中考總復習：圖形的變換--知識講解（基礎）

1、word中考總復習：圖形的變換-知識講解根底責編：常春芳【考綱要求】1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉，探索它們的根本性質；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索根本圖形等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓的軸對稱性質及其相關性質.4.探索圖形之間的變換關系軸對稱、平移、旋轉及其組合；5.利用軸對稱、平移、旋轉及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉在現(xiàn)實生活中的應用.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、平移變換1. 平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平

2、移，平移不改變圖形的形狀和大小【要點詮釋】1平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；2圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；3圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的根本性質的依據(jù)2平移的根本性質：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有以下性質：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等【要點詮釋】1要注意正確找出“對應線段，對應角，從而正確表

3、達根本性質的特征；2“對應點所連的線段平行且相等，這個根本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據(jù)考點二、軸對稱變換1軸對稱與軸對稱圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.2軸對稱變換的性質關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對

4、稱軸上.如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.3軸對稱作圖步驟找出圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.考點三、旋轉變換1旋轉概念：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.旋轉變換的性質圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.旋轉作圖步驟分析題目要求，找出旋轉

5、中心，確定旋轉角.分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點. 按原圖形連結方式順次連結各對應點.中心對稱與中心對稱圖形中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心對稱的對稱點中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形.5中心對稱作圖步驟 連結決定圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到

6、各點的對稱點. 按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.【要點詮釋】圖形變換與圖案設計的根本步驟確定圖案的設計主題及要求；分析設計圖案所給定的根本圖案；利用平移、旋轉、軸對稱對根本圖案進行變換，實現(xiàn)由根本圖案到各局部圖案的有機組合；對圖案進行修飾，完成圖案.【典型例題】類型一、平移變換1.如圖1，兩個等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到圖2，那么陰影局部的周長為_. 【思路點撥】根據(jù)兩個等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得出線段之間的相等關系，進而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=

7、2，即可得出答案【答案與解析】兩個等邊ABD，CBD的邊長均為1，將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；【總結升華】此題主要考查了平移的性質以及等邊三角形的性質，根據(jù)題意得出AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB是解決問題的關鍵舉一反三： 【變式】2022順義區(qū)一模如圖，平行四邊形ABCD中，點E是AD邊上一點，且 CEBD于點F，將DEC沿從D到A的方向平移，使點D與點A重合，點E平移后的點

8、記為G1畫出DEC平移后的三角形；2假設BC=，BD=6，CE=3，求AG的長【答案】解：1AGB為DEC平移后的三角形，如以下圖所示；2AGB為DEC平移后的三角形，BG=CE=3，BGCE，CEBD，BGBD在RtBDG中，GBD=90°，BG=3，BD=6，DG=3，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=2，AG=DGAD=32=2如圖1，的面積為3，且現(xiàn)將沿CA方向平移CA長度得到.1求所掃過的圖形面積；2試判斷，AF與BE的位置關系，并說明理由；3假設求AC的長.BCAFE【思路點撥】1根據(jù)平移的性質及平行四邊形的性質可得到SEFA=SBAF=SABC，從而便可得到四邊形

9、CEFB的面積；2由可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關系為垂直；3作BDAC于D，結合三角形的面積求解【答案與解析】1由平移的性質得AFBC，且AF=BC，EFAABC四邊形AFBC為平行四邊形SEFA=SBAF=SABC=3四邊形EFBC的面積為9；2BEAF證明：由1知四邊形AFBC為平行四邊形BFAC，且BF=AC又AE=CABFAE且BF=AE四邊形EFBA為平行四邊形又AB=ACAB=AE平行四邊形EFBA為菱形BEAF；3如上圖，作BDAC于DBEC=15°，AE=ABEBA=BEC=15°BAC=2BEC=30

10、°在RtBAD中，AB=2BD設BD=x，那么AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x為正數(shù)x=AC=2【總結升華】此題主要考查了全等三角形的判定，平移的性質，菱形的性質等知識點的綜合運用及推理計算能力類型二、軸對稱變換32022貴陽模擬1數(shù)學課上，老師出了一道題，如圖，RtABC中，C=90°，求證：B=30°，請你完成證明過程2如圖，四邊形ABCD是一張邊長為2的正方形紙片，E、F分別為AB、CD的中點，沿過點D的抓痕將紙片翻折，使點A落在EF上的點A處，折痕交AE于點G，請運用1中的結論求ADG的度數(shù)和AG的長3假設矩形紙片

11、ABCD按如圖所示的方式折疊，B、D兩點恰好重合于一點O如圖，當AB=6，求EF的長【思路點撥】1RtABC中，根據(jù)sinB=，即可證明B=30°；2求出FAD的度數(shù)，利用翻折變換的性質可求出ADG的度數(shù)，在RtA'FD中求出A'F，得出A'E，在RtA'EG中可求出A'G，利用翻折變換的性質可得出AG的長度3先判斷出AD=AC，得出ACD=30°，DAC=60°，從而求出AD的長度，根據(jù)翻折變換的性質可得出DAF=FAO=30°，在RtADF中求出DF，繼而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出

12、答案【答案與解析】1證明：RtABC中，C=90°，sinB=，B=30°；2解：正方形邊長為2，E、F為AB、CD的中點，EA=FD=×邊長=1，沿過點D的抓痕將紙片翻折，使點A落在EF上的點A處，AD=AD=2，=，F(xiàn)AD=30°，可得FDA=90°30°=60°，A沿GD折疊落在A處，ADG=ADG，AG=AG，ADG=15°，AD=2，F(xiàn)D=1，AF=，EA=EFAF=2，EAG+DAF=180°GAD=90°，EAG=90°DAF=90°30°=60

13、76;，EGA=90°EAG=90°60°=30°，那么AG=AG=2EA=22；3解：折疊后B、D兩點恰好重合于一點O，AO=AD=CB=CO，DA=，D=90°，DCA=30°，AB=CD=6，在RtACD中，=tan30°，那么AD=DCtan30°=6×=2，DAF=FAO=DAO=30°，=tan30°=，DF=AD=2，DF=FO=2，同理EO=2，EF=EO+FO=4【總結升華】此題考查了翻折變換的知識，涉及了含30°角的直角三角形的性質、平行四邊形的性質，綜合

14、考察的知識點較多，注意將所學知識融會貫穿舉一反三：【變式】2022·松北區(qū)模擬如圖1是四邊形紙片ABCD，其中B=120°，D=50°.假設將其右下角向內(nèi)這出PCR，恰使CPAB，RCAD，如圖2所示，那么C度.【答案】CPR=B=×120°=60°，CRP=D=×50°=25°，C=180°60°25°=95°4. 如圖1，矩形紙片ABCD的邊長分別為a，ba<b將紙片任意翻折如圖2，折痕為PQP在BC上，使頂點C落在四邊形APCD內(nèi)一點C，PC的延長線交直

15、線AD于M，再將紙片的另一局部翻折，使A落在直線PM上一點A，且AM所在直線與PM所在直線重合如圖3，折痕為MN 1猜測兩折痕PQ，MN之間的位置關系，并加以證明 2假設QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，那么每次翻折后，兩折痕PQ，MN間的距離有何變化？請說明理由3假設QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°如圖4，每次翻折后，非重疊局部的四邊形MCQD，及四邊形BPAN的周長與a，b有何關系，為什么？ 1 2 3 4【思路點撥】1猜測兩直線平行，由矩形的對邊平行，得到一組內(nèi)錯角相等，翻折前后對應角相等，那么可得到PQ與MN被MP所截得的內(nèi)錯角相等，得到平行2作出兩直線間的距離

16、PM長相等，NPM是不變的，所以利用相應的三角函數(shù)可得到兩直線間的距離不變3由特殊角得到所求四邊形的形狀，把與周長相關的邊轉移到同一線段求解【答案與解析】1PQMN四邊形ABCD是矩形，ADBC，且M在AD直線上，那么有AMBCAMP=MPC由翻折可得：MPQ=CPQ=MPC，NMP=AMN=AMP，MPQ=NMP，故PQMN2兩折痕PQ，MN間的距離不變過P作PHMN，那么PH=PMsinPMH，QPC的角度不變，CPC的角度也不變，那么所有的PM都是平行的又ADBC，所有的PM都是相等的又PMH=QPC，故PH的長不變3當QPC=45°時，四邊形PCQC是正方形，四邊形CQDM是

17、矩形CQ=CQ，CQ+QD=a，矩形CQDM的周長為2a同理可得矩形BPAN的周長為2a，兩個四邊形的周長都為2a，與b無關 【總結升華】翻折前后對應角相等，對應邊相等，應注意使用相應的三角函數(shù)，平行線的判斷，特殊四邊形的判定類型三、旋轉變換【高清課堂 圖形的變換 例4】5O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，AOB110°，BOC135°，試問：1以OA，OB，OC為邊能否構成一個三角形?假設能，求出該三角形各角的度數(shù)；假設不能，請說明理由；2如果AOB的大小保持不變，那么當BOC等于多少度時，以OA，OB，OC為邊的三角形是一個直角三角形?【思路點撥】因為ABC是等邊三角形，所以

18、可以運用旋轉將BCO轉至ACD.【答案與解析】1以OC為邊作等邊OCD，連AD. ABC是等邊三角形 BCO=ACD (BCO+ACO=60°，ACD+ACO=60°) BC=AC，OC=CD BCOACD (SAS) OB=AD，ADC=BOC又OC=ODOAD是以線段OA，OB，OC為邊構成的三角形 AOB=110°, BOC=135° AOC=115° AOD=115°-60°=55° ADC=135° ADO=135°-60°=75° OAD=180°-55

19、°-75°=50° 以線段OA，OB，OC為邊構成的三角形的各角是50°、55°、75°.2AOB+AOC+BOC=AOB+AOC+ADC =AOB+(AOD+DOC)+(ADO+CDO) =110°+(AOD+60°)+(ADO+60°) =360° AOD+ADO=130° OAD=50° 當AOD是直角時，AOD=90°，AOC=90°+60°=150°，BOC=100°當ADO是直角時，ADC=90°+60°=150°，BOC=150°.【總結升華】此題主要運用旋轉的性質、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理等知識，滲透分類討論思想6 . 如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF2OA，OE2OD，連接EF將EOF繞點O逆時針旋轉角得到E1OF1(如圖2)(1)探究AE1與BF1的數(shù)量關系，并給予證明；(2)當30°時，求證：AOE1為直角三角形【思路點撥】(1)要證AE1BF1，就要首先考慮它們是全等三角形