第11講二重積分的簡單應(yīng)用

1、五.二重積分的簡單應(yīng)用請點擊請點擊1.平面圖形的面積2.幾何體(曲頂柱體)的體積3.曲面的面積4.薄板的質(zhì)量5.靜力矩6.重心、形心 重積分中來。的微分元素法推廣到二首先，將定積分應(yīng)用中 區(qū)中任取一個面積很小的有可加性。在對區(qū)域設(shè)量ddq d )d ( d 可近上的部分量在，相應(yīng)地其面積也記為域qq d),( , ),( ,d),( qyxfdyxyxf為所求量則稱似地表示為 d),(d qdyxfq上，所求量。于是，在的微分元素，記為 的值為 d),(d。ddyxfqq 的面積計算：形由曲線所圍成的平面圖d ; ) 1),( ( d | yxfdd被積函數(shù)一般表達式 ; dd | dyxd直

2、角坐標系下 , dd |*| | *drrdd極坐標系下d *。d sin ,cosryrx1. 平面圖形的面積例1解解 12 積。所圍成的平面圖形的面，求由xxyxyxyo1xy xy2d1x) 1 , 1 ()2 , 1 ( 如圖所示， 210 | ),(，xyxxyxd dd | dyxds dd2 1 0 xxyx d1 0 xx 21 21102。x2. 幾何體(曲頂柱體)的體積 ),( ),( 3為底，中簡單曲面，則以是：設(shè)drdyxyxfz 可按下式進行計算：為頂?shù)那斨w的體積以v dd| ),(| 。dyxyxfv例2體積。面垂直相交時所圍成的求兩個半徑相等的圓柱1w2w22

3、21 :ayxw2222 :azxw在第一卦限中222ayx222azx底頂解 1，于第一卦限中的體積由對稱性，只需求出位v 8 即可。然后乘以xy22xayoa1d為頂，是一個以曲面 221xazv為底的平面上的圓盤以 22xayxy所示曲頂柱體的體積。如圖。 0 , 0 | ),( 221xayaxyxd221 0 22 0 221ddddxaadyxaxyxxav。3 0 2232d)(axxaa。故31316 8 avvd3. 曲面的面積 , ),( : yxfz設(shè)有曲面平面上的在為曲面 xy的面積。計算曲面 ddcyxf , )(),(1其中。投影區(qū)域 xyz?sdxyz上任取一個直

4、徑很小的在 d。，其面積也記為區(qū)域dd 上，在曲面 d),( yxp就是。點對應(yīng)有一點 ),( pzyxm平面上的投影。在上點 xym為底作母線平行，以處的切平面為在點設(shè)曲面 d m；，其面積也記為得小塊曲面軸的柱面。該柱面截于sszd d asdd。此時，其面積仍記為得小塊平面截切平面aatd d dpmsdtad由解析幾何知識，令),(),(yxfzzyxf處的法向量在點則得到曲面 ),( zyxm) 1 , ,() , ,(yxzyxfffffn，故，其中，而) , () , ( cosdd knozna221 1cosyxff。的面積元素從而，得到曲面d1 d : 22yxffsdyx

5、yxffsdd1 22的面積為所求的曲面dadnz軸切平面平面 xyk時，和當曲面方程為 ),( ),( zxfyzyfx。面積計算公式類似可得例3所割下部分的面積。被柱面求錐面 2 2222xyxyxz解 平面上的投影為故錐面被割下的部分在 xy 兩曲面的交線為22yxzxyx222，即222yxzxz22，。 0 , 2 | ),(22xxyxyxd, , 22222222yxyyyxyzyxxxyxxz又故所求的曲面面積為。 2 | 2dd2dd1 22dyxyxffsddyx消去 z 得投影柱面0 , 1) 1( | ),(22xyxyxd解例4所夾部分的面與被平面求球面 2 4 22

6、22azazazyx。積，其中0 axzo2222azyx2az 4az 的交線如圖所示，球面與平面分別為, 16 15222ayx4az 4 3222ayx2az 上的部分在故球面被兩個平面所截xy 投影為。 16 154 3 | ),(2222ayxayxdxyo16 152a4 32a 222，得由球面方程yxaz , 222yxaxxz 222。yxayyz 于是，所求面積為ddyxyxyxaayxffsdddd1 222224 15 2 3 22 2 0 *22dd dd aadrrararrraa。2 21a。其中， 4 152 3 , 20 | ),(*arard解例5 的球的表

7、面積。計算半徑為a 半球的表面積。由對稱性，只需計算上, 222yxaz上半球面的方程為。設(shè)該球面的方程為2222 azyx，平面上的投影為上半球面在 | ),( 222ayxyxdxy , , 222222yxayyzyxaxxz又ddyxyxyxaayxffsdd 2dd1 2 22222故。 4d d 2dd 2 0 22 2 0 *22ararrararraad| ),(*rd , 200ar 有問題沒有？有問題沒有？是被積函數(shù)的瑕點。實際上是一個瑕積分，例 5 ar 萊布尼茲公式。積分的牛頓我們實際上采用了廣義 積分，問題時，經(jīng)常遇到廣義在計算曲面的面積這類我們應(yīng)該格外小心。4. 薄

8、板的質(zhì)量平面上，其質(zhì)量分布位于板設(shè)質(zhì)量非均勻分布的薄 xyd ),( 為，則該薄板的質(zhì)量元素的面密度為yx, d),(dyxm 薄板的質(zhì)量為ddyxmmd),(ddyxyxmdd),( 直角坐標系下為 ddd d ,。標系下，的面積元素，在直角坐為其中yxd解例6 2 度與點到兩對角的正方形薄板的材料密設(shè)邊長為 a，密度為比，且薄板對角線上的線交點的距離平方成正 1 質(zhì)量。計算這塊正方形薄板的系，使得標原點，建立直角坐標以兩對角線的交點為坐 表示為兩邊，則正方形坐標軸平行于正方形的d。 , | ),(ayaaxayxd，處的密度為正方形上任意一點 )(),( ) ,( 22yxkyxyx。于是

9、，則，令得由題意，2221 21 1),(akaxxkxx， )( 21),(222yxayx 該正方形的質(zhì)量為ddyxyxayxyxmdd)( 21dd),(222,dd 21dd 212222ddyxyayxxa dddd 22，故因為ddyxyyxx。3 4dd 1dd 2212 2222ayxxayxxamaaaad， )( 21),(222yxayx5. 靜力矩）的（或平面的一質(zhì)點到已知直線設(shè)質(zhì)量為 lm d d （或平面為質(zhì)點對已知直線，則稱垂直距離為lm）。（或）的靜力矩，記為mml xyoyx軸的靜力矩。軸、對平面薄片問題：如圖所示，計算yxd d d ，它的面積也記中任取一小

10、區(qū)域在d d d d 可近似表示的質(zhì)量。于是，為m。d),( d),(dyxyxm 由靜力矩的定義，,d),(dd dyxymymxx軸的靜力矩為對。軸的靜力矩為對d),(dd dyxxmxmyy。軸的靜力矩的微分元素軸和對就是與 d dyxdmmyxdd),(ddyxymymxd),(ddyxxmxmy。軸的靜力矩為對薄片 dd),( dxyxyxymxd。軸的靜力矩為對薄片 dd),( dyyxyxxmyd稱為靜矩。和時，通常將靜力矩當 1),( yxmmyx6.重心、形心 對各坐標軸時，點的質(zhì)量集中于一點若視薄片mmd為，則稱點對相同坐標軸的靜力矩的靜力矩等于薄片 md的重心。薄片 d重

11、心坐標計算公式。，重心為，分布密度為的質(zhì)量為設(shè)薄片 ),( ),( yxmyxmd由重心的概念，有。 , xymymmxm，以及，由 dd),( dd),( dydxyxyxxmyxyxym dd),(，立即得到dyxyxm。 dd),(dd),( , dd),(dd),(ddddyxyxyxyxyyyxyxyxyxxx的形心。則所得到的重心稱為它若將薄片視為勻質(zhì)的，合。的形心與它的重心不重一般說來，非勻質(zhì)薄片。 dddd , ddddddddyxyxyyyxyxxx形心及其坐標計算公式 ),( 式得到形心坐標公式常數(shù)，故由重心坐標公由于yx解例7所圍成的平面圖形及求由兩個圓 cos cos brar 0 。的形心，其中，ba 0 。軸上，即故形心必位于yxxyoabd coscos , 22 | ),( ，又brard 軸對稱，關(guān)于平面圖形xdcos cos 2 2 dcosddd badrr