基礎(chǔ)物理剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、目錄目錄5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用5.5 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒5.6 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.7 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)第第5章章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) Rotation of a Rigid Body本章作業(yè)：本章作業(yè)：3一、剛體一、剛體 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1、剛體、剛體 定義定義: 在外力作用下，形狀和大小保持不變的的物體稱為在外力作用下，形狀和大小保持不變的的物體稱為 剛體；剛體；是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系。特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體上的任兩點(diǎn)間的距離始終保持不變。剛體上的任兩點(diǎn)間的距

2、離始終保持不變。 剛體是實(shí)際物體剛體是實(shí)際物體的理想模型。的理想模型。 剛體上剛體上任意任意兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中保持平行，這種運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)。稱為剛體的平動(dòng)。 特征：特征：剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度相等剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度相等。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。2、剛體的平動(dòng)、剛體的平動(dòng)5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述4剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞同一直線做剛體上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞同一直線做圓周圓周運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。：轉(zhuǎn)軸在空間的位置固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。1）

3、各點(diǎn)的角位移、角速度、角加速度相同各點(diǎn)的角位移、角速度、角加速度相同。2）各點(diǎn)的線位移、線速度、線加速度不同各點(diǎn)的線位移、線速度、線加速度不同。特征：特征：平面運(yùn)動(dòng)：也稱為滾動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)：也稱為滾動(dòng) 。剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。視為車輪軸在垂直軸方向的平動(dòng)和繞車輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。視為車輪軸在垂直軸方向的平動(dòng)和繞車輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 6二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 22ddddttt ddt 平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:12 規(guī)定沿規(guī)定沿 o

4、x 軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，反之為負(fù)方向。軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，反之為負(fù)方向。)(t 角位置：角位置：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。 SPP rO xyAA 7剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公式如下：2000220012 2()ttt 角量與線量的關(guān)系：224,tnsrrarararv線速度與角速度之間的矢量關(guān)系為:rv 由于在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中軸的位置不變，故 只有沿軸的正負(fù)兩個(gè)方向，可以用代數(shù)值代替。, vro SPP rO xyAA 8【例5.1】一半徑為R = 0.1m 的砂輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角位置隨時(shí)間t 的變化關(guān)系為 = (

5、2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒計(jì)。試求：1）在 t = 2s 時(shí),砂輪邊緣上一質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度的大小。2）當(dāng)角 為多大時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成 45 o。 解 1）212ddtt d24dtt42224 .14)12(1 .0ttRan 0.1242.4taRtts55.0 t( 舍去 t = 0 和 t = - 0.55 )此時(shí)砂輪的角位置：此時(shí)砂輪的角位置：(rad)67. 255. 042)42(33 t o )(8 .42241 .02m/s ta)(4 .230)212(1 . 0222m/s na當(dāng)當(dāng)t = 2s 時(shí)時(shí)2）加速度與半徑成450時(shí)有 1

6、/45 ntaatgtt4 . 24 .144 即即【例例5.2】一飛輪從靜止開始加速，在一飛輪從靜止開始加速，在6s內(nèi)其角速度均勻地增加內(nèi)其角速度均勻地增加到到200rad/min，然后以這個(gè)速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間，再予以制，然后以這個(gè)速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間，再予以制動(dòng)，其角速度均勻減小。又過了動(dòng)，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動(dòng)。若飛后，飛輪停止了轉(zhuǎn)動(dòng)。若飛輪總共轉(zhuǎn)了輪總共轉(zhuǎn)了100轉(zhuǎn)，求共運(yùn)轉(zhuǎn)了多少時(shí)間？轉(zhuǎn)，求共運(yùn)轉(zhuǎn)了多少時(shí)間？解解：整個(gè)過程分為三個(gè)階段：整個(gè)過程分為三個(gè)階段加速階段加速階段11 1t211 102 211 11122t勻速階段勻速階段212t 制動(dòng)階段制動(dòng)階段

7、13 3t21332 21 313322t 2100321 而而 20022312111 tttsttttt91822200220031113112./ )(/ )( s.tttt9193321 d3cosd2gtL dcos23dLg 解：解：1） 棒做變加速運(yùn)動(dòng)：棒做變加速運(yùn)動(dòng)：例題補(bǔ)充例題補(bǔ)充 一細(xì)棒繞一細(xì)棒繞O 點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并知點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并知 , , L 為棒長(zhǎng)。為棒長(zhǎng)。求求: 1: 1）棒自水平靜止開始運(yùn)動(dòng)，）棒自水平靜止開始運(yùn)動(dòng)， = = / 3 3 時(shí)時(shí), , 角速度角速度 ? ? 2 2）此時(shí)端點(diǎn)）此時(shí)端點(diǎn)A A 和中點(diǎn)和中點(diǎn)B B 的線速度為多大的線速度為多大? ?3cos

8、2gL 030dcos23dLggLLg2333sin32 Lg233 2)rv由得 ：3 32AgLLv3 328BLgLvddddddt A BO 5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律The Law of Rotation About a Fixed Axis觀點(diǎn)：把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。觀點(diǎn)：把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。) ( dd點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)外外OtLM) ( dd軸軸對(duì)對(duì)外外ztLMzziFimivO O定軸定軸剛體剛體irirz z, 一、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩FrM zFPord 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在作用在剛體上點(diǎn)剛體上點(diǎn) P ，且在轉(zhuǎn)動(dòng)

9、平面內(nèi)，且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為為由點(diǎn)由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的徑矢。的徑矢。 FrrFFdrFMt sin大大小?。河袃蓚€(gè)方向，可用正負(fù)表示。有兩個(gè)方向，可用正負(fù)表示。MzFPord tFnFrFo0 MrFo0 M方向：方向：MzFPOr tFnFzF面面FM面面M1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)tteFrM 將力將力分解為分解為徑向、橫向徑向、橫向和沿轉(zhuǎn)軸方向的和沿轉(zhuǎn)軸方向的三個(gè)分量。三個(gè)分量。 zF產(chǎn)生的力矩垂直于轉(zhuǎn)軸，它在轉(zhuǎn)軸上的投影為零。產(chǎn)生的力矩垂直于轉(zhuǎn)軸，它在轉(zhuǎn)軸上的投影為零。0 nneFrM2） 當(dāng)有當(dāng)有n 個(gè)力作用于剛體，則個(gè)力作用于剛體，則nMMMM

10、21 對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于各力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于各力對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。 3） 剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的剛體的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的矢量和等于零。力矩的矢量和等于零。2r12f21f12dO1r討論討論14二、剛體角動(dòng)量元角動(dòng)量元角動(dòng)量()iiiRm v質(zhì)元質(zhì)元im 剛體對(duì)某點(diǎn)剛體對(duì)某點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量剛體對(duì)剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量()iiim R vioLL iiiiLm R v 2iirmizzLL |cos |iLk (|) cosiiimRk v(cos )iiim Rkvi iimr kvkrrmiii2zi iJm r

11、 令剛體剛體對(duì)對(duì)z軸軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OLiRo iriL izL z zL 上式可寫為：上式可寫為：zzLJ剛體剛體對(duì)對(duì)z軸軸的的角動(dòng)量角動(dòng)量15六、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律六、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律dd()ddzzzLJMJttzzMJ即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比：與牛頓第二定律相比：M F，J m， a注意：1、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為慣性系。2、M 一定：作用不同剛體上，J 大時(shí)， 小時(shí)， 轉(zhuǎn)速不宜 改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，J 小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算：2i iJm r 若質(zhì)量離散分布： （質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系） mrJ

12、d2 若質(zhì)量連續(xù)分布：lmdd smdd Vmdd 其中： 一、定義：一、定義： 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積的總和。量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積的總和。 5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量）（描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量）SI單位：?jiǎn)挝唬簁g m 2mrJVd2 niiirmJ12【例5.3】求質(zhì)量為m，半徑為R 的均勻圓環(huán)的對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解： 設(shè)線密度為； RlRmRJ 2022dd【例5.4】求質(zhì)量為m、半徑為R 的均勻薄圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 取半徑為 r 寬為d r 的細(xì)圓環(huán)

13、,rrsmd2dd lmdd RrrrmrJ0222d2d 222mRRR 解：解： 設(shè)面密度為設(shè)面密度為。242121mRR oRmdRorrd【例5.5】求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 1）取A 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。在距A 點(diǎn)為x 處取dm= dx 。12dd22222mLxxmxJLLC 3d202mLxxJLA ALBxAC2Lmd2LxxB2）取C 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。 在距C 點(diǎn)為x 處取dm 。2) 同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同， 凡提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量凡提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的。必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的。1) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

14、是由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布、剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布、 轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置三個(gè)因素共同決定三個(gè)因素共同決定;xmdxxmxJddd22 說明說明三、平行軸定理 若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，且兩軸相距為d，剛體對(duì)該軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：兩軸平行；兩軸平行；JC 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量d 為兩平行軸間距離。為兩平行軸間距離。2221mdmRJo 2mdJJC 例 均勻圓盤對(duì)O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。221mRJC oCd說明說明四、垂直軸定理四、垂直軸定理xyzOimixiyir 設(shè)一薄板，過其上一點(diǎn)作設(shè)一薄板，過其上一點(diǎn)作 z 軸垂直軸垂直于板面，于板面，

15、x、y軸在平板面內(nèi)，若取一質(zhì)軸在平板面內(nèi)，若取一質(zhì)元元mi ，則有，則有2iizrmJ )(22iiiyxm yxiiiiJJymxm22 yxzJJJ 薄板形剛體對(duì)于板面內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和薄板形剛體對(duì)于板面內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于這個(gè)物體對(duì)過該二軸交點(diǎn)并垂直于板面的那條轉(zhuǎn)軸的等于這個(gè)物體對(duì)過該二軸交點(diǎn)并垂直于板面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 - 垂直軸定理垂直軸定理1、轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，固定軸為慣性系（質(zhì)心系亦可）。2、M 一定：作用不同剛體上，J 大時(shí)，小時(shí)， 轉(zhuǎn)速不宜 改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大。反之，J 小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。3、

16、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律是解決剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題的重要定律。 應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下問題： 力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸而言。而言。 選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度、角速度的正負(fù)。選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以確定力矩或角加速度、角速度的正負(fù)。Fma 類比 當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動(dòng)物體，又有平動(dòng)物體時(shí)，用隔離法解題。 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方 程， 對(duì)平動(dòng)物體則用牛頓第二定律建立方程。zzMJ5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用【例例5.6】質(zhì)量為質(zhì)量為m 1、半徑為半徑為R 的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一的定滑輪可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為質(zhì)量為m 2 的物體懸掛于繞過滑輪的細(xì)繩上。求：物體的物體懸掛

17、于繞過滑輪的細(xì)繩上。求：物體m 2 的下的下落加速度落加速度a 和和 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。2122(2)m gR mm21222mmgma 聯(lián)合解得：聯(lián)合解得： aR1)T RJ)222amTgm 關(guān)聯(lián)方程關(guān)聯(lián)方程 解: 對(duì)m 1 分析力矩；取滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉?121RmJ MJgm2T對(duì)對(duì)m2 2分析受力。取向下為正方向。分析受力。取向下為正方向。R1mT TT 2mR1m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由牛頓運(yùn)動(dòng)定律由牛頓運(yùn)動(dòng)定律【例例5.7】一輕繩跨過定滑輪，一輕繩跨過定滑輪， 滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為有質(zhì)量為m1 和和m2 的物體的物

18、體, m1 m2 。 設(shè)滑輪的質(zhì)量為設(shè)滑輪的質(zhì)量為m ， 半徑為半徑為r , 忽略摩擦。忽略摩擦。 繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。 求物體的加速度。求物體的加速度。 解：解：由于由于m1 m2 ，則，則m1 向下加速運(yùn)動(dòng)，向下加速運(yùn)動(dòng)，m2 向上加速運(yùn)向上加速運(yùn)動(dòng)，滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。規(guī)定物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉?dòng)，滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。規(guī)定物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。?duì)對(duì)m 1 、m 2 分析受力。由牛頓第二定律：分析受力。由牛頓第二定律：1m1Tgm11a2mgm22T2a11111:amTgmm 22222:amgmTm 對(duì)滑輪分析力矩；由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：對(duì)滑輪分析力矩；由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：2mm1m

19、 22121mrJrTrT m2T 1T 關(guān)聯(lián)方程關(guān)聯(lián)方程 raa 212211TTTT 聯(lián)立解得聯(lián)立解得gmmmmmaa)(2)(2212121 【例例5.8】一剛體由長(zhǎng)為一剛體由長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)桿和質(zhì)量為的均勻細(xì)桿和質(zhì)量為m 的的小球組成小球組成，且可繞且可繞O 軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)， 且且 軸處無摩擦。求軸處無摩擦。求: 1） 剛體繞軸剛體繞軸O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2）若桿自水平靜止開始運(yùn)動(dòng)桿與）若桿自水平靜止開始運(yùn)動(dòng)桿與豎直方向成豎直方向成角時(shí)角時(shí), 小球的角速度。小球的角速度。Om m，lgm2223431mlmlmlJ 解解 1）2ml

20、J 球球231mlJ 桿桿 2）取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，桿與豎直方向成）取逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向，桿與豎直方向成角時(shí)，角時(shí)，合外力矩合外力矩: sin23mglMMM 桿桿球球gm sinmglM 球球 sin2lmgM 桿桿ddddddddtt又 dd8sin9 lg分離變量積分得分離變量積分得: : 02dd8sin9lglg cos23 小球的法向加速度：小球的法向加速度： cos492glan 9sin8MgJl 得：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律: :MJ26補(bǔ)充：補(bǔ)充：如圖所示如圖所示m1 m2 試由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出系統(tǒng)的試由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，求出運(yùn)動(dòng)方程，求出m2的加速

21、度和張力的加速度和張力T1 ,T2, T31m2m1T2T3T1M2M1R2R解：設(shè)解：設(shè)m2的加速度為的加速度為a，方向向上，則方向向上，則m1的加速的加速度也為度也為a，方向向下，方向向下，滑輪與繩不打滑，則滑滑輪與繩不打滑，則滑輪與繩的加速度為：輪與繩的加速度為：1212aaRR:1111mm gTm a對(duì):2222mTm gm a對(duì)M :()211311111TT RM R2對(duì):()223222221MTT RM R2對(duì)11311a1TTM aR2對(duì)：23222a1TTM aR2對(duì)：27兩端相加：兩端相加：()1212122 mm ga2 mmMM（）()()1211211112124

22、m mm MMTm gm ag2 mmMM()3221TmgaM a2 本題中本題中123TTT當(dāng)當(dāng)M1 1, ,M2 2質(zhì)量可以忽略時(shí)質(zhì)量可以忽略時(shí)T1 1= =T2 2= =T3 3222Tm gm a5.5 剛體的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律ddzzLMt 作用在剛體上沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸的作用在剛體上沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩等于剛體繞此軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。1221 JJLtMzttz d作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 不變時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)定律不變時(shí)，轉(zhuǎn)

23、動(dòng)定律 可表示為可表示為zzLtMdd 微分形式微分形式zttzLtM 21d積分形式積分形式一、剛體的角動(dòng)量一、剛體的角動(dòng)量定理定理二、剛體的角動(dòng)量守恒定律二、剛體的角動(dòng)量守恒定律zZzM0LJC時(shí)，1) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，若 J = C，角動(dòng)量守恒即剛體保角動(dòng)量守恒即剛體保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。2）若若J 不為恒量時(shí)，角動(dòng)量守恒即不為恒量時(shí)，角動(dòng)量守恒即 J = 恒量。這時(shí)，剛體恒量。這時(shí)，剛體 的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化而變化，但乘積保持不變的角速度隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化而變化，但乘積保持不變 當(dāng)剛體所受的外力對(duì)某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量

24、保持不變。3）角動(dòng)量守恒定律中的）角動(dòng)量守恒定律中的 都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸的都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸的、J4）守恒條件：守恒條件：iiF0M0不等價(jià)iF0iM0例例:1F2FiF0iM01F2FiM0說明說明22487MlMdJJCO 2 2）取細(xì)棒為研究對(duì)象，碰前細(xì)棒作平動(dòng)，可按質(zhì)點(diǎn)處理。）取細(xì)棒為研究對(duì)象，碰前細(xì)棒作平動(dòng)，可按質(zhì)點(diǎn)處理。144OClLrMMM lvvv解：解： 1 1）14JMlv127lv方向：3 3）碰撞過程中，細(xì)棒所受的外力矩為零，角動(dòng)量守恒。）碰撞過程中，細(xì)棒所受的外力矩為零，角動(dòng)量守恒。vlo4lldMlJC411212 已已知知：方向：cr由平行軸定理：【例例5.9】光

25、滑的水平桌面上有一個(gè)長(zhǎng)為光滑的水平桌面上有一個(gè)長(zhǎng)為l，質(zhì)量為質(zhì)量為M 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，以以 速度速度v 運(yùn)動(dòng)，與一固定于桌面上的釘子運(yùn)動(dòng)，與一固定于桌面上的釘子O 相碰，碰后細(xì)棒繞相碰，碰后細(xì)棒繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，試求轉(zhuǎn)動(dòng)，試求 1）細(xì)棒繞）細(xì)棒繞O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 2）碰前棒對(duì)）碰前棒對(duì)O 點(diǎn)的點(diǎn)的角動(dòng)量；角動(dòng)量；3 ）碰后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度）碰后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ?！纠?.10】一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度v0射穿靜止懸于頂端射穿靜止懸于頂端的均質(zhì)長(zhǎng)棒的下端。子彈穿出后其速度損失了的均質(zhì)長(zhǎng)棒的下端。子彈穿出后其速度損失了3/4，求子彈穿出，求子彈穿出后棒的角速

26、度后棒的角速度。已知棒的長(zhǎng)度為。已知棒的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M。 0vvmmlM、 解：解：取細(xì)棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，取細(xì)棒和子彈為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它系統(tǒng)受到的外力：重力和軸的作用力，它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量們對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零。所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。守恒。 1320mlmlMlvv311-4400vvv094mMlv設(shè)設(shè)m射穿前為初態(tài)，射穿前為初態(tài)， m射穿后為末態(tài)。射穿后為末態(tài)。初態(tài)初態(tài)10Lmlv末態(tài)末態(tài)2213LmlMlv由角動(dòng)量守恒定律，得由角動(dòng)量守恒定律，得m0vmgffgMNOMl 2【例例5.11】如圖所示，一長(zhǎng)為如

27、圖所示，一長(zhǎng)為2l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒，可繞的均勻細(xì)棒，可繞中點(diǎn)的水平軸中點(diǎn)的水平軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒靜止在水平位置，在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒靜止在水平位置，一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球以速度的小球以速度v0垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度作彈性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度各為多少？各為多少？解解: 以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受取小球和棒碰撞中間的任意狀態(tài)分析受力力，則系統(tǒng)對(duì)軸，則系統(tǒng)對(duì)軸O的角動(dòng)量守恒。的角動(dòng)量守恒

28、。 取垂直紙面向里為角動(dòng)量正向。取垂直紙面向里為角動(dòng)量正向。 0mlJm lvv2231)2(121MllMJ 對(duì)彈性碰撞，對(duì)彈性碰撞，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2220111222mmJvv聯(lián)立可解得聯(lián)立可解得033MmMmvv06(3 )mMm lv【例例5.12】一一質(zhì)量為質(zhì)量為M半徑為半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺(tái)（可看作勻質(zhì)圓盤）的水平轉(zhuǎn)臺(tái)（可看作勻質(zhì)圓盤）可繞通過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為可繞通過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m的人站在的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣。人和轉(zhuǎn)臺(tái)最初相對(duì)地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺(tái)上邊緣轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣。人和轉(zhuǎn)臺(tái)最初相對(duì)地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺(tái)上邊緣走一周時(shí)，人和轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面各轉(zhuǎn)過的

29、角度是多少？走一周時(shí)，人和轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面各轉(zhuǎn)過的角度是多少？OMmRx解解:對(duì)盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受到的對(duì)轉(zhuǎn)軸的合對(duì)盤和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受到的對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，因此外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣相對(duì)地面。設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣相對(duì)地面以角速度以角速度逆時(shí)針方向繞軸走動(dòng)，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為逆時(shí)針方向繞軸走動(dòng)，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1。轉(zhuǎn)臺(tái)以角。轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度速度相對(duì)地面順時(shí)針方向繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為相對(duì)地面順時(shí)針方向繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2。起。起始狀態(tài)系統(tǒng)的角動(dòng)量為零。則有始狀態(tài)系統(tǒng)的角動(dòng)量為零。則有021 JJ 2221MRmR即即令令

30、tdd tdd tMRtmRdd21dd22 00d21dMm Mm21 當(dāng)人在盤上走完一周時(shí)，應(yīng)有當(dāng)人在盤上走完一周時(shí)，應(yīng)有 2 22mMM 2222222mMmmMM 35【例例5.13】一棒長(zhǎng)一棒長(zhǎng)l,質(zhì)量質(zhì)量m,其質(zhì)量分布與其質(zhì)量分布與O點(diǎn)成正比，將細(xì)棒點(diǎn)成正比，將細(xì)棒放在粗糙的水平面上，棒可繞放在粗糙的水平面上，棒可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，棒的初始角速點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，棒的初始角速度為度為0,棒與桌面的摩擦系數(shù)為棒與桌面的摩擦系數(shù)為。求求:(1)細(xì)棒對(duì)細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(2)細(xì)棒繞細(xì)棒繞O點(diǎn)的摩擦力矩。點(diǎn)的摩擦力矩。(3)細(xì)棒從以細(xì)棒從以0 開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。開始轉(zhuǎn)

31、動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間。O0 Z解：解：(1)dd?mrkr設(shè)則：20021dd22llrkr rklmmrl364232002202122llmmmrJr dmr drmlll細(xì)棒上距細(xì)棒上距O點(diǎn)點(diǎn)r處長(zhǎng)處長(zhǎng)dr的線元所受的摩擦力和對(duì)的線元所受的摩擦力和對(duì)O點(diǎn)的摩擦力矩：點(diǎn)的摩擦力矩：2222dddd2(mfm ggrgr rlmgdMrdfr drzl 選 方向?yàn)檎?02022dd3lMmgMMrrmgll （3）由角動(dòng)量原理由角動(dòng)量原理02002132 mlmgltJJMdtt glt 430 37R186 9610 .)(102 . 23600243 .2561sT 自轉(zhuǎn)角速度自轉(zhuǎn)角速

32、度 112 T 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JmR11225 設(shè)縮后的角速度為設(shè)縮后的角速度為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2JmR22225 解解: :已知已知由角動(dòng)量守恒得由角動(dòng)量守恒得 JJ1122 12212212115 110 JJRR.)(1022.1151212sTT 【例例5.14】太陽半徑為太陽半徑為6.96108m，自轉(zhuǎn)周期為，自轉(zhuǎn)周期為25.3天，若在天，若在演化過程中最后縮為半徑演化過程中最后縮為半徑5km中子星，而無質(zhì)量損失，試估中子星，而無質(zhì)量損失，試估算新的自轉(zhuǎn)周期。算新的自轉(zhuǎn)周期。5.6 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一、一、 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能222111222iiikiiEmmmvv

33、v平22221)(21 Jrmiii 2222111()222iiii ii ikiiiEmmrmrv轉(zhuǎn)平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能 ：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 ：即：221 JEk 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)JLJJJEk2)(2121222 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)用角動(dòng)量表示為：注意：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能實(shí)質(zhì)與平動(dòng)動(dòng)能相同，表達(dá)式不同。221122kkkEEEmJv平轉(zhuǎn)一般剛體動(dòng)能 ：二、二、 力矩的功和功率力矩的功和功率MFr sin？外力矩外力矩剛體剛體角位移角位移 d 21d MA力矩功的表達(dá)式力矩功的表達(dá)式由功的定義式: dcosFr ddMA ddsAFr位移質(zhì)點(diǎn)外力ddcosdAFrFs dsinFr F rz doPsddr1） M 恒定時(shí)恒定時(shí)

34、2） 內(nèi)力矩做功為零。內(nèi)力矩做功為零。)(d1221 MMA說明說明 如果有幾個(gè)外力矩對(duì)剛體做功，則各外力矩做功之和為如果有幾個(gè)外力矩對(duì)剛體做功，則各外力矩做功之和為 21212121 1 2 11d ddd niinniiMMMMAAiMM令令- 合外力矩合外力矩各外力矩做功所做的總功為合外力矩對(duì)剛體所做的功。各外力矩做功所做的總功為合外力矩對(duì)剛體所做的功。 21d MA根據(jù)功率的定義，力矩的功率可表示為根據(jù)功率的定義，力矩的功率可表示為 tAPddtMdd M MP PFv對(duì)比對(duì)比三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 dddtJ ddAMJ 21 dJ21222121 JJ

35、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到的合外力矩為設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到的合外力矩為M，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 ddMJJt21222121 JJA 合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。iiipgzmE 剛體的重力勢(shì)能等于全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能 。四、剛體的重力勢(shì)能四、剛體的重力勢(shì)能五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理和機(jī)械能守恒定律CpmgzE 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能iiizmg iiimzmmg 剛體中各質(zhì)元的重力勢(shì)能的總和稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的重力勢(shì)能。剛體中各

36、質(zhì)元的重力勢(shì)能的總和稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的重力勢(shì)能。 若剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中受重力矩若剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中受重力矩M M重重 及其它外力矩及其它外力矩M M重重的作用，的作用，則則 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)外外重重k21222121dd2121EJJMM 根據(jù)勢(shì)能定理根據(jù)勢(shì)能定理PEM 21d 重重)(12CCmgzmgzEJmgzJmgzMCC )(21122221)21d21 外外即即為為剛剛體體的的機(jī)機(jī)械械能能定定義義)212 JmgzEC (剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的積分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的積分形式 EM 21d 外外EMd d外外剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的微分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)功能原理的微分形式 如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中

37、，除重力矩以外的其它外如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，力矩對(duì)剛體做的功始終為零，0d21 外外MCEEpk0E 如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，除重力矩以外的其它如果在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，除重力矩以外的其它外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，則定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)外力矩對(duì)剛體做的功始終為零，則定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。械能守恒。44【例例5.15】已知滑輪的質(zhì)量為已知滑輪的質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R ，物體的質(zhì)量為，物體的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面的傾角為，斜面的傾角為，物體與斜面間光滑，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧

38、無形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪物體從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧無形變。設(shè)細(xì)繩不伸長(zhǎng)且與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑間無相對(duì)滑動(dòng)，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑x米米時(shí)的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）時(shí)的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）解：解： 選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪、彈簧、物體選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪、彈簧、物體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)和地球?yàn)橄到y(tǒng)，重力、彈性力均為系統(tǒng)內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均內(nèi)保守力，而其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。不做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)設(shè)m未釋放時(shí)為初態(tài)，取此時(shí)重力勢(shì)能未釋放時(shí)為初態(tài)，取此時(shí)重力勢(shì)能為零。當(dāng)為零。當(dāng)

39、m下滑下滑x 后為末態(tài)。后為末態(tài)。初態(tài)：初態(tài)：00p0k EE末態(tài)：末態(tài)：222111(sin )()222EkxmgxmJv由機(jī)械能守恒定律，角量與線量的關(guān)系由機(jī)械能守恒定律，角量與線量的關(guān)系OMRmkmx聯(lián)立得聯(lián)立得222111(sin )()0222kxmgxmJvRv221MRJ 24sin2mgxkxmMv46一一. 剛體角動(dòng)量和角速度的關(guān)系剛體角動(dòng)量和角速度的關(guān)系 5.7 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 和角速度和角速度 方向一定相同嗎？方向一定相同嗎？ LO例：例：如圖由于繩的約束，如圖由于繩的約束， 固連球的輕桿只能固連球的輕桿只能 繞繞 Oz 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，O 是是 桿的

40、中點(diǎn)，但是：桿的中點(diǎn)，但是： OLz O prrpOLLL47繞繞 OO 軸轉(zhuǎn)，軸轉(zhuǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)因?yàn)榇藭r(shí) 守恒。守恒。OL答：答：一般情況下，剛體的角動(dòng)量一般情況下，剛體的角動(dòng)量 和角速度和角速度 的方向不一定相同。的方向不一定相同。 L質(zhì)量均勻、幾何對(duì)稱的剛體，繞幾何對(duì)稱軸質(zhì)量均勻、幾何對(duì)稱的剛體，繞幾何對(duì)稱軸自轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)角動(dòng)量自轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 / 自轉(zhuǎn)角速度自轉(zhuǎn)角速度 。L 【思考思考】剪斷繩瞬間如何運(yùn)動(dòng)？剪斷繩瞬間如何運(yùn)動(dòng)？OLOz O 48二二. 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 高速自轉(zhuǎn)物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象，如玩具陀螺：的現(xiàn)象，如玩具陀螺：Precessio

41、nSpin49OCtLMdd d MLLM LL d 每一瞬時(shí)，角動(dòng)量每一瞬時(shí)，角動(dòng)量 只改變方向而不改變大小，而同時(shí)，使只改變方向而不改變大小，而同時(shí)，使角動(dòng)量角動(dòng)量 產(chǎn)生變化的力矩產(chǎn)生變化的力矩 也隨之改變方向，使上面關(guān)系在也隨之改變方向，使上面關(guān)系在每一瞬間總保持成立，這就意味著剛體在作進(jìn)動(dòng)。每一瞬間總保持成立，這就意味著剛體在作進(jìn)動(dòng)。MLL對(duì)對(duì)O點(diǎn)，分析對(duì)稱陀螺點(diǎn)，分析對(duì)稱陀螺自轉(zhuǎn)角動(dòng)量自轉(zhuǎn)角動(dòng)量 的變化：的變化：LrMgmLdL/ LLL 50O L sinsin JMLM進(jìn)動(dòng)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度：tddLLdsind sinLtM ddLd51進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定后，總角速度：進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定后，總角速

42、度： 總總當(dāng)剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)有：當(dāng)剛體高速自轉(zhuǎn)時(shí)有： 總總對(duì)非對(duì)稱剛體，自轉(zhuǎn)軸在進(jìn)動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)微小對(duì)非對(duì)稱剛體，自轉(zhuǎn)軸在進(jìn)動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)微小的上下周期性的擺動(dòng)的上下周期性的擺動(dòng) 章動(dòng)。章動(dòng)。 52產(chǎn)生左轉(zhuǎn)產(chǎn)生左轉(zhuǎn)的外力矩的外力矩M【討論討論】回轉(zhuǎn)效應(yīng)的利弊回轉(zhuǎn)效應(yīng)的利弊 輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。附加力會(huì)損壞軸附加力會(huì)損壞軸承，甚至翻船。承，甚至翻船。 三輪車拐彎時(shí)易翻車三輪車拐彎時(shí)易翻車左轉(zhuǎn)左轉(zhuǎn)附加力附加力附加力附加力對(duì)海浪，回轉(zhuǎn)效對(duì)海浪，回轉(zhuǎn)效應(yīng)則可使船體保應(yīng)則可使船體保持平衡、穩(wěn)定。持平衡、穩(wěn)定。軸承軸承LLdM/53【討論討論】地球進(jìn)動(dòng)與歲差地球進(jìn)

43、動(dòng)與歲差隨著地球自轉(zhuǎn)軸的隨著地球自轉(zhuǎn)軸的進(jìn)動(dòng)，北天極方向進(jìn)動(dòng)，北天極方向不斷改變。不斷改變。北極星北極星3000年前年前 小熊座小熊座 現(xiàn)在現(xiàn)在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （織女）（織女）太陽太陽赤道面赤道面黃道面黃道面7223o 地球地球北天極北天極地軸地軸T = 25800年年自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動(dòng)自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動(dòng)(F1 F2)LdM/C1C2F1F2自轉(zhuǎn)角動(dòng)量自轉(zhuǎn)角動(dòng)量L54地軸地軸進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)分點(diǎn)每年在黃道上分點(diǎn)每年在黃道上西移西移50.2太陽年（回歸年）：太陽由春分太陽年（回歸年）：太陽由春分 秋分秋分 春分春分恒星年：地球繞太陽一周的時(shí)間恒星年：地球繞太陽一周的時(shí)間歲差歲差 = 恒

44、星年恒星年 太陽年太陽年 = 20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黃道面黃道面赤道面赤道面西西太陽太陽東東秋分點(diǎn)秋分點(diǎn)春分點(diǎn)春分點(diǎn)55我國古代已發(fā)現(xiàn)歲差：我國古代已發(fā)現(xiàn)歲差：每每50年差年差1度（約度（約72/年，精確值年，精確值50.2/年）。年）。 前漢劉歆（公元前前漢劉歆（公元前53 后后23）發(fā)現(xiàn)歲差。）發(fā)現(xiàn)歲差。 晉朝虞喜（公元晉朝虞喜（公元265 316）最先確定歲差：）最先確定歲差：先將歲差引入歷法：先將歲差引入歷法：391年有年有144個(gè)閏月。個(gè)閏月。 祖沖之（公元祖沖之（公元429 500）編）編大明歷大明歷最最56三三. 自由度自由度自由度是確定力學(xué)體系空間幾何位形所需

45、的自由度是確定力學(xué)體系空間幾何位形所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，與幾何約束條件直接相關(guān)。獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，與幾何約束條件直接相關(guān)。1. 質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)的自由度 不受約束（自由）的質(zhì)點(diǎn)，不受約束（自由）的質(zhì)點(diǎn)， 約束在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，約束在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)， 約束在曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，約束在曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)， x, y, z 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；自由度為自由度為 3，x, y, z 中有中有1個(gè)不獨(dú)立，如個(gè)不獨(dú)立，如 z = z(x, y)；自由度為自由度為 2，x, y, z 有有2個(gè)不獨(dú)立，如個(gè)不獨(dú)立，如 z = z(x)，y = y(x)自由度為自由度為 1，572. 剛體的自由度剛體的自由度自由剛體的自

46、由度最大，等于自由剛體的自由度最大，等于6 。解釋：解釋：3 點(diǎn)可固定（完全約束）剛體：點(diǎn)可固定（完全約束）剛體：C 點(diǎn)固定，則剛體固定。點(diǎn)固定，則剛體固定。.A.B.C所以剛體最大自由度是所以剛體最大自由度是 6 。A 點(diǎn)固定，點(diǎn)固定， 仍可繞仍可繞 A 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，BCB 點(diǎn)固定，點(diǎn)固定，C 點(diǎn)仍可繞點(diǎn)仍可繞 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，AB3 個(gè)點(diǎn)總坐標(biāo)數(shù)是個(gè)點(diǎn)總坐標(biāo)數(shù)是 9，但，但 距離距離不變，這不變，這 3 個(gè)條件使獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)減少個(gè)條件使獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)減少 3 個(gè)。個(gè)。CABCAB , ,58轉(zhuǎn)動(dòng)用轉(zhuǎn)動(dòng)用 3 個(gè)歐勒角描述：個(gè)歐勒角描述：6 = 3（基點(diǎn)平動(dòng)）（基點(diǎn)平動(dòng)）+ 3（繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）（繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)

47、動(dòng)）剛體最大自由度：剛體最大自由度： 進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角 章動(dòng)角章動(dòng)角 自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角595.8 剛體平面運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)介剛體平面運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)介一一. 基本概念和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系基本概念和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系1. 基面、基點(diǎn)、基軸基面、基點(diǎn)、基軸 可任選一軌道平面可任選一軌道平面 作為作為基面，基面，如如 1 面。面。與基面垂直的任意直與基面垂直的任意直線上的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)相同。線上的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)相同。 在基面上可任選一點(diǎn)為參考在基面上可任選一點(diǎn)為參考基點(diǎn)，基點(diǎn)，如如 O1 點(diǎn)。點(diǎn)。 過基點(diǎn)垂直基面的直線為過基點(diǎn)垂直基面的直線為基軸，基軸，如如 O1O3 軸。軸。 基面各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可代表剛體運(yùn)動(dòng)。基面各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可代表剛體運(yùn)動(dòng)。60剛體平面運(yùn)動(dòng)為下

48、列組合：剛體平面運(yùn)動(dòng)為下列組合： 基軸平動(dòng)基軸平動(dòng) 繞基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)繞基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)選質(zhì)心為基點(diǎn)，選質(zhì)心為基點(diǎn)，有利于動(dòng)力學(xué)問題分析。有利于動(dòng)力學(xué)問題分析。2. 基面上各點(diǎn)速度關(guān)系基面上各點(diǎn)速度關(guān)系 ROA vv 是基點(diǎn)是基點(diǎn) O 的速度，的速度，OvOAR 注意：注意： 是唯一的，與基點(diǎn)選擇無關(guān)。是唯一的，與基點(diǎn)選擇無關(guān)。 基面各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為下列組合：基面各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為下列組合： 基點(diǎn)平動(dòng)基點(diǎn)平動(dòng) (自由度自由度2) 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) (自由度自由度1) OARAv613. 瞬心（瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心）、瞬軸（瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸）瞬心（瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心）、瞬軸（瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸） , RRAAvv 基面上必存在一個(gè)瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)基

49、面上必存在一個(gè)瞬時(shí)速度為零的點(diǎn) P 瞬心瞬心 過瞬心垂直基面的直線為過瞬心垂直基面的直線為瞬軸。瞬軸。 瞬心位置一般隨時(shí)間變化。瞬心位置一般隨時(shí)間變化。 瞬心速度為零，但加速度不一定為零。瞬心速度為零，但加速度不一定為零。 選瞬心為基點(diǎn)，選瞬心為基點(diǎn)，有利于運(yùn)動(dòng)學(xué)問題分析。有利于運(yùn)動(dòng)學(xué)問題分析。PAR PARAv62求瞬心位置的求瞬心位置的 2 個(gè)簡(jiǎn)便方法：個(gè)簡(jiǎn)便方法： 瞬心位置可能在剛體內(nèi)，也可能在剛體外。瞬心位置可能在剛體內(nèi)，也可能在剛體外。 APARv 2. 已知已知 2 點(diǎn)速度方向點(diǎn)速度方向1. 已知已知 1 點(diǎn)速度和點(diǎn)速度和 方向沿方向沿 的方向的方向R AvPARAvBAvPBvA

50、634. 均勻圓柱（盤、環(huán)、球）等在曲面上作均勻圓柱（盤、環(huán)、球）等在曲面上作 純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件純滾動(dòng)：純滾動(dòng)：接觸點(diǎn)接觸點(diǎn) P 是瞬心，無相對(duì)滑動(dòng)是瞬心，無相對(duì)滑動(dòng) 。 rC v質(zhì)心質(zhì)心 C 的切向加速度：的切向加速度： raC 質(zhì)心質(zhì)心 C 的速度：的速度：（為何？）（為何？）PCr（在平面上就是質(zhì)心（在平面上就是質(zhì)心 C 的加速度）的加速度）64二二. 動(dòng)力學(xué)關(guān)系動(dòng)力學(xué)關(guān)系1. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 CamF外外2. 對(duì)通過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)通過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 軸軸外外軸軸CJMC 瞬瞬軸軸外外瞬瞬軸軸JM若瞬心加速度方向與瞬心質(zhì)心連線平行，若瞬心加速度

51、方向與瞬心質(zhì)心連線平行，則慣性力對(duì)瞬心的力矩為零，對(duì)瞬軸也有：則慣性力對(duì)瞬心的力矩為零，對(duì)瞬軸也有：PC如均勻圓柱如均勻圓柱體的純滾動(dòng)體的純滾動(dòng)Pa653. 對(duì)通過質(zhì)心的基軸的角動(dòng)量定理對(duì)通過質(zhì)心的基軸的角動(dòng)量定理 dd tLMCC軸軸外外軸軸角動(dòng)量關(guān)系角動(dòng)量關(guān)系 CCCOmrJLv 軸軸軸軸O軸軸 ：剛體所在空間中平行于：剛體所在空間中平行于C 軸的固定軸軸的固定軸 ：質(zhì)心：質(zhì)心 C 相對(duì)相對(duì) O 軸的垂直位矢軸的垂直位矢 ：質(zhì)心速度：質(zhì)心速度Cr Cv如圖，均勻圓球?qū)θ鐖D，均勻圓球?qū)?O 軸軸角動(dòng)量是多少？守恒否？角動(dòng)量是多少？守恒否？CvRO m664. 能量關(guān)系能量關(guān)系 質(zhì)心平動(dòng)能質(zhì)心

52、平動(dòng)能（剛體平動(dòng)能）（剛體平動(dòng)能）繞過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)能繞過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)能（剛體轉(zhuǎn)動(dòng)能）（剛體轉(zhuǎn)動(dòng)能） 動(dòng)能關(guān)系動(dòng)能關(guān)系 科尼希定理科尼希定理 2121 22 軸軸CCkJmEv 功能原理功能原理 dd 00 軸軸外外外外外外CMrFWErrCk67 d)21( 02rrCCrFm外外v剛體動(dòng)能改變剛體動(dòng)能改變 外力對(duì)質(zhì)心作的功外力對(duì)質(zhì)心作的功 外力矩對(duì)過質(zhì)心的基軸作的功外力矩對(duì)過質(zhì)心的基軸作的功 d)21( 02 軸軸外外軸軸CMJC質(zhì)心平動(dòng)能改變質(zhì)心平動(dòng)能改變 外力對(duì)質(zhì)心作的功：外力對(duì)質(zhì)心作的功：繞過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)能改變繞過質(zhì)心的基軸的轉(zhuǎn)動(dòng)能改變 外力矩對(duì)外力矩對(duì)過質(zhì)心的基軸作的功：

53、過質(zhì)心的基軸作的功：68解：解： 設(shè)摩擦力向右，設(shè)摩擦力向右，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：CmafF (1)【例例1】質(zhì)量質(zhì)量 m、半徑、半徑 R 的圓球的圓球 在水平力在水平力 F 作用下在水平面上作用下在水平面上 作純滾動(dòng)，作用點(diǎn)作純滾動(dòng)，作用點(diǎn) A 在接觸點(diǎn)在接觸點(diǎn) P 與質(zhì)心與質(zhì)心 C 的連線上，的連線上，AC = d。 CdFAPR求：求：接觸點(diǎn)接觸點(diǎn) P 處的靜摩擦力處的靜摩擦力 f 。設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎?，?duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎?，?duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：522 mRJfRFdC (2)純滾動(dòng)條件：純滾動(dòng)條件： RaC (3)f69 (1)(2)(3) 解出：解出：F

54、RRdf725 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， f 與與 F 同向；同向；Rd52 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， f = 0 ；Rd52 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， f 與與 F 反向。反向。Rd520755 , 07552mFRRdmFRRdaC 球沿順時(shí)針方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)、加速前進(jìn)。球沿順時(shí)針方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)、加速前進(jìn)。70【例例2】質(zhì)量均勻、半徑質(zhì)量均勻、半徑 R 的的 圓球在斜面上作純滾動(dòng)，圓球在斜面上作純滾動(dòng)，P 是是 瞬心，瞬心，C 是質(zhì)心。是質(zhì)心。 證明：證明：P 點(diǎn)相對(duì)水平面的加速度點(diǎn)相對(duì)水平面的加速度 沿沿 PC 連線方向。連線方向。Pa用相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系證明。用相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系證明。如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系 ，設(shè)圓球向下運(yùn)動(dòng)。

55、，設(shè)圓球向下運(yùn)動(dòng)。ntee ,teneCaCPR證：證：設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎?，不妨設(shè)角加速度設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎环猎O(shè)角加速度 0， 即圓球沿順時(shí)針方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)。即圓球沿順時(shí)針方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)。 71設(shè)設(shè) 是是 P 點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心 C 的加速度，的加速度，PattCCeReaa (2)CPPaaa (1)teneCaCPR 根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系有：根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系有：在質(zhì)心系，在質(zhì)心系，P 點(diǎn)瞬間隨球作沿順時(shí)針方向的點(diǎn)瞬間隨球作沿順時(shí)針方向的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以：加速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以： RaPtRaPn2 方向?yàn)榉较驗(yàn)閚e方向?yàn)榉较驗(yàn)閠etnPeReRa 2 (3)72由由 (1)(2)(3) 解出：解出：nPn

56、PeRaa2 沿沿 PC 連線方向。連線方向。PateneCaCPR Pa本題所證明的結(jié)論也適用于其它質(zhì)量分布本題所證明的結(jié)論也適用于其它質(zhì)量分布均勻的圓形物體。均勻的圓形物體。 73【例例3】 剛體撞擊問題，如打擊中心。剛體撞擊問題，如打擊中心。棒球手要做到輕松擊球，必須棒球手要做到輕松擊球，必須使球擊打合適位置，此位置稱使球擊打合適位置，此位置稱為打擊中心。為打擊中心。CrCr手手已知：已知：棒質(zhì)量棒質(zhì)量 m，對(duì)手的轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)手的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量慣量 J ，棒的質(zhì)心，棒的質(zhì)心 C 距距 離手離手 rC 。求：求：打擊中心到手的距離打擊中心到手的距離 r 。 74棒受力棒受力CrCr手手輕松擊球輕松

57、擊球分析：分析：擊球瞬間手的作用力擊球瞬間手的作用力 0棒繞手作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)棒繞手作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沖沖F沖沖F球的沖擊力球的沖擊力手手F手的作用力手的作用力手手F解法一解法一對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量定理、對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量定理、設(shè)：設(shè)： 打擊時(shí)間打擊時(shí)間 ，此時(shí)間內(nèi)：，此時(shí)間內(nèi)：t棒質(zhì)心的動(dòng)量改變?yōu)榘糍|(zhì)心的動(dòng)量改變?yōu)镃m v棒的角速度改變?yōu)榘舻慕撬俣雀淖優(yōu)?對(duì)手的角動(dòng)量定理對(duì)手的角動(dòng)量定理75對(duì)質(zhì)心：對(duì)質(zhì)心：CrCr手手沖沖F手手F正向正向?qū)κ郑簩?duì)手：CmtFFv)( 手手沖沖(1) CCr v(3) )(JtrF 沖沖(2) 動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理(1)(2)(3) 消去消去 量得：量得：沖沖手手FJmr

58、rFC)1( CmrJr 0手手F令令得打擊中心位置：得打擊中心位置：角量與線量關(guān)系：角量與線量關(guān)系：76對(duì)質(zhì)心：對(duì)質(zhì)心：CrCr手手沖沖F手手F正向正向由由 (14) 并令并令 得：得：CmrJr 0手手F解法二解法二對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量、角動(dòng)量定理對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量、角動(dòng)量定理2CCmrJJ(3) CmtFFv)( 手手沖沖(1) CCr v(4) )(CCCJtrFrrF手手沖沖(2) 角量與線量關(guān)系：角量與線量關(guān)系：77此法簡(jiǎn)單實(shí)用！此法簡(jiǎn)單實(shí)用！對(duì)質(zhì)心：對(duì)質(zhì)心：CrCr手手沖沖F手手F正向正向?qū)κ郑簩?duì)手：CmaFF手手沖沖(1) CCra(3) JrF沖沖(2) 解法三解法三質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、對(duì)手的轉(zhuǎn)

59、動(dòng)定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、對(duì)手的轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量與線量關(guān)系：角量與線量關(guān)系：由由 (13) 并令并令 得：得：CmrJr 0手手F78對(duì)質(zhì)心和過質(zhì)心的軸：對(duì)質(zhì)心和過質(zhì)心的軸：CrCr手手沖沖F手手F正向正向CmaFF手手沖沖(1) CCra(4) 解法四解法四質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量與線量關(guān)系：角量與線量關(guān)系： CCCJrFrrF手手沖沖)(2) 2CCmrJJ(3) 此法也不錯(cuò)。此法也不錯(cuò)。由由 (14) 并令并令 得：得：CmrJr 0手手F79【例例4】在固定斜面上的圓在固定斜面上的圓 柱體從靜止開始作純滾動(dòng)，柱體從靜止開始作純滾動(dòng)， 圓柱體質(zhì)量圓柱體質(zhì)量

60、m ，半徑，半徑 R ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J ，斜面傾角，斜面傾角 。求求（1）接觸點(diǎn)）接觸點(diǎn) O 是否存在摩擦力？若有，是否存在摩擦力？若有， 其作用是什么？做功否？其作用是什么？做功否？ （2）圓柱體下落高度）圓柱體下落高度 h 時(shí)，質(zhì)心時(shí)，質(zhì)心 C 的速的速 度度 ，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 ，摩擦力，摩擦力 f 分分 別是多少？別是多少？CvRCOCv80證：證：對(duì)面對(duì)面OfrfWdd COCv斜面參考系：不易判斷！斜面參考系：不易判斷?。?）討論摩擦力）討論摩擦力以質(zhì)心以質(zhì)心 C 為基點(diǎn)的參考系：為基點(diǎn)的參考系：圓柱體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，mgN重力、重力、斜面壓力力矩斜面壓