數(shù)字信號處理離散傅里葉變換的性質(zhì)PPT課件

1、2021-11-2611、線性：, a b為任意常數(shù)這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補零使兩序列長度相等，均為N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk則第1頁/共46頁2021-11-2622、序列的圓周移位( )()( )mNNxnx nmRn 定義：( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm第2頁/共46頁2021-11-263第3頁/共46頁2021-11-264有限長序列的圓周移位導(dǎo)

2、致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn證： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX k第4頁/共46頁2021-11-265調(diào)制特性：時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk證：()( )NIDFS X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x

3、 n RnW x n第5頁/共46頁2021-11-26621( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()( )2NNNIDFTXklXklRkj證：1( )( )2nlnlNNWx nW x nj22( )2jnljnlNNeex nj2( )sinnlx nN第6頁/共46頁2021-11-2673、共軛對稱性序列的Fourier變換的對稱性質(zhì)中提到：( )( )( )eox nx nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox

4、 nxnx nxn 其中：任意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n第7頁/共46頁2021-11-268*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn第8頁/共46頁2021-11-269其中：*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共軛反對稱分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共軛對稱分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：第9頁/共46頁2021-11-2610定義：( )(

5、 )( )epopx nxnxn則任意有限長序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圓周共軛反對稱序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圓周共軛對稱序列：第10頁/共46頁2021-11-2611圓周共軛對稱序列滿足：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn實部圓周偶對稱 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虛部圓周奇對稱 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圓周偶對稱arg( )arg()(

6、 )epepNNxnxNnRn 幅角圓周奇對稱 第11頁/共46頁2021-11-2612第12頁/共46頁2021-11-2613第13頁/共46頁2021-11-2614圓周共軛反對稱序列滿足：*( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 實部圓周奇對稱 Im( )Im()( )opopNNxnxNnRn虛部圓周偶對稱 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圓周偶對稱 幅角沒有對稱性第14頁/共46頁2021-11-2615*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )(

7、)epopX kXkXk同理：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中：第15頁/共46頁2021-11-2616 序列 DFT共軛對稱性( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第16頁/共46頁2021-11-2617 序列 DFT實數(shù)序列的共軛對稱性Re ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第17頁/共46頁2021-11-2

8、618純虛序列的共軛對稱性 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第18頁/共46頁2021-11-2619 例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT: 11 ( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用兩序列構(gòu)成一個復(fù)序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )(

9、)X kjXk第19頁/共46頁2021-11-26201( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj第20頁/共46頁2021-11-2621( )2DFT ( )2DFT: ( )x nNNx nNX k例：設(shè)是點實數(shù)序列，試用一次 點來計算的點( )x n解：將按奇偶分組，令12( )(2 ) 0,1,.,1( )(21) 0

10、,1,.,1x nxnnNx nxnnN12 ( )( )( )w nx njx n構(gòu)成一個復(fù)序列12( )DFT( ) ( )( )( )w nNW kDFT w nX kjXk對進行一次 點運算 得12( )( )1( )( )epopX kWkXkWkjDFTN均為 點( )2DFTX kN而是點?第21頁/共46頁2021-11-26224、復(fù)共軛序列*( )()( )()( )NNNNDFT x nXkRkXNkRk1*0( )( )( )NnkNNnDFT x nx n WRk證：*10( )( )NnkNNnx n WRk*()( )NNXkRk*1()0( )( )NN k n

11、NNnx n WRk*()( )NNXNkRk第22頁/共46頁2021-11-2623 *NNDFT xnRnXk1*0()( )()( )NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W證：*10()NnkNNnxnW*10( )NmkNNmx mW *10NnkNNnxnW*( )Xkmn 令 *10NnkNnx n W第23頁/共46頁2021-11-26245、DFT形式下的Parseval定理11*001( )( )( )( )NNnkx n y nX k YkN*111*0001( )( )( )( )NNNnkNnnkx n y nx nY k WN證： 11*001( )( )

12、NNnkNknYkx n WN1*01( )( )NkX k YkN第24頁/共46頁2021-11-262511*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k XkN1122001( )( )NNnkx nX kN即： ( )( )y nx n令，則第25頁/共46頁2021-11-26266、圓周卷積和1210( ) () ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk若1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn則12( )( )x nx nN設(shè)和都是點數(shù)為 的有限長序列1212max(,)NNNN NN（

13、若不等，分別為、點，則取，對序列補零使其為 點）11 ( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk第26頁/共46頁2021-11-262712( )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k證：由周期卷積和，若， 則 1120( )()Nmx m x nm1120( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm第27頁/共46頁2021-11-2628圓周卷積過程：1）補零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加12( )(

14、)x nx nN1120( )( )() ( )NNNmy nx m xnmRn1210( ) () ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圓周卷積和第28頁/共46頁2021-11-2629第29頁/共46頁2021-11-26301524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求兩個序列的6點圓周卷積和。-3 -2 -10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1

15、 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1n m1/x n m2/xn m 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14 10 6 ( )y n第30頁/共46頁2021-11-2631第31頁/共46頁2021-11-2632同樣，利用對稱性11201( )() ( )NNNlX l XklRkN12101( )() ( )NNNlXl XklRkN12( )( )( )y nx nx n若10( ) ( )( )NnkNnY kDFT y ny n W則第32頁/共46頁2021-11-26

16、337、有限長序列的線性卷積與圓周卷積1122( )01 ( )01x nnNx nnN設(shè)：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()( )*( )Nmx m x nmx nx n線性卷積：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN點圓周卷積：NN第33頁/共46頁2021-11-2634討論圓周卷積和線性卷積之間的關(guān)系：1120( )()( )NNmrx mx nrNm

17、 Rn1120( )()( )NNrmx m x nrNm Rn()( )lNry nrN Rn對x1(n)和x2(n)補零，使其長度均為N點；222( )( )()Nrx nxnx nrN對x2(n)周期延拓：1120( )( )() ( )NcNNmy nx m xnmRn圓周卷積：第34頁/共46頁2021-11-2635121NNNN即 當(dāng)圓周卷積長度時， 點圓周卷積能代表線性卷積12( )1ly nNN而的長度為( )( )NclNy ny n點圓周卷積是線性卷積以 為周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有當(dāng)時，以 為周期進行周期延拓才無混疊現(xiàn)象N1212(

18、 ) ( )( )*( )x nx nx nx n1212102NNNnNN第35頁/共46頁2021-11-2636第36頁/共46頁2021-11-2637第37頁/共46頁2021-11-2638小結(jié)：線性卷積求解方法 時域直接求解 ( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm補N-N1個零x(n)N點DFT補N-N2個零h(n)N點DFTN點IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT Y zIZT X zH zz z( ) ( )( ) ( )X zZT x nH zZT h nz變換法DFT法第38頁/共46頁2021-11

19、-26398、線性相關(guān)與圓周相關(guān)*( )( )()xynrmx n y nm*()( )nx nm y n線性相關(guān)：*( )( )()xxnrmx n x nm*()( )()xxnx nm x nrm自相關(guān)函數(shù)：第39頁/共46頁2021-11-2640*( )( )()xyyxxyrmrmrm相關(guān)函數(shù)不滿足交換率：*( )( )()yxnrmy n x nm*( ) ()kx k y km*( ) ()kx k y km *( )()kx k y km *()xyrm*( )( )()xynrmx n y nm第40頁/共46頁2021-11-2641相關(guān)函數(shù)的z變換：*1( )( )()xyRzX z Yz( )( )mxyxymRzrm z