中考總復習：特殊三角形--知識講解（基礎）

1、word中考總復習：特殊三角形知識講解根底責編：常春芳【考綱要求】【高清課堂：等腰三角形與直角三角形 考綱要求】1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題；3.會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關問題【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對等角)(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)(4)等邊三角形

2、的各角都相等，且都等于60°. 3.判定：(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.要點詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形. 考點二、直角三角形1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

3、(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，那么這條邊所對的角是直角，這個三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【典型例題】類型一、等腰三角形1如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于( )【思路點撥】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如圖，ABC中，AB=AC，BDAC

4、于D，所以ABC=C，BDC=90°，所以DBC=90°-C=90°-(180-A)= A，【總結(jié)升華】此題適用于任何一種等腰三角形,可以試著證明在鈍角三角形中結(jié)論一樣成立；總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.舉一反三： 【變式】如圖，在ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別是ABC、BCD的角平分線，那么圖中的等腰三角形有 A5個 B4個 C3個 D2個【答案】A22022秋南通校級月考如圖，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC內(nèi)兩點，AD平分BAC，EBC=E=60°，假設BE=30cm，DE=2cm，那么B

5、C= cm【思路點撥】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=30，DE=2，進而得出BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案【答案】32;【解析】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60°，BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，BE=30，DE=2，DM=28，BEM為等邊三角形，EMB=60°，ANBC，DNM=90°，NDM=30°，NM=14，BN=16，BC=2BN=32，故答案為32【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等

6、邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關鍵類型二、直角三角形3將一張矩形紙片如下圖折疊，使頂點落在，那么折痕的長為( ) A. B. C. D. 【思路點撥】直角三角形是常見的幾何圖形，在習題中比擬多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理和直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半.【答案】C.【解析】由折疊可知，CED=CED =30°，因為在矩形ABCD中，C等于90°，CD=AB=2，所以在RtDCE中，DE=2CD=4.應選C.【總結(jié)升華】折疊題型一定要注意對應的邊相等，對應的角相等.【變式】 如圖，一張直角三角形紙片，兩

7、直角邊AC=4cm，BC=8cm，將ABC折疊，點B與點A重合，折痕為DE，那么DE的長為( )A. B. C.【答案】B. 解析：由折疊可知，AD=BD，DEAB， BE=AB 設BD為x，那么CD=8-x C=90°，AC=4，BC=8，AC2+BC2=AB2 AB2=42+82=80，AB=，BE=在RtACD中，AC2+CD2=AD2 ，42+(8-x)2=x2，解得x=5在RtBDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，DE=， 應選B.4：在直角ABC中，C=90°，BD平分ABC且交AC于D.(1)假設BAC=30°，求證: AD=BD

8、；(2)假設AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù). 圖1 圖2【思路點撥】(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得ABD=A=30°，得出AD=BD. (2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義或利用三角形外角性質(zhì).【答案與解析】(1)證明：BAC=30°，C=90°，ABC=60° 又 BD平分ABC， ABD=30°， BAC =ABD，BD=AD； (2)解法一： C=90°，BAC+ABC=90°=45° BD平分ABC，AP平分BAC BAP=，ABP=即BAP+ABP=45° APB=180

9、76;-45°=135°解法二： C=90°，BAC+ABC=90° =45° BD平分ABC，AP平分BACDBC=，PAC=DBC+PAD=45°APB=PDA+PAD =DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45°+90°=135°. 【總結(jié)升華】此題利用了：1、直角三角形的性質(zhì)，兩銳角互余，2、角的平分線的性質(zhì)，3、三角形的外角與內(nèi)角的關系類型三、綜合運用5 . ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5. 1k為何值

10、時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？ 2k為何值時，ABC是等腰三角形？并求出ABC的周長?！舅悸伏c撥】ABC的兩邊的長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，應該想到一元二次方程中根與系數(shù)的關系.【答案與解析】(1)AB、ACAB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根, AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2 又ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5 即 當k=-5時，方程為 解得不合題意，舍去 當k=2時，方程為 解得 當k=2時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形.(2)當ABC是等腰三角形時，那么有AB=AC,AB=B

11、C,AB=BC三種情況：=1>0ABAC,故第一種情況不成立；當AB=BC或AC=BC時，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根當k=3時，等腰三角形的邊長分別是5,5,4.周長為14；當k=4時，所以等腰三角形的邊長是5,5,6，周長是16.【總結(jié)升華】當三角形是等腰三角形并且未明確哪兩邊為腰時,要注意分類討論.【變式】等腰三角形三邊的長為a、b、c且a=c，假設關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的兩根之差為，那么等腰三角形的一個底角是 . A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.62022春威海期末如圖，ABC中，BAC=90°

12、，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E，EHAB，垂足是H在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME求證：MEBC【思路點撥】根據(jù)EHAB于H，得到BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可【答案與解析】解：BAC=90°，AB=AC，B=C=45°，EHAB于H，BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45°，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45°，BEM=45°+45°=90°，MEBC【總結(jié)升華】此題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記