最值不等式題的求解通法

1、一類最值不等式問(wèn)題的求解通法羅增儒有一類最值不等式問(wèn)題，可以一般地表示為：求證：有的地方也將其表示為雙重最值的形式：這類問(wèn)題求解思路靈活，文1給出的多種解法主要涉及分類討論和反設(shè)歸謬，本文要提供的是一種直接求解的思路，只用到設(shè)元、消元運(yùn)算，且具有明顯的可操作性。方法的示例例1試證對(duì)任意的，有。分析：若將求證式左邊用字母x來(lái)表示，則問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為對(duì)比條件與結(jié)論的差異知（差異分析法），應(yīng)消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。怎樣消去a,b成為問(wèn)題的關(guān)鍵，此處用加減消元法，其加減運(yùn)算中的系數(shù)可用待定系數(shù)法來(lái)確定，由絕對(duì)值的定義，有引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為使其消去a,b，令方程組有無(wú)窮解，我們?nèi)∫粋€(gè)，?？砂炎?yōu)?/p>

2、相加。得。由這個(gè)分析過(guò)程我們還看到，因?yàn)榉匠探M有解a=0，。即a=0，b=時(shí)，。思路打通之后，求解過(guò)程的書(shū)寫(xiě)可以簡(jiǎn)化。證明：設(shè)，有，。2×，得，得。即。其中式的運(yùn)算背景是?？偨Y(jié)：由上面的分析和求解過(guò)程，可以得出這類問(wèn)題的可操作步驟，分三步說(shuō)明如下。第1步，設(shè)，得不等式組第2步，消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。第3步，解不等式得。其中第2步是關(guān)鍵，可以根據(jù)的結(jié)構(gòu)而采用加減消元法，代入消元法，乘除消元法，不等式放縮消元法等。例2已知銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足A>B>C。用表示AB，BC以及90°A中的最小者。則的最大值是_。分析：這個(gè)問(wèn)題可以改寫(xiě)為求首先，由為最小者有

3、引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為了能用到ABC=180°，從而消去A，B，C，可設(shè)，得取，從而。由有相加又當(dāng)中各式取等號(hào)時(shí)，有，得A=75°，B=60°，C=45°時(shí)，可取到最大值15°。解 由已知條件有又當(dāng)式取等號(hào)時(shí)，有90°A=AB=BC=15°，得A=75°，B=60°，C=45°時(shí)，可取到最大值15°。故填15°。說(shuō)明 此解法中的式正是式的簡(jiǎn)寫(xiě)，又由題目中已給出。，所以第1步中的設(shè)元也就省略了。2 方法的應(yīng)用例3 設(shè)，且，求。解 設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，可解得，故得。例4 若，求（1），

4、（2）。解 （1）設(shè)，有，（把，代入），有。當(dāng)，取等號(hào)時(shí)，可得且x取到最大值，故有。說(shuō)明 此題若對(duì)、用不等式處理，由，只能得出，得不出。若改為，也得出正確結(jié)論，但比上述代入消元使用的知識(shí)多了，運(yùn)用的技巧復(fù)雜了，這再次表明本文提供的方法，程序性與通用性都較好。（2）同理可得，時(shí)，有。練習(xí)設(shè)實(shí)數(shù)，記，則的最大值為 。一個(gè)無(wú)理不等式的再探究已知：，求證： 不等式的指數(shù)推廣：已知：， 求證： 不等式的下界估計(jì)：已知：，求證： 不等式的兩種推廣：推廣1：已知，且， 求證 證明：設(shè) 得，則有：于是，即： （*）注意到： ，有：，即： （*）將不等式（*）與（*）相加，立得.推廣2：已知：，且， 求證： 證

5、明：設(shè) 得，則有：于是：即： （*）注意到，應(yīng)用n元不等式，可得 , ,于是：即： （*）將不等式（*）與（*）相加，立得一組不等式競(jìng)賽題的深入思考問(wèn)題1-1（2003年聯(lián)賽第15題）：設(shè), 證明不等式探討此不等式的下界和上界，就可將其深化為：?jiǎn)栴}1-2：已知： 證明不等式：證明：先證右不等式，利用2元均值不等式，得再證左不等式所以：容易說(shuō)明，上述不等式中的等號(hào)是不能成立的.思考2：筆者曾為2007年陜西高中數(shù)學(xué)預(yù)賽命制了如下題目：?jiǎn)栴}2-1：已知，求證：如果將這個(gè)問(wèn)題深化為4個(gè)字母的情景，就有如下的問(wèn)題2-2：若，求證：證明：易證，函數(shù)在上是遞減函數(shù)，在上是遞增函數(shù)于是，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上的最

6、大值為，即有：（1）由，知，所以，對(duì)不等式（1），得，即：，同理：，將4個(gè)不等式疊加，得：分析得知，不等式取等號(hào)的條件是：，或者思考3：第十七屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二第2試的第3題為：?jiǎn)栴}3-1：設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為和，斜邊長(zhǎng)為，斜邊上的高為，則和的大小關(guān)系是（ ）A B C D不能確定從直角三角形，聯(lián)想到鈍角三角形，進(jìn)而得到：?jiǎn)栴}3-2：設(shè)的三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為、，且，邊上的高為，求證：思考4 2008西部數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，有這樣一道最值題目：設(shè)，且，求的最大值改寫(xiě)為不等式證明題，就得到問(wèn)題4-1：設(shè)，且，求證：.證明：將條件等式變形為，即：，應(yīng)用2元和3元均值不等

7、式，得即：，化簡(jiǎn)，便得 經(jīng)分析易知，當(dāng)時(shí)，如上的不等式取得等號(hào). 同樣的道理，從變量的個(gè)數(shù)方面加以深化，我們可以提出如下的類似：?jiǎn)栴}4-2：設(shè)，且，求證：.思考5 ：2006年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}5-1：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 不等式（1）的一種有趣的加強(qiáng)結(jié)果.問(wèn)題5-2：已知為正實(shí)數(shù)，求證：. （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 證明：若中，其值有為零的，不等式（2）顯然成立下面證明，當(dāng)三者都不為零的情景1）若三者里只有一個(gè)為正值，不妨設(shè)為這時(shí)，應(yīng)當(dāng)有，推出，顯然與條件相矛盾。從而說(shuō)明此種情況是不可能出現(xiàn)的2）若三者里有二個(gè)為正值，其另一個(gè)就是負(fù)值，此時(shí)，不等式（2

8、）顯然成立3）若三者均為正值，那么，就是某一的三邊長(zhǎng)。設(shè)其面積為，注意到三角形面積的海倫-秦九韶公式，當(dāng)中，.變形，得：.于是，所要證明的不等式（2）等價(jià)于：. （*）這個(gè)不等式的證明是很容易的，事實(shí)上，由三角形面積公式與正弦函數(shù)的有界性，得：容易得出，所證不等式中的等號(hào)成立的充要條件是：綜合以上，便知不等式（2）得證從不等式（2）出發(fā)，容易得到如下的問(wèn)題5-3：已知為正實(shí)數(shù)，并記，求證： （3）思考6江西宋慶中等數(shù)學(xué)08年3期里，提出的問(wèn)題是：?jiǎn)栴}6-1：已知是滿足的正數(shù)，求證： （1）通過(guò)思考與探究，建立不等式（1）的一個(gè)有趣的類似：?jiǎn)栴}6-2：已知是滿足的正數(shù)，求證： （2）證明：因?yàn)樗?/p>

9、以要證不等式（2），只要證明如下不不等式 （*）令則正數(shù)，于是不等式（*）等價(jià)于，也就是，即：，注意到，并應(yīng)用3元均值不等式，得故 得證思考7 2004年美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}7-1：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有 通過(guò)思考，給出了一個(gè)類似的題目：?jiǎn)栴}7-2：設(shè)，求證：. 證明：因?yàn)樗裕和?，再得二式，三式疊乘，得 于是，只要證明如下不等式就行了事實(shí)上，由均值不等式，得 (*)由柯西不等式，得即： (*)于是，由不等式（*）和（*），便得 得證思考8 2002年越南競(jìng)賽試題：?jiǎn)栴}8-1：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求證：見(jiàn)到的是三角換元證法，這里提供一種直接的代數(shù)證法證明：不妨設(shè)則有 由柯西不等式，得設(shè)，則. 于是，

10、只要證明：事實(shí)上 容易推出，所證不等式取得等號(hào)的條件是：為經(jīng)過(guò)深入思考，可以類似證明該不等式的一個(gè)深化：?jiǎn)栴}8-2：設(shè)是實(shí)數(shù)，且滿足，求證：幾個(gè)不等式的共同背景幾個(gè)不等式的一個(gè)共同背景：，背景證明：（1983年瑞士數(shù)學(xué)奧林匹克）例1：在中，求證：. 證明：，同理， ，三式相乘即得原不等式.原型使用例2：設(shè)為三角形三邊長(zhǎng)，求證.證明：由三元均值不等式及例1， .例3：在中，求證：. 證明：由均值不等式及例1， .例4：在中，求證：. 證明：由均值不等式及例1， .代換變形例5已知都是正數(shù)，求證：. 例6：（IMO41試題）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. 證明：令，其中，則. 不妨設(shè)，則，若，則式顯然成立；若，則由例1，式也成立；故原不等式得證.例7：設(shè)，且，證明：. 證明：對(duì)上例作變換，即得.例8：銳角中，求證：. 證明：在中有恒等式，同理，令，即. 展開(kāi)變形例9：（1964年IMO-6試題）設(shè)為三邊，證明：. 證明：兩邊之和大于第三邊.例10：（1992年加拿大競(jìng)賽題）設(shè)，證明：