高等數(shù)學：1-4無窮小與無窮大

1、1無窮小無窮小(infinitely small)無窮大無窮大(infinitely great)小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大2 拉格朗日曾用無窮小分析的方法拉格朗日曾用無窮小分析的方法,系統(tǒng)系統(tǒng)地建立了動力學基礎地建立了動力學基礎,創(chuàng)立了創(chuàng)立了“分析力學分析力學”. 牛頓對微積分的探討牛頓對微積分的探討,可以說使用了無可以說使用了無窮小的方法窮小的方法.的理論稱為的理論稱為“無窮小量分析無窮小量分析”.常常把整個變量常常把整個變量 歐拉于歐拉于1748年寫的二卷名著書名冠以年寫的二卷名著書名冠以無窮小分析

2、引論無窮小分析引論.即所謂無窮小量即所謂無窮小量.英國數(shù)學家、物理學家英國數(shù)學家、物理學家(16421727)牛頓牛頓拉格朗日拉格朗日意大利數(shù)學家、力學家意大利數(shù)學家、力學家(17361813)瑞士數(shù)學家瑞士數(shù)學家(1707 1783)歐拉歐拉都可以轉化為一種簡單而重都可以轉化為一種簡單而重要的變量要的變量, 數(shù)學分析的歷史表明數(shù)學分析的歷史表明,較復雜的變量較復雜的變量,很多變化狀態(tài)比很多變化狀態(tài)比無窮小與無窮大無窮小與無窮大31. 定義定義 極限為零的極限為零的變量變量稱為稱為無窮小量無窮小量, , 簡稱簡稱如如,是是函數(shù)函數(shù)xsin,0時時當當 x,時時當當 x是是函數(shù)函數(shù)xxsin,2

3、時時當當 x是是函函數(shù)數(shù)2 x無窮小是指無窮小是指函數(shù)變化的趨勢函數(shù)變化的趨勢.,時時當當 n.)1(是無窮小是無窮小數(shù)列數(shù)列nn ,1時時當當 x.窮小窮小皆非無皆非無;無窮小無窮小;無窮小無窮小;無窮小無窮小無窮小無窮小. .一、無窮小一、無窮小無窮小與無窮大無窮小與無窮大在某個過程中在某個過程中4定義定義1 1),(0 不論它多么小不論它多么小 0 使得當使得當 |00 xx恒有恒有 | )(|xf),0( X或或),|(Xx 或或,)(0時的無窮小時的無窮小當當則稱則稱xxxf0)(lim0 xfxx記作記作1) 無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小很小的數(shù)混淆不能與很小很小的數(shù)混淆;

4、2) 零是可以作為無窮小的零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)唯一的數(shù).注注“無窮小量無窮小量”并不是表達量的大小并不是表達量的大小,而是表達而是表達 它的變化狀態(tài)的它的變化狀態(tài)的.“無限制變小的量無限制變小的量”)( x或或).0)(lim( xfx或或無窮小與無窮大無窮小與無窮大52. 無窮小與函數(shù)極限的關系無窮小與函數(shù)極限的關系證證,)(lim0Axfxx 設設Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xAxf 定理定理1 1Axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的無窮小是當是當其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當當恒有恒有 |)(

5、|Axf也即也即 | )(|x無窮小與無窮大無窮小與無窮大6),()(xAxf 設設,是常數(shù)是常數(shù)其中其中A,)(0時的無窮小時的無窮小是當是當xxx Axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的無窮小是當是當其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當當恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 類似可證明類似可證明 的情形的情形. x定理定理1 1無窮小與無窮大無窮小與無窮大7例例可表為可表為函數(shù)函數(shù)時時13,2 xx 13x即即時的無窮小時的無窮小是是其中其中,263( xx. 5)13(lim2 xx

6、故得故得 5)63( x)0)63(lim2 xx無窮小與無窮大無窮小與無窮大意義：意義：1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)8在同一過程中在同一過程中, 有限有限個無窮小的代數(shù)和個無窮小的代數(shù)和證證是是及及設設 , 0 定理定理2 2仍是無窮小仍是無窮小. .3. 無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì),|1時時當當Nx ,|2時時當當Nx ,max21NNN ,|時時當當Nx | 22 , )(0 x , 01 N;2| .2| | 無窮

7、小與無窮大無窮小與無窮大取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的兩個無窮小的兩個無窮小, ,時時當當 x, 02 N9例例).21(lim222nnnnn 求求解解是無窮小之和是無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.無窮多個無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .注注無窮小與無窮大無窮小與無窮大10證證,),(10內(nèi)有界內(nèi)有界在在設函數(shù)設函數(shù) xUu, 0, 01 M則則,0時的無窮小時的無窮小是當是當又設又設xx , 0 定理定理3 3 有界函數(shù)與無窮小的

8、乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. .,|010時時使得當使得當 xx.|Mu 恒有恒有, 02 ,|020時時使得當使得當 xx.|M 恒有恒有,min21 取取| uuMM , 則當則當,|00時時 xx恒有恒有無窮小與無窮大無窮小與無窮大.,0為無窮小為無窮小時時當當 uxx11 在同一過程中在同一過程中, ,有極限的變量與無窮小有極限的變量與無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個有限個無窮小的乘積也是無窮小無窮小的乘積也是無窮小.推論推論1 1的乘積是無窮小的乘積是無窮小;推論推論2 2推論推論3 3無窮小與無窮大無窮小與無窮大,0,時時當當如如x

9、都是無窮小都是無窮小.,1sinxxxx1arctan212.)(1,2)(1,(.)()(,)(, 0,)(lim)3(有界有界即即由局部保號性由局部保號性為無窮小為無窮小則則為無窮小為無窮小若若xfAxfxfxxAAxf 也是無窮小。也是無窮小。則則是無窮小，且是無窮小，且若若）（是無窮小。是無窮小。是無窮小等價于是無窮小等價于)(, )()()(2)()()1(xxxxxx 無窮小與無窮大無窮小與無窮大注注13二、無窮大二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大. .如如,1x函數(shù)函數(shù),0時時當當 x,時時當當 x,2x函數(shù)函數(shù)是無窮大是無窮大;xcot3x是

10、無窮大是無窮大.無窮小與無窮大無窮小與無窮大14定義定義2 20 使得當使得當 |00 xx恒有恒有Mxf | )(|),0(X或),|(Xx 或或,)(0時的無窮大時的無窮大當當則稱則稱xxxf )(lim0 xfxx記作記作).)(lim( xfx或或),(0 不論它多么大不論它多么大 M)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正無窮大正無窮大,負無窮大負無窮大)(lim()(0 xfxxx或或 定義定義無窮小與無窮大無窮小與無窮大15(1) 無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;無窮大一定是無界函數(shù)無窮大一定是無界函數(shù),.)(lim)2(0認

11、為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxx注注(3) 無窮大與無界函數(shù)的區(qū)別無窮大與無界函數(shù)的區(qū)別:它們是兩個不同的概念它們是兩個不同的概念.未必是某個過程的無窮大未必是某個過程的無窮大.但是無界函數(shù)但是無界函數(shù)無窮小與無窮大無窮小與無窮大16xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221) 1 (kkxk取,22)( kxyk.)(,Mxykk充分大時當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(kkxk取, kxk充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 時，這函數(shù)不是無窮大時，這函數(shù)不是無窮大無界。無界。0 x 11sinyxx 例例 在在( (0 0, ,

12、 1 1) )無界，無界， 當當0 x 時時，( )f x不是無窮大不是無窮大. .17 11lim1xx證明證明11 xy1 證證, 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10時時當當 x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfxx如果如果例例|1| x解出解出)(0 xfyxx 是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線的圖形的的圖形的鉛直漸近線鉛直漸近線(vertical asymptote).無窮小與無窮大無窮小與無窮大結論結論xyO1 18 兩個正兩個正(負負)無窮大之和仍為正無窮大之和仍為正(負負)無窮大無窮大; 有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大有界變量與無窮

13、大的和、差仍為無窮大; 有非零極限的變量有非零極限的變量(或無窮大或無窮大)與無窮大之與無窮大之 積仍為無窮大積仍為無窮大; 用無零值有界變量去除無窮大仍為無窮用無零值有界變量去除無窮大仍為無窮大大.容易證明容易證明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx 無窮小與無窮大無窮小與無窮大19 在同一過程中在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小;證證 )(lim0 xfxx設設, 0 .)(1 xf即即.)(1,0為無窮小為無窮小時時當當xfxx 定理定理4 4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. ., 0 ,00時時 xx,1)( Mxf有有無

14、窮小與無窮大無窮小與無窮大三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系,1 M此時對此時對使得當使得當20, 0)(lim,0 xfxx設設反之反之, 0 M.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時時當當xfxx , 0)( xf由于由于關于無窮大的討論關于無窮大的討論,. 0)( xf且且, 0 ,1)(Mxf 有有意義意義無窮小的討論無窮小的討論.都可歸結為關于都可歸結為關于 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;定理定理4 4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大無窮小與無窮大,1M 此時對

15、此時對使得當使得當,00時時 xx21幾點注意幾點注意:無窮小與無窮大是相對于變化過程而言的無窮小與無窮大是相對于變化過程而言的.（1） 無窮小（無窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很小（大）的數(shù)混 淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮?。?）無界變量未必是無窮大）無界變量未必是無窮大.四、小結四、小結無窮小與無窮大無窮小與無窮大22無窮小與無窮大無窮小與無窮大思考題思考題).(1sin1,0是是時時當當xxx A. 無窮小量無窮小量B.無窮大量無窮大量C. 有界量非無窮小量有界量非無窮小量D.無界但非無窮大量無界但非無窮大量D23作業(yè)作業(yè)4 4無窮小與無窮大無窮小與無窮