二次根式的乘法與除法二次根式除法規(guī)律

1、二次根式的乘法與除法 二次根式除法規(guī)律二次根式的乘法與除法一、學習要求會用積的算術平方根，商的算術根的性質化簡二次根式。二、例題分析第一階梯 例 1 填空提示： 1 、有意義的條件是什么？2、同時滿足兩個條件的情況如何用數(shù)學語言表示？3 、不等式組的解如何確定？ 參考答案：(1) x>5 (2) -2 <x<3 說明：有意義的條件是a>0,是在一定條件下才成立的，不能單單理解為只要abA0就有上式成立。因為式子要求不僅需要等式左邊有意義，同時需要右邊的時有意義，所以題目要求應為an。，bA0時等式成立。這樣，我們知道題目的解法應為：與同同時，在解題過程中，應注意不等式組

2、的解法。 例 2 選擇題成立的條件是( )(A)-1Wxv2 (B ) -1 <x<2 (C ) x<1 (D ) x >2提示：1、成立的條件是什么？2、如何用數(shù)學表達式表示上式成立的條件？3、不等式組的解法應該注意什么問題？如何確定不等式組的解集？ 參考答案： A 說明：等式成立的條件應為左邊與右邊同時有意義，否則不能說成立，對于，它表示商的算術平方根的性質，即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，并且被除式a>0,除式b >0,于是式（an。，b >0）可以用來求分式（或分數(shù)）的算術平方根。這樣題目的解法應為：另外，在解不等式

3、組時，其解集的確定應為幾個不等式解集的公共部分。例 3 化簡提示：1、被開方數(shù)是什么形式時，可以使用二次根式的性質？2、當an。時，如何化簡？3、被開方數(shù)是多項式時應該如何處理？ 參考答案：說明：當被開方數(shù)是單項式時，把被開方數(shù)分解因式，利用二次根式的性質，把能開得盡方數(shù)移到根號外面。當被開方數(shù)是多項式時，首先把每個多項式分解為因式乘積形式，再運用積的算術平方根的 性質及關系(a>0)化簡注意：被開方數(shù)含有因式 x 2+y2 不是完全平方式，所以不能開平方。 化簡二次根式的步驟是：1、把被開方數(shù)分解因式（或因數(shù)）使其變?yōu)橐蚴椒e的形式。2、應用積的算術平方根的性質把各因式（或因數(shù)）積的算術

4、平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術平方根的積。3、 如果因式中有平方式 （或平方數(shù)） ， 應用關系式個因式 （或因數(shù)）開出來， 從而將二次根式化簡。4、化簡的最后結果，應使二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)）的指數(shù)都小于 2 。第二階梯 例 1 化簡：（a>0）,把這提示：1、被開方數(shù)是帶分數(shù)時，如何使用二次根式的性質？2、被開方數(shù)的分子或分母是兩個因式的乘積形式時怎么化簡？ 參考答案：說明：被開方數(shù)是帶分數(shù)，首先要把它化為假分數(shù)，再根據(jù)商的算術平方根的性質化簡。被開方數(shù)的分子是乘積的形式， 可以變形為， 再運用商與積的算術平方根的性質，把原式化簡。形如（n>0,m >

5、0）的二次根式的化簡的步驟是：1、利用商的算術平方根的性質，把式子。2、當被開方數(shù)的分子或分母是兩個因式（或因數(shù)）之時，應利用積的算術平方根的性質，分別將化簡。例 2 計算提示：1、二次根式的乘法法則是什么？除法法則是什么？2 、有理數(shù)乘法中的符號法則在實數(shù)范圍內有什么不同嗎？3 、二次根式的除法法則與商的算術平方根的性質有什么不同？參考答案：說明： 把式子這是二次根式的乘法法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根，這個法則成立的條件是a>0, b>0,運用這個法則可以進行二次根式的乘法運算。把式子(a>0, b>0)反過來，得到：(a

6、>0, b>0),(a>0, b >0)反過來，得到：(an。，b >0),這是二次根式的除法法則，運用這個法則可以進行二次根式的除法運算。在進行二次根式的乘除法運算時，把兩個二次根式中的根號外面的數(shù)與被開方數(shù)分別相乘(或相除)然后取其積。這是因為在實數(shù)一章里，我們已經(jīng)明確了，有理數(shù)的運算法則和運算律，在實數(shù)范圍內也成立， 如乘法的交換律及結合律等。在運算中應注意符號變化，有理數(shù)乘法中的符號法則在實數(shù)范圍內也適用。因此，第（ 1）小題的運算結果應為負號。運用二次根式的乘法法則進行簡單的二次根式的乘法運算步驟是： 1 、運用法則把因式的算術平方根的積化為因式的積的算

7、術平方根。 2 、如果被開方數(shù)是平方式（或平方數(shù)） ，可運用式子移到根號外面，使二次根式中的被開方數(shù)沒有平方式（或平方數(shù)） 。（a>0）把它二次根式的除法法則是由商的算術平方根的性質到的，二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質所表示的式子是相反方向。 第（ 3）小題還可以有以下兩種解法：（a" b >0）得例 3 計算提示：1、二次根式乘法中的符號如何確定？2、運算結果被開方數(shù)有什么要求？ 3 、乘、除的混合運算應按照什么規(guī)律進行？ 4 、被開方數(shù)中的分母如何去掉？參考答案：說明：第（ 1 ）題在運算中注意符號變化，有理數(shù)乘法中的符號法則在實數(shù)范圍內也適用。第（ 2 ）

8、題根據(jù)二次根式的乘法法則及乘法運算律，在運算中應注意，先把第二個被開方數(shù)分解因式，運算結果中，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)及完全平方式。第（ 3 ）題運用二次根式的乘法法則，按題中所給出的先后順序進行計算，最后將所得到的二次根式化簡，使被開方數(shù)中不含分母，也不含開得盡方的因式或因數(shù)。在解法二中，只要把被開方數(shù)的分母變?yōu)槠椒綌?shù)，就可去掉分母的根號。第（ 4）題，此題由原式得到式子分母分別乘以 3b ，直接化后，也可以將被開方數(shù)中的分子與去分母的根號。在進行二次根式的除法運算時分母有理化可以采取下面兩種方法： 1、把分子與分母都乘以同一個代數(shù)式，化去分母的根。 2 、把被開方數(shù)中的分子與分母都乘以同一個因式（或因數(shù)） ，使被開方數(shù)的分母變成平方式 （或平方數(shù)） ， 再化去分母的根號。 第三階梯 例 1 化簡提示：1、題中的隱含條件是什么？2、被開方數(shù)應整理為什么形式可以達到化簡的目的？3 、如何化簡 |x -y |?4、式子參考答案：成立的條件是什么？說明：這道題是二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法法則可以判斷由x-y >0,被開方數(shù)是多項式時，應注意把它們分解因式，運用積的算術平方根的性質因式的積的算術平方根化簡， 在運算中注意使用移到根號外面。 例 2計算(a>0)把被開方數(shù)的因式(或因數(shù))能開得盡方的(a>0,