《計(jì)算方法》實(shí)驗(yàn)大綱2014

1、計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)大綱數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)教研室2014修訂 內(nèi)容提要本書內(nèi)容包括：一元非線性方程的解法、線性代數(shù)方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、插值法和曲線擬合等主要方法簡介，給出了上機(jī)實(shí)驗(yàn)的目的、內(nèi)容，并設(shè)計(jì)了一些實(shí)驗(yàn)習(xí)題，最后給出了幾個(gè)綜合型案例供有興趣的學(xué)生進(jìn)一步研究選用。前 言隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用和迅猛發(fā)展，在各門自然科學(xué)和工程、技術(shù)科學(xué)的發(fā)展中，“數(shù)值計(jì)算”已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的第三種科學(xué)手段。現(xiàn)在，不管是在高科技領(lǐng)域還是在一些傳統(tǒng)領(lǐng)域，數(shù)值計(jì)算都是一個(gè)不可或缺的環(huán)節(jié)。而計(jì)算方法介紹了一些基礎(chǔ)性和應(yīng)用較廣的數(shù)值計(jì)算方法，使學(xué)生對計(jì)算數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和計(jì)算

2、機(jī)如何解題有一個(gè)初步的了解；同時(shí)，本課程又是一門實(shí)踐性較強(qiáng)的課程，必須通過實(shí)驗(yàn)課使學(xué)生對于算法如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)有一個(gè)感性的認(rèn)識，要求學(xué)生運(yùn)用matlab語言結(jié)合上機(jī)實(shí)踐，掌握編寫數(shù)值計(jì)算程序的基本方法，通過做一些實(shí)驗(yàn)性練習(xí)，強(qiáng)化已經(jīng)學(xué)到的知識，逐步完成從學(xué)到用的過程。適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)四年制本科生。實(shí)驗(yàn)要求：1用matlab語言或你熟悉的其他算法語言遍程序，使之盡量具有通用性。2上機(jī)前充分準(zhǔn)備，復(fù)習(xí)有關(guān)算法，寫出并反復(fù)查對程序，列出上機(jī)步驟。3根據(jù)老師要求選做實(shí)驗(yàn)習(xí)題。4完成計(jì)算后根據(jù)要求寫出計(jì)算實(shí)驗(yàn)報(bào)告，內(nèi)容包括：實(shí)驗(yàn)?zāi)康模瑢?shí)驗(yàn)內(nèi)容，算法步驟描述，變量說明，程序清單

3、，輸出計(jì)算結(jié)果，結(jié)果分析、小結(jié)及心得體會、備注等。大綱說明1課程名稱：即 計(jì)算方法2課程類型：專業(yè)課3適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)4課程學(xué)時(shí)與學(xué)分：8 學(xué)時(shí)數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用范圍已十分廣泛，作為用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)、橋梁和紐帶，是架設(shè)在數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)之間的一條通道。本大綱是計(jì)算方法的配套上機(jī)實(shí)驗(yàn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)開展數(shù)值試驗(yàn)，掌握數(shù)值算法和程序設(shè)計(jì)的基本原理和技能。學(xué)生通過選擇算法，編寫程序，分析數(shù)值結(jié)果，寫數(shù)值實(shí)驗(yàn)報(bào)告，課堂討論等環(huán)節(jié)的綜合訓(xùn)練，從而逐步掌握數(shù)值試驗(yàn)的方法和技巧，獲得多方面的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。通過實(shí)驗(yàn)，加深學(xué)生對一些重要算法的理解，提高學(xué)生的編程能力與解決實(shí)際問題的能力，

4、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用計(jì)算方法解決工工程計(jì)算的能力，以期達(dá)到初步的科學(xué)計(jì)算和研究的目的。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)一 計(jì)算機(jī)算術(shù)的若干問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?更深刻地理解計(jì)算機(jī)中的數(shù)的基本運(yùn)算，體會誤差對算法的計(jì)算結(jié)果的影響2體會算法的穩(wěn)定性在選擇算法中的地位實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：一、考慮matlab程序format longx=4/3-1y=3*xz=1-y如果是精確計(jì)算z應(yīng)當(dāng)是多少？實(shí)際的計(jì)算輸出是？-請思考！eps,realmin,realmax是多少？二、解釋下面Matlab程序的輸出結(jié)果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精確值應(yīng)當(dāng)是多少？實(shí)際的計(jì)算輸出是？-請思考！三、考慮matlab程序x=0.988:0.000

5、1:1.012;y=x.7-7*x.6+21*x.5-35*x.4+35*x.3-21*x.2+7*x-1;plot(x,y)畫出的是什么？與你想像中的曲線一樣嗎？所看到的現(xiàn)象是什么在起作用？-請思考！四、解釋下面Matlab程序的輸出結(jié)果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精確值應(yīng)當(dāng)是多少？實(shí)際的計(jì)算輸出是？-請思考！五、已知這些恒等式在計(jì)算機(jī)中還恒等嗎？Matlab中運(yùn)行：a=sym('sqrt(2)')a1=(a-1)6,(3-2*a)3,99-70*a;1/(1+a)6,1/(3+2*a)3,1/(99+70*a)vpa(a1,10)六、（課外練習(xí)）浮點(diǎn)數(shù)的加

6、法利用matlab中的rand(1,n)分別生成（0，1）區(qū)間上兩組各為n個(gè)的隨機(jī)數(shù)，分別存放于一維數(shù)組A和B中，記A= B=考慮如下兩個(gè)和： 其中>>1，顯然理論上，請通過計(jì)算看結(jié)論如何，兩者是否有優(yōu)劣？ 理論上S3=S4,計(jì)算結(jié)果又如何？實(shí)驗(yàn)要求：取n充分大（如104），mk與n同樣量級，多次上述實(shí)驗(yàn)并記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)的結(jié)論是什么？七、算法的穩(wěn)定性考慮積分序列，得 （1）又 （2）算法一：由（1）得 （以前數(shù)學(xué)分析中的遞推公式）算法二：由（1）變形，結(jié)合（2）得到實(shí)驗(yàn)要求：分別用算法一、算法二計(jì)算，請判斷哪種算法能給出更精確的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)二 非線性方程求根實(shí)驗(yàn)一、方程求根方法回

7、顧(一)二分法 (二） 簡單迭代法(三）牛頓法(四）弦截法二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康牧私獾?、不動點(diǎn)的基本概念。了解牛頓迭代法的基本概念，了解牛頓迭代法的收斂性和收斂速度。了解邏輯斯諦迭代中的分叉和混沌現(xiàn)象。三、實(shí)驗(yàn)方法與步驟：（一）利用迭代法求解方程：x3-x-1=0先畫出函數(shù)f(x)= x3-x-1的圖形，觀察函數(shù)的圖形可以看出，在區(qū)間1，2方程有唯一正根。迭代格式1：方程變形為先用for語句，初值設(shè)為1.5clearx=1.5;for i=1:10 x=(x+1)(1/3)end可得迭代數(shù)列的前10項(xiàng)，可見此迭代格式是收斂的，方程的根約為1.3247。進(jìn)一步，如果要控制計(jì)算誤差，如要使得計(jì)算誤差小于1

8、0-5，可用while語句:n=0;e=1.0e-5;x=1.5;while abs(x-(x+1)(1/3)>e x=(x+1)(1/3); n=n+1;endx,n迭代格式2：方程變形為迭代格式3：方程變形為以上三種迭代格式收斂嗎？迭代格式是否收斂的關(guān)鍵是什么？（二）計(jì)算平方根的迭代算法根是，構(gòu)造不動點(diǎn)方程，來計(jì)算1做迭代函數(shù)的圖形：clear;x=1.2:0.01:2;y1=x;y2=0.5*(x+2./x);plot(x,y1,x,y2)2分析迭代的收斂性。3觀察迭代的收斂過程（用while語句，取迭代精度為10-10，初值為2），迭代了幾次？一般，利用，(其中 a>0，

9、x0>0)來計(jì)算。4使用迭代格式計(jì)算，并比較迭代結(jié)果。（三）用牛頓法求解方程在x=0.5附近的近似根，誤差不超過10-3。（四）分叉與混沌邏輯斯諦方程可寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：對于不同的r，觀察數(shù)列的收斂情況：(1) 對于r=0.6,x0=0.3，n=30相應(yīng)的matlab代碼為：function x=luo(x0,r,n)x=zeros(1,30);x(1)=x0;for i=2:30x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(x,k-o)迭代收斂于多少？(2) 對于r=2.8,x0=0.3，n=30，從圖中可知，迭代數(shù)列上下震蕩，收斂于不動點(diǎn)(3) 對于r=3.2,x0=0

10、.3，n=40，迭代數(shù)列有什么特點(diǎn)？-2-循環(huán)(4) 對于r=3.46,x0=0.3，n=40呢？(5) 對于r=3.55,x0=0.3，n=100呢？(6) 對于r=3.80,x0=0.3，n=100呢？注意，當(dāng)參數(shù)r的值變化時(shí)，從收斂到唯一不動點(diǎn)到2-循環(huán)，再從2-循環(huán)到4-循環(huán),8-循環(huán)，這樣的分裂行為成為分叉（bifurcation），對于r=3.80,x0=0.3，迭代數(shù)列不再呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性，也不具有任何可預(yù)測的模式，迭代數(shù)列在（0，1）內(nèi)跳來跳去，而且表現(xiàn)出對初始條件非常敏感的依賴性，稱這種狀態(tài)為混沌（chaos）。實(shí)驗(yàn)三 線性方程組數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)一、主要算法回顧（一）高斯順序消去

11、法（二）高斯列主元消去法（三）三對角方程組的追趕法。（四）系數(shù)矩陣為對稱正定陣的平方根法。（五）雅可比迭代法(簡單迭代法)（六）高斯¾¾賽德爾迭代法（七）超松弛迭代法二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模阂髮W(xué)生掌握求線性方程組求解的高斯順序消去法、矩陣分解法、列主元法等，掌握線性方程組的迭代解法，對迭代法的收斂性作初步分析能用matlab語言編制程序，上機(jī)調(diào)試,進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),通過實(shí)驗(yàn)理解問題的病態(tài)與良態(tài)以及對算法的比較三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：（一）編寫doolittle分解法程序并用書上的例題P79例3.7，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。（二) 上機(jī)習(xí)題：給定方程組：（I） 方程組(II)是:將（I）中系數(shù)矩陣中3.01

12、該為3.00,0.987該為0.990,其他元素不變,或者自己改變原始數(shù)據(jù),進(jìn)行實(shí)驗(yàn).要求：（1）用doolittle分解和列主元消去法分別求解上述方程組。（2）輸出中的矩陣A及向量B，分解的L及U，解向量X。（3）輸出列主元法行交換次序及解向量，并比較方程組（1）與（2）的結(jié)果。（三）編寫Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，并利用 P92中的例3.11做數(shù)值實(shí)驗(yàn)。（四）考慮方程組，其中H為Hilbert矩陣， ( Matlab中H=hilb(n) )適當(dāng)選擇方程組的維數(shù)，并通過首先給定解再求出右端的辦法確定方程組，再用列主元消去法求解，其結(jié)果如何？計(jì)算的結(jié)果說明了什么？分別構(gòu)造求解該問題

13、的Jacobi迭代法和G-S迭代法，看它們是否收斂。（五）利用編寫的Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，計(jì)算P109習(xí)題10和11題，并理論分析Jacobi迭代法和G-S迭代法的計(jì)算結(jié)果。四、完成計(jì)算后寫出計(jì)算實(shí)驗(yàn)報(bào)告（包括實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)內(nèi)容、程序清單、結(jié)果分析、心得體會）。實(shí)驗(yàn)四 插值實(shí)驗(yàn)一、主要內(nèi)容回顧：（一）函數(shù)插值（二） 拉格朗日多項(xiàng)式（三） 均差與牛頓插值多項(xiàng)式（四） 分段線性插值（五） 三次樣條插值函數(shù) 二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x 1. 了解插值的基本原理 2. 了解拉格朗日插值、線性插值、樣條插值的基本思想； 3. 掌握用MATLAB計(jì)算三種插值的方法； 4. 掌握求解實(shí)際問題的初步

14、建模過程； 三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1編寫拉格朗日插值方法的函數(shù)M文件， 并用 P149例5.1 進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。2觀察龍格現(xiàn)象：P166例5.63采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝袉栴}： （1）火車行駛的路程、速度數(shù)據(jù)如下，計(jì)算從靜止開始20 分鐘內(nèi)走過的路程。t(分)2468101214161820v(km/h)10182529322011520（2） 確定地球與金星之間的距離天文學(xué)家在1914年8月份的7次觀測中，測得地球與金星之間距離（單位：米），并取其常用對數(shù)值，與日期的一組歷史數(shù)據(jù)如下表：日期（號）18202224262830距離對數(shù)9.96177249.95436459.94680699.9390950

15、9.93122459.92319159.9149925由此推斷何時(shí)金星與地球的距離（米）的對數(shù)值為9.9351799？(3)日照時(shí)間分布 下表的氣象資料是某一地區(qū)1985-1998年間不同月份的平均日照時(shí)間的觀測數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)/月），試分析日照時(shí)間的變化規(guī)律。月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.24畫自己的左手，并在圖中注明你的班級、姓名、畫圖的日期，輸出圖形為bmp格式，以你的姓名保存文件，單獨(dú)將此圖提交。運(yùn)行figureset(gcf,'menubar','none&#

16、39;)axes('position',0 0 1 1)x,y=ginput; %將你的手放在計(jì)算機(jī)屏幕上，用鼠標(biāo)取點(diǎn)n=length(x); %插值計(jì)算s=(1:n)'t=(1:0.05:n)'u=spline(s,x,t); % 將spline改為interp1再畫一遍圖形，比較效果v=spline(s,y,t);clf resetplot(x,y,'.',u,v,'-')實(shí)驗(yàn)報(bào)告格式一個(gè)完整的實(shí)驗(yàn)，應(yīng)包括數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、理論基礎(chǔ)、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及方法，最終對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，以期達(dá)到對理論知識的感性認(rèn)識，進(jìn)一步加深對相關(guān)算法的理解，數(shù)值

17、實(shí)驗(yàn)以實(shí)驗(yàn)報(bào)告形式完成，要求實(shí)驗(yàn)報(bào)告格式如下：1）實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖紫纫竺恳粋€(gè)做實(shí)驗(yàn)者明確，為什么要做某個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖鞘裁?，做完該?shí)驗(yàn)應(yīng)達(dá)到什么結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)過程中的注意事項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)方法對結(jié)果的影響也可以以實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡男问搅谐觥?）實(shí)驗(yàn)題目實(shí)驗(yàn)者可根據(jù)報(bào)告形式需要適當(dāng)改寫或重述。3）實(shí)驗(yàn)原理與理論基礎(chǔ)數(shù)值實(shí)驗(yàn)本身就是為了加深對基礎(chǔ)理論及方法的理解而設(shè)置的，所以要求將實(shí)驗(yàn)涉及到的理論基礎(chǔ)，算法原理詳盡列出。4）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要包括實(shí)驗(yàn)的實(shí)施方案、步驟、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、實(shí)驗(yàn)的算法流程圖以及可能用到的儀器設(shè)備。5）實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)包括實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)、中間結(jié)果及實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果，復(fù)雜的結(jié)果可以用表格形式實(shí)現(xiàn)

18、，較為簡單的結(jié)果可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析合并出現(xiàn)。6）實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析是數(shù)值實(shí)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)，只有對實(shí)驗(yàn)結(jié)果認(rèn)真分析，才能對實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)方法進(jìn)一步理解對實(shí)驗(yàn)的重要性充分認(rèn)識，明確數(shù)值計(jì)算方法的實(shí)用范圍及其優(yōu)缺點(diǎn)。每個(gè)實(shí)驗(yàn)都應(yīng)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)或演示，由實(shí)驗(yàn)者編程實(shí)現(xiàn)。選做實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簳盟鶎W(xué)知識解決實(shí)際問題二、實(shí)驗(yàn)習(xí)題：1 湖水中氯和磷的濃度之間有一定的關(guān)系，下面是一組不同湖水中的測量值。湖泊磷濃度（p）mg/m3氯濃度（c）mg/m314.50.828.02.035.51.2439.011.0519.54.4617.53.8721.05.51) 試建立用磷濃度預(yù)報(bào)氯濃度的經(jīng)驗(yàn)公式。2) 當(dāng)磷的濃度為15 mg/m3時(shí)，氯的濃度是多少？22000年悉尼奧運(yùn)會上第一次列入女子舉重項(xiàng)目。各級別冠軍的成績?nèi)缦拢杭墑ekg運(yùn)動員國籍體重kg抓舉kg挺舉kg總成績kg48德拉諾娃保加利亞47.48 82.5102.518553楊霞中國52.4610012522558門丁維爾墨西哥56.9295127.5222.563陳曉敏中國62.82112.5130242.569李偉寧中國66.7411013224275烏魯?shù)賮喐鐐惐葋?3.28110135245>75丁美媛中國103.56135165300試?yán)眠@些數(shù)據(jù)組建立模型,描述運(yùn)動員舉重