中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解--知識(shí)講解（提高）

1、word中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解知識(shí)講解提高責(zé)編：常春芳【考綱要求】1.整式局部主要考查冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行考查.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、整式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來說只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式要點(diǎn)詮釋：1單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)2單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指

2、數(shù)和幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式也就是說，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的要點(diǎn)詮釋：1在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)2多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)3多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式 4把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法那么與合并同類項(xiàng)法那么的綜合運(yùn)用把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同

3、類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母局部不變.如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反.整式加減的運(yùn)算法那么：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).冪的運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加用式子表達(dá)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘

4、以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加用式子表達(dá)：平方差公式：完全平方公式： 在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加要點(diǎn)詮釋：1同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.2三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)， 即都是正整數(shù). 3

5、逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即都是正整數(shù).4公式的推廣： (，均為正整數(shù))5逆用公式： ，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題. 6公式的推廣： (為正整數(shù)). 7逆用公式：逆用算式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如： 8多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘，.考點(diǎn)二、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把

6、這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 1提取公因式法： 2運(yùn)用公式法：平方差公式：；完全平方公式：3十字相乘法：4分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解.5添、拆項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原那么下進(jìn)行變形.6運(yùn)用求根公式法：假設(shè)的兩個(gè)根是、，那么有：.1如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；2提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；3對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；4最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法.要點(diǎn)詮釋：1因式分解的對(duì)象是

7、多項(xiàng)式；2最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；3結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都不能再分解為止4十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間，二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，那么提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.5分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點(diǎn)分組分解法四項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)按字母分組按系數(shù)分組符合公式的兩項(xiàng)分組三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式六項(xiàng)三項(xiàng)、三項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式【典型例題】類型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算12022春余姚市校級(jí)期末假設(shè)多項(xiàng)式x2+ax+8和多項(xiàng)式x23x

8、+b相乘的積中不含x2、x3項(xiàng)，求ab3a3b3的值【思路點(diǎn)撥】 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘結(jié)果中不含二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，那么說明這兩項(xiàng)的系數(shù)為0，建立關(guān)于a，b等式，求出后再求代數(shù)式值【答案與解析】解：x2+ax+8x23x+b=x4+3+ax3+b3a+8x2ab+24x+8b，又不含x2、x3項(xiàng)，3+a=0，b3a+8=0，解得a=3，b=1，ab3a3b3=3133313=826=18【總結(jié)升華】解此類問題的常規(guī)思路是：將兩個(gè)多項(xiàng)式依據(jù)乘法法那么展開，合并同類項(xiàng)，根據(jù)不含某一項(xiàng)就是這一項(xiàng)的系數(shù)等于0再通過解方程組求解22022春達(dá)州校級(jí)期中ab=5，ab=3，求代數(shù)式a3b2a2b2+ab3的值【

9、思路點(diǎn)撥】首先把代數(shù)式a3b2a2b2+ab3分解因式，然后盡可能變?yōu)楹蚢b、ab相關(guān)的形式，然后代入數(shù)值即可求出結(jié)果 【答案與解析】解：a3b2a2b2+ab3=aba22ab+b2=abab2而ab=5，ab=3，a3b2a2b2+ab3=3×25=75【總結(jié)升華】此題主要運(yùn)用完全平方公式對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后利用所給條件代入即可求出結(jié)果3，求的值【答案與解析】 ， 【點(diǎn)評(píng)】1逆用冪的乘方法那么：2此題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能力舉一反三：【變式】，求的值【答案】 類型二、因式分解4多項(xiàng)式的最小值是_.【答案】4；【解析】 ，所以最小值為4.【點(diǎn)評(píng)】通過因式分解化為

10、完全平方式，分析得出多項(xiàng)式的最小值.5把分解因式【答案與解析】解法一： 解法二： 【點(diǎn)評(píng)】此題多項(xiàng)式的四項(xiàng)中沒有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中兩項(xiàng)合為一組，如把第一、三兩項(xiàng)和第二、四兩項(xiàng)分為兩組，可以分別提取公因式和，并且另一個(gè)因式都是()，因此可繼續(xù)分解把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后能運(yùn)用提取公因式法進(jìn)行分解，并且各組在分解后它們的另一個(gè)因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組法來分解因式舉一反三：【變式1】分解因式：【答案】原式.【高清課程名稱：整式與因式分解 高清ID號(hào)：399488關(guān)聯(lián)的位置名稱播放點(diǎn)名稱：例33-4】【變式2】(1)16x2(x24)2； (2)【答案】(1)原式(4x)2(x24)24x(x24)4x(x24)(x24x4)(x24x4)(x2)2(x2)2(2)原式類型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用6假設(shè)、為三角形的三邊邊長(zhǎng)，試判斷的正負(fù)狀況【思路點(diǎn)撥】 將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關(guān)系確定每個(gè)因式的符號(hào)，最后就能得出結(jié)果的符號(hào).【答案與解析】依三角形兩邊之和大于第三邊，知，故【點(diǎn)評(píng)】將原式分解因式，再根據(jù)