中考考點(diǎn)_二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總?cè)Y料全

1、容：1、一元一次函數(shù)；2、一元二次函數(shù)；3、反比例函數(shù)二次函數(shù)知識點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：一、二次函數(shù)概念：2b， c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax bxc（a，c里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0，而b，可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2y ax bxc的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次2. 二次函數(shù)b， c數(shù)是 2a，是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式：二、二次函數(shù)的基本形式：21. 二次函數(shù)基本形式：二次函數(shù)y ax bxc用配方法可化成：y ax h k的

2、形式，其中2b4 ac b2h ， k 2 a4 a.2.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：222y axy ax ky ax bx cy a x hy a x h k；22三、二次函數(shù)的性質(zhì)：三、二次函數(shù)的性質(zhì)：2y ax1、的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)00，a 0向上y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y有最小值0 x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨a 0向下00，y軸x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值02y ax c的性質(zhì)：上加下減。2.a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)c0，a

3、0向上y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值c- 1 - / 18a 0向下c0，y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c3.y axh2的性質(zhì)：左加右減。開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨a的符號a 0向上0h，x=hx的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值0 x h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨a 0向下0h，x=hx的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值04.y axhk2的性質(zhì)：開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨a的符號a

4、0向上h， kx=hx的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值kx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨a 0向下h， kx=hx的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k5.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a一樣，那么拋物線的開口方向、開口大小完全一樣，只是頂點(diǎn)的位置不同.6.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法b 4acb2b 4acb2by ax bxc ax （，）x4a，頂點(diǎn)是2a2a.2a4a(1)公式法：，對稱軸是直線22(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為 (h,k)，對稱軸是2x h.(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為

5、軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).四、二次函數(shù)圖象的平移：四、二次函數(shù)圖象的平移：- 2 - / 181. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 保持拋物線y ax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到2y axhk2，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h， k；h， k處，具體平移方法如下：y=ax2+ky=ax2向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k2. 平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”

6、 y方法二：y ax bx c沿軸平移:向上（下）平移m個(gè)單位，y ax bx c變成22y ax2bx c m（或y ax2bx c m）22y ax bx cy ax bx c變 成m沿 軸 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移個(gè) 單 位 ，y a(x m)2b(x m)c（或y a(x m)2b(x m)c）五、二次函數(shù)五、二次函數(shù)y axhk222與與y ax bxc的比較的比較2y ax bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，與從解析式上看，2y axhkb 4acb2b4acb2y axh ， k 2a4a2a4a即，其中六、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系六、

7、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1.二次項(xiàng)系數(shù)a2y ax bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 0二次函數(shù) 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大； 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小b決定了拋物線的對稱軸2. 一次項(xiàng)系數(shù)b： 在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下， 在a 0的前提下， 當(dāng)b 0- 3 - / 18bb00時(shí)，2a，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)b 0時(shí)，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)b 0b0時(shí)，2a，即拋物線對稱軸在

8、y軸的右側(cè)b0 在a 0的前提下， 結(jié)論剛好與上述相反， 即當(dāng)b 0時(shí)，2a， 即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)； 當(dāng)b 0bb00時(shí)，2a，即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)b 0時(shí)，2a，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置（3）ab的符號的判定：對稱軸“左同右異”x b2a在y軸左邊則ab 0，在y軸的右側(cè)則ab 0，概括的說就是3. 常數(shù)項(xiàng)c： 當(dāng)c 0時(shí)， 拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方， 即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸

9、交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位b， c置總之，只要總之，只要a，都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)一樣的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式七、二次函數(shù)圖象的對稱七、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)22 1. 關(guān)于x軸對稱：y ax bxc關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y a

10、x bxc；y axhk2y axhk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是；222y ax bxcy ax bxc；yy2. 關(guān)于軸對稱：關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是y axhk2y axhk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是；2223. 關(guān)于原點(diǎn)對稱：y ax bxc關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y ax bxc；y axhk2關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y axhk2；2y ax bxc關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180） ：b222y ax bxcy a xhky a xhk2a；關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是2- 4 - / 18 5.關(guān) 于 點(diǎn)m，

11、 n2對 稱 ：y axhk2關(guān) 于 點(diǎn)m， n對 稱 后 ， 得 到 的 解 析 式 是y axh2m2nk根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式八、二次函數(shù)與一元二次方程：八、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況） ：22y ax bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況.ax bx c 0一

12、元二次方程是二次函數(shù)2a x ， 0 ，bx2， 0(x1 x2)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng) b 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)1，其ax2bxc 0a 0 x ，x12中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離b24acab x2 x1a. 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 0；2當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 02y ax bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；2. 拋物線3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

13、 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；2 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax bx c中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱， 可利用這一性質(zhì)， 求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)， 或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).2ax bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式， 二次三項(xiàng)式面以a 0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的在聯(lián)系 0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與x軸只 0二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有

14、兩個(gè)不相等實(shí)根二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無交點(diǎn)- 5 - / 18九、函數(shù)的應(yīng)用九、函數(shù)的應(yīng)用剎車距離何時(shí)獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1、考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：22y (m2)x m m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則m的值是（）x已知以為自變量的二次函數(shù)。2、綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限，那么

15、函數(shù)y kx2bx 1的圖像大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d3、考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性x 的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為53，求這條拋物線的解析式。4、考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：2y ax bx c（a0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3已知拋物線2（1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5考查代數(shù)與幾何的綜

16、合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。例題經(jīng)典由拋物線的位置確定系數(shù)的符號cm(b,)2y ax bx ca在（）例 1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖 1，則點(diǎn) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限（2）已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖 2 所示，則下列結(jié)論：a、b 同號；當(dāng) x=1 和x=3 時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng) y=-2 時(shí)，x 的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）a1 個(gè) b2 個(gè) c3 個(gè) d4 個(gè) (1) (2)點(diǎn)評弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c 之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵- 6 - / 18例 2.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x

17、軸交于點(diǎn)(-2，o)、(x1，0)，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(o， 2)的下方 下列結(jié)論： abo； 4a+co， 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) a 1 個(gè) b. 2 個(gè) c. 3 個(gè) d4 個(gè)答案：d會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3.已知：關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一個(gè)根為 x=-2，且二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線 x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d(3，2)答案：cb(x2,0)兩點(diǎn)(x1 x2)，例 4.已知： 二次函數(shù) y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)p(4， 10

18、)， 交 x 軸于a(x1,0)，交 y 軸負(fù)半軸于 c 點(diǎn)，且滿足 3ao=ob(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) m，使銳角mcoaco?若存在，請你求出m 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值圍；若不存在，請你說明理由(1)解：如圖拋物線交x 軸于點(diǎn) a(x1，0)，b(x2，o)，則 x1x2=30，又x1o，x1o，30a=ob，x2=-3x1x1x2=-3x12=-3x12=1. x10，x1=-1x2=3點(diǎn) a(-1，o)，p(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6(2)存在點(diǎn) m 使mc0aco(2)解：點(diǎn) a 關(guān)于 y 軸的對稱

19、點(diǎn) a(1，o)，直線 a，c 解析式為 y=6x-6 直線 ac 與拋物線交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)符合題意的 x 的圍為-1x0 或 ox5當(dāng)點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)滿足-1xo 或 oxaco例 5、 某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）123500y（件）221500若日銷售量 y 是銷售價(jià) x 的一次函數(shù)（1）求出日銷售量 y（件）與銷售價(jià) x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？15k b 25,2k b 20解得 k=-1，b=40，即一次函

20、數(shù)表達(dá)式 解析（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b則為 y=-x+40（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x 元，所獲銷售利潤為w 元：w=（x-10） （40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25 元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225 元二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失2y ax bx c中，a,b,c的作用9.拋物線(1)a決定開口方向與開口大小，這與y ax中的a完全一樣.- 7 - / 182(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax bxc的對稱軸是直線b 0時(shí)，對稱軸為yb 0a軸

21、；(即a、b同號)時(shí),對稱軸在2x b2a,故：y軸左側(cè)；b 0a(即a、b異號)時(shí),對稱軸在y軸右側(cè).2y ax bx c與y軸交點(diǎn)的位置.c(3)的大小決定拋物線2y cy ax bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c)：x 0當(dāng)時(shí)，拋物線c 0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸.b 0ya以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)y ax2y ax2 ky ax h2x 0(y軸)當(dāng)a 0時(shí)開口向上當(dāng)a 0時(shí)開口向

22、下x 0(y軸)x hx hbx 2ay ax h k2y ax bx c11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式2b4ac b2，4a)(2a2y ax bx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值，通常選擇一般式. (1)一般式： (2)頂點(diǎn)式：y ax h k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.2 (3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：y ax x1x x2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)2y ax bx c得交點(diǎn)為(0 , c)y (1)軸與拋物線22y ax bx cyx hhah bh c). (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,2y ax bx c

23、的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)x (3)拋物線與軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)2ax bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根一元二次方程的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn) 0拋物線與- 8 - / 18x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上) 0拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn) 0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，2兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2y kxn k 0y ax bx ca 0的圖像g的交點(diǎn)，由方程組l(5)一次函數(shù)的

24、圖像 與二次函數(shù)y kx n2y ax bx c的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn);方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)l與g沒有交點(diǎn).20，bx2， 0，由于y ax bx c與x軸兩交點(diǎn)為ax1，x(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線bcx x ,x x 12x1、x2是方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根，故12aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa213二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：22y ax bx cy ax bx c當(dāng)函數(shù) y 的值為 0 時(shí)的情況(1)一元二次方程就是二次函數(shù)2y ax bx c的圖

25、象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)(2)二次函數(shù)2y ax bx c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)， 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y 0時(shí)自變量x的值， 即一元二二次函數(shù)次方程ax bxc 0的根22y ax bx cy ax bx c有兩個(gè)不x(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程2y ax bx c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)2ax2bxc 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y ax bx c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二2次方程ax bxc 0沒有實(shí)數(shù)根14.二次函數(shù)的應(yīng)用：(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是

26、求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最大(小)值15.解決實(shí)際問題時(shí)的基本思路：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它2- 9 - / 18們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等黃岡中學(xué)“沒有學(xué)不好滴數(shù)學(xué)”系列之十二二次函數(shù)知識點(diǎn)詳解（最新原創(chuàng)助記口訣）知識點(diǎn)四，正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、一般地，如果y kx b（k，b 是常數(shù)，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)y kx b中

27、的 b 為 0 時(shí)，y kx（k 為常數(shù)，k0） 。這時(shí)，y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)y kx b的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0，b）的直線；正比例函數(shù)y kx的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）的直線。k 的符號b 的符號函數(shù)圖像 y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x- 10 - / 18圖像特征b0圖像經(jīng)過一、二、三象限，y 隨 x 的增大而增大。k0b0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y 隨 x的增大而減小k0b0 時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；（2）當(dāng) k0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大

28、（2）當(dāng) k0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng) kx（k0）中的常數(shù) k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng) kx b（k0）中的常數(shù) k 和 b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法知識點(diǎn)五、反比例函數(shù)y 1、反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)kx（k 是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式1y kx也可以寫成的形式。自變量 x 的取值圍是 x0 的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值圍也是一切非零實(shí)數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)

29、于原點(diǎn)對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x 軸、y 軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例函數(shù)的性質(zhì)反 比 例函數(shù)y k(k 0)xk0 y o xx 的取值圍是 x0，圖像性質(zhì) y 的取值圍是 y0；當(dāng) k0 時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限，y隨 x 的增大而減小。 y 的取值圍是 y0；當(dāng) k0a0 y 0 x（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸； y圖像 0 x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；bbbb（2）對稱軸是x=2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2a，2a2a（2）對稱軸是 x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，4ac b4a

30、） ；24ac b24a） ；bb性質(zhì)（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x2a時(shí)，y 隨2a（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x2a時(shí)，y 隨 x 的增大而增大，簡記左減右增；xb2a時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，簡記左增右減；b（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) x=2a時(shí)，y 有最小b（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) x=2a時(shí)，y 有最- 13 - / 18值，y最小值4ac b24a大值，y最大值4ac b24a2y ax bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0)中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a0 時(shí)，2、二次函數(shù)b拋物線開口向上；a0 時(shí)，圖像與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0 時(shí)，圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0)【

31、或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3 分，但掌握這個(gè)知識點(diǎn)，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）特別記憶-同左上加異右下減 (必須理解記憶)說明 函數(shù)中 ab 值同號，圖像頂點(diǎn)在 y 軸左側(cè)同左，a b 值異號，圖像頂點(diǎn)必在y 軸右側(cè)異右向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減。- 14 - / 18k tan直線斜率：y2 y1x2 x1 b 為直線在 y

32、 軸上的截距 4、直線方程：兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的y y1 kxb (tan)xb y2 y1x(x x1)x2 x1此公式有多種變形直線的兩點(diǎn)式方程， 簡稱兩式:牢記；點(diǎn)斜；斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)xy1yabx截距由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：5、設(shè)兩條直線分別為，l1：y k1x b1l2：y k2x b2若l1/ l2，則有l(wèi)1/l2 k1 k2且b1 b2。若l1 l2 k1 k2 1，點(diǎn) p（x0，y0）到直線 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離 :d kx0 y0bk2 (1)2kx0 y0bk212y ax bx

33、 c中， a b c,的作用拋物線（1）a決定開口方向與開口大小，這與y ax中的a完全一樣.2y ax bx c的對稱軸是直線ba（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線2x bbb 0 0yyb 0b2a，故：時(shí)，對稱軸為軸；a（即a、同號）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；a（即a、b異號）時(shí)，對稱軸在y軸右側(cè).口訣 - 同左異右2y ax bx c與y軸交點(diǎn)的位置.c（3）的大小決定拋物線2y cy ax bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）x 0當(dāng)時(shí)，拋物線： c 0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，b 0y仍成立.如拋

34、物線的對稱軸在軸右側(cè)，則a.十一、初中數(shù)學(xué)助記口訣(函數(shù)部分)特殊點(diǎn)坐標(biāo)特征:坐標(biāo)平面點(diǎn)(x,y),橫在前來縱在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個(gè)象限分前后；x 軸上 y 為 0,x 為 0 在 y 軸。對稱點(diǎn)坐標(biāo):對稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆， x 軸對稱 y 相反,y 軸對稱,x 前面添負(fù)號； 原點(diǎn)對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。自變量的取值圍：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；零次冪底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。函數(shù)圖像的移動規(guī)律:若把一次函數(shù)解析式寫成 y=k（x+0）+b、二次函數(shù)的解析式寫成 y=a（x+h）2+k 的- 15 - / 18形式，則用下面后的

35、口訣“左右平移在括號,上下平移在末稍,同左上加 異右下減一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù) k 與 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夾角,b 與 y 軸來相見,k 為正來右上斜,x 增減 y 增減；k 為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k 的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由 a 斷,c 與 y 軸來相見,b 的符號較特別，符號與a 相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見， y 軸作為參考線，左同右異中為 0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就

36、現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點(diǎn),雙曲線相背離的遠(yuǎn);k 為正,圖在一、三(象)限,k 為負(fù),圖在二、四(象)限;圖在一、三函數(shù)減,兩個(gè)分支分別減。圖在二、四正相反,兩個(gè)分支分別添;線越長越近軸,永遠(yuǎn)與軸不沾邊。正比例函數(shù)是直線，圖象一定過圓點(diǎn)，k 的正負(fù)是關(guān)鍵，決定直線的象限，負(fù) k 經(jīng)過二四限，x 增大 y 在減，上下平移 k 不變，由引得到一次線，向上加b 向下減，圖象經(jīng)過三個(gè)限，兩點(diǎn)決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵。反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k 落在一三限，x 增大 y 在減，圖

37、象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對稱軸是角分線 x、y 的順序可交換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a 的正負(fù)開口判，c 的大小 y 軸看，的符號最簡便，x 軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b 同號軸左邊拋物線平移a 不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。1對稱點(diǎn)坐標(biāo):對稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，x 軸對稱 y 相反, y 軸對稱,x 前面添負(fù)號；原點(diǎn)對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。22關(guān)于x軸對稱y ax bxc關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y ax bxc；y axhk2y axhk關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是；222y ax bxcy ax bxc；yy關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得

38、到的解析式是y axhk關(guān)于原點(diǎn)對稱2y axhk關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是；2y ax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y ax2bxc；y axhk關(guān)于頂點(diǎn)對稱2關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y axhk2b2y ax bxcy ax2bxc關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是2a；2y axhk關(guān)于點(diǎn)m， n2關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y axhk2對稱- 16 - / 18y axhk2m， ny axh2m關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是22nka根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)

39、算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式口訣- - y 反對 x，x 反對 y，都反對原點(diǎn)2自變量的取值圍：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；零次冪底數(shù)不為零，函數(shù)圖像的移動規(guī)律:若把一次函數(shù)解析式寫成y=k（x+0）+b，二次函數(shù)的解析式寫成 y=a（x+h）2+k 的形式，則用下面后的口訣：“左右平移在括號,上下平移在末稍,左正右負(fù)須牢記,上正下負(fù)錯(cuò)不了”。一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù) k 與 b,作

40、用之大莫小看，k 是斜率定夾角,b 與 y 軸來相見,k 為正來右上斜,x 增減 y 增減；k 為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k 的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象限；開口、 大小由 a 斷,c 與 y 軸來相見,b 的符號較特別， 符號與 a 相關(guān)聯(lián)； 頂點(diǎn)位置先找見， y 軸作為參考線，左同右異中為 0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置, 符號反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點(diǎn),雙曲線相背離的遠(yuǎn);k

41、 為正,圖在一、三(象)限；k 為負(fù),圖在二、四(象)限;圖在一、 三函數(shù)減,兩個(gè)分支分別減； 圖在二、 四正相反,兩個(gè)分支分別添;線越長越近軸,永遠(yuǎn)與軸不沾邊。函數(shù)學(xué)習(xí)口決：正比例函數(shù)是直線，圖象一定過原點(diǎn)，k 的正負(fù)是關(guān)鍵，決定直線的象限，負(fù) k 經(jīng)過二四限，x 增大 y 在減，上下平移 k 不變，由引得到一次線，向上加b 向下減，圖象經(jīng)過三個(gè)限，兩點(diǎn)決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵；反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k 落在一三限，x 增大 y 在減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對稱軸是角分線 x、y 的順序可交換；二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a 的正負(fù)開口判，c 的大小 y 軸看，的符號最簡便，x 軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b 同號軸左邊拋物線平移a 不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。求定義域：求定義域有講究，四項(xiàng)原則須留意。負(fù)數(shù)不能開平方，分母為零無意義。指是分?jǐn)?shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次冪。限制條件不唯一，滿足多個(gè)不等式。求定義域要過關(guān)，四項(xiàng)原則須注意。負(fù)數(shù)不能開平方，分母為零無意義。分?jǐn)?shù)指數(shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次冪。限制條件不唯一，不等式組求解集。解一元