()( 即有即有 udufdy)( (一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性)此式說明：此式說明：( 1 )

7、 不論不論 u 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量 , 函數(shù)微分函數(shù)微分 dy 的形式完全相同的形式完全相同 )( (xdxfdy ( 2) dy 與與 du 之比表示之比表示 y 對(duì)對(duì) u 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)( a ) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:xddududyxddy ( b ) 反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則:dyxdxddy1 ( c ) 參數(shù)方程的求導(dǎo)公式參數(shù)方程的求導(dǎo)公式:dtxddtdyxddy 例例 設(shè)設(shè) , 求求 dy 及及xyarctan 1 xdy解解)()(xdxdy211 dxxxxdxx)( 1212111xddydy x4111 )(一階微分形式的不變性一階

8、微分形式的不變性) 將方程中的將方程中的 y 看作看作 y(x) , 則方程成為恒等式則方程成為恒等式 , 023 dyxydxd)sin()(02322 dydyxyxdxyxdx sincos解得解得xdxyxyxdysincos21322 例例 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)523 yxyxsin的微分的微分 dy 解解在方程兩邊取微分在方程兩邊取微分 , 有有 由于由于 cos)(x sin)(y取微分有取微分有 dddx sin)()( cos dddy cos)()( sin22)()( dd例例設(shè)曲線既可用參數(shù)式設(shè)曲線既可用參數(shù)式 x = x(t), y = y(

9、t) 表示表示 , 又又2222)()()()( dddydx可用極坐標(biāo)可用極坐標(biāo) = ( ) 表示表示 , 求證：求證：解解222)sin(cos)()( dddydx2)cos(sin dd 微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用：微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用： 設(shè)設(shè) y = f (x) ,)()(xf xf x x 00用用，如如果果產(chǎn)生的絕對(duì)誤差：產(chǎn)生的絕對(duì)誤差：, xxx0 yxfxfy )()(0 相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：0000 xdxxxxxxx 000yyxfxfxfy )()()(* 若用若用, ydy 則有則有絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：dyy 相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：0ydyy * 例例測(cè)得一球體的直徑測(cè)得一球體的直徑 D=20 (cm) , 已知它的絕對(duì)已知它的絕對(duì)誤差誤差, cm D)(.050 求由此引起計(jì)算球體積求由此引起計(jì)算