湖南省特崗教師公開(kāi)招聘考試小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)考試考點(diǎn)背誦資料

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載2015年湖南省特崗教師公開(kāi)招聘考試(小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí))所有基礎(chǔ)公式系統(tǒng)復(fù)習(xí)背誦1.集合一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集，其 中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱(chēng)元。元素與集合的關(guān)系：元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。并集:以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱(chēng)為A與B的并(集)，記作AU B(或BUA),讀作 “A 并 B” (或 “B 并 A”)，即 AU B=x|x C A,或 x C B。交集:以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱(chēng)為 A與B的交(集)，記作AAB (或BA A , 讀作 “A 交 B” (或 “B 交 A”)

2、，即 AH B=x|x C A,且 x C B。集合的運(yùn)算：集合交換律：An B=m A, AU B=BU A。集合結(jié)合律：(A n B) n C=AQ (B n C), (A U B) U C=AU (B U C)。集合分配律：An (BUC)=(AAB)U(AnC),AU (B n C)=(A U B) n (A U C)。集合德.摩根律：Cu(An B)=CuAJ CuR Cu(AUB尸CuAH CuB背誦2.方程組1 .方程組的有關(guān)概念方程組的定義：由幾個(gè)方程組成的一組方程，叫做方程組。方程組的解：方程組里各個(gè)方程的公共解叫做方程組的解。解方程組：求方程組解的過(guò)程叫做解方程組。2 .二

3、元一次方程組及其解法二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有的未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是一，這樣的方程叫做二 元一次方程。二元一次方程組：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，組成的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的解法：代入消元法，加減消元法。3 .三元一次方程組及其解法三元一次方程：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一，這樣的方程叫做三元en 一次方程。三元一次方程組：含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一，并且一共有三個(gè)方程，這樣的方程組叫做三元一次方程組。三元一次方程組的解法：代入消元法，加減消元法。即通過(guò)代入消元法或加減消元法消去同 一個(gè)未知數(shù)得到二元

4、一次方程組，解這個(gè)二元一次方程組求出兩個(gè)未知數(shù)的值，然后再求第三個(gè)未知數(shù)的值。背誦3.簡(jiǎn)易邏輯可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題?！盎颉薄ⅰ扒摇?、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題。由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。四種命題的形式：原命題：若P則q；逆命題：若q則p；否命題：若口 P則口 q;逆否命題：若r q則r p。四種命題之間的相互關(guān)系：一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題U逆否命題)(1)原命題為真，它的逆命題不一定為真。(2)原命題為真，它的否命題不一定為真。(3)原命題為真，它的逆否命題一定為真。背誦4.不等式

5、1 .不等式的性質(zhì)(1)同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若 a> b,c >d ,則a + c>b + d (若 a >b,c<d ,則a-c Abd ),但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不a b能相乘：右 abA0,c>dA0,則 acbd (右 abA0,0<c<d,則一 下一)；c d(3)左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方：若a > b > 0 ,則an a bn或na > n/b ；11_.11(4)右 ab>

6、0, a>b,則一<一；右 ab<0, ab,則一下一。 a ba b2.不等式的解法解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過(guò)程中應(yīng)使每一步的變形都要 恒等。(1) 一元二次不等式的解法：求一般的一元二次不等式ax2+bx+ c>0或ax2 +bx + c < 0 (a > 0)的解集，要結(jié)合22ax +bx + c= 0的根及二次函數(shù)y=ax + bx+圖象確定解集。對(duì)于一兀二次萬(wàn)程22ax十b# 圖0( a>0)iA=b 4c，它的解按照A >0, A = 0, <0可分為三種情況.(2)分式不等式的解法：分式不等式的一般

7、解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但 分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。(3)絕對(duì)值不等式的解法：分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)；利用絕對(duì)值的定義；數(shù)形結(jié)合。(4)指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法：f(x) 0當(dāng) a >1 時(shí)，af(x) >ag(x)= f(x)>g(x)； loga f (x) > loga g(x)t=： g(x)>0。f(x) g(x)f(x) 0當(dāng)0 <a <1 時(shí)，af(x) >ag(x) u f(x)<g(

8、x)； log a f (x) > log a g(x)=g(x)0.f(x):二 g(x)背誦5.函數(shù)的性質(zhì)1 .單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮 ,如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)x1,x2 ,當(dāng)X <x2時(shí)，都有f(x1)<f (x2),則稱(chēng)f (x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量 x1,x2。當(dāng)x1 <x2時(shí)，都有f (x1) > f (x2),則稱(chēng)f (x)在這個(gè) 區(qū)間上是減函數(shù)。2 .奇偶性定義：(1)偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x ,都有f(x) = f (x),那么f(x)

9、就叫做偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù) f (x)的定義域的任意一個(gè) x,都有f(-x) = -f(x),那么f(x)就叫做 奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性一致。背誦6.二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax 2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線(xiàn)。a, b, c為常數(shù)，aw。，且 a決定函數(shù)的開(kāi)口方向。 a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上； a<0時(shí)， 開(kāi)口方向向下。 a的絕對(duì)值可以決定開(kāi)口大小。a的絕對(duì)值越大

10、開(kāi)口就越小，a的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大。背誦7.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=ax (a>0且wi) (x C R)。y=ax (a>1) 定義域：R 值域：(0, +00 );過(guò)定點(diǎn)(0, 1);當(dāng) x>0 時(shí)，y>1; x<0 時(shí)，0<y<1 ;在(-, +oo)上是增函數(shù)；y=ax (0<a<1) 定義域：R;值域：(0, +如0;過(guò)定點(diǎn)(0, 1);當(dāng) x>0 時(shí)，0<y<1; x<0 時(shí)，y>1 ;在(-°° , +°° )上是減函數(shù)。背誦8.對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，

11、函數(shù)y= log aX,(其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。函數(shù)y= log aX,當(dāng)a > 1時(shí)，定義域?yàn)?0,+ 叼，值域?yàn)閞,非奇非偶函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(1,0),在(0,+ 8)上是增函數(shù)；函數(shù)y= log aX,當(dāng)0 V a < 1時(shí)，定義域?yàn)?0,+ °°)，值域?yàn)镽,非奇非偶函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(1,0),在(0 ,+8)上是減函數(shù)。性質(zhì)：如果 2>0且2金1, M> 0, N> 0,那么：loga MN =loga M log a NMloga N =logaM -loga Nloga M n = n log a M (n

12、 R)換底公式：loga N = logm N ( a > 0 , a= 1 ； m>0,m#1)logma對(duì)數(shù)恒等式：alogaN =n背誦9.三角函數(shù)1.設(shè)離記作ra(r是一個(gè)任意角，在=+ y? >o）,a終邊上除原點(diǎn)外任意取一點(diǎn)列出六個(gè)比值：P （x, y）, P與原點(diǎn)。之間的距y =sinra（正弦）x=cos a (余弦) r=tan a (正切) xr一 =cscya（余割）=sec a (正割) x=cot a (余切) y2.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域f (x) =sin x權(quán)|x三Rf (x) =cosx(x | x r)f (x) =tan xx |

13、 x w R且 x/kngn,kWZf (x) =cot xlx | x FRMx 豐 ku, k W Z )f (x) =secxwx | x W RJeL x # kn J n, k W Z1 2 ,f (x) =cscxtx | x w FRMx 手 ku, k w Z )3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin '. cost=tan 二.1 coot ：.cos.-：;sintan 二 cot : -1 csc 工 sin =1sec.之cos =二12 .22,22 一，2一sin :. -cos=1 sec : -tan 二=1 csc - -cot 一 =14 .和差關(guān)系si

14、n(a+ 3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3sin(a- 3) =sin a cos 3 cos a sin 3cos(a+ 3 )=cos a cos 3 sin a sin 3cos(a- 3) =cos a cos 3 +sin a sin 3tan(a+ 3 )=(tan a +tan 3 )/(1 tana - tan3)tan(a 3) =(tan a tan 3 )/(1+tanatan3)5 .倍半角關(guān)系sin2u =2sinu cosa ；2. 222cos2a = cos a -sin a = 2cos a 1 = 1 -2sin a ；tg2：=2t

15、g：.21 -tg ;1-cos： sin 2.21 cos：cos:22atg2 = _1 -cos二1 cos 二sin 二1 cos：1 -cos 二sin ;背誦10.等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用d表示，其符號(hào)語(yǔ)言為：an ani = d(n 之 2 d 為常數(shù))1 .遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：an 1 -an =d通項(xiàng)公式：an =a1 (n -1)d推廣：an =am (n -m)d 變式：ai =an (n1)d;Sn,an - aid 二n -1an -amd =n -

16、m(ai an)n2；Snn(n - 1)d=na122 .等差中項(xiàng):若a,b,c成等差數(shù)列，則b稱(chēng)a與c的等差中項(xiàng)，且a c 一b = ； a,b,c成等差數(shù)列是22b=a , c的充要條件。3 .前n項(xiàng)和公式(ai an)ncn(n -1)dSnSn =na122特征：Sn = d n2 (a1 - d)n, 22即Sn = f (n) = An2 BnSn = An2 Bn (A, B為常數(shù))是數(shù)列an 成等差數(shù)列的充要條件。質(zhì)(其中 m,n, p,q w N”)4. 等差數(shù)列 Q 的基本性若m + n = p +q,則 am +an = ap +aq。背誦11.等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第

17、二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為 q(q =0)。1 .遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式：遞推關(guān)系：an 1 =qan通項(xiàng)公式：an =a1 ,qn，推廣：an =am -qn4m2 .等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,b, c成等比數(shù)列，則稱(chēng)b為a與c的等比中項(xiàng)，且為 b = ±Jac,注：b2=ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。3 .前n項(xiàng)和公式：na1(q = 1)Sn = < a1(1 -qn) _ - -anq(q 豐 1)、1-q 1-q背誦12.數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某些與自然數(shù) n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確

18、性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值 團(tuán)時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng) n=k(kwN*, k>n)時(shí)命題成立，證明當(dāng) n=k+1時(shí)命題也成立 .這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。背誦13.極限1 .幾個(gè)常用極限.1(1) hm-=0, lima =0 (|a|<1)； n - n n :11(2) lim x = x0, lim - =一;(3)(4).sin xlim =1x-0 x1 x、lim 1+ e =e(e=2.718281845 )。 x2.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則x >X)(1)(2)limX陶_f (x )±g (x )j=a ±b;lim 11fx g xx

19、Jx0 一若 lim f (x) = a , lim g(x) = b ,貝U“、 f x a(3) lim = 一(b#0)。x-x0 g x b3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則若 lim an =a,lim b =b ,則n' nn .工：n(1) lim (an 士bn )=a±b ；n 卜(2) lim (an bn )=a b ；n(3) lim an- = a(b0 )；n 二 bnb(4) lim(c a尸 lim c lima。= c a ( c 是常數(shù))。nn n n n背誦14.排列組合1 .排列：從 n個(gè)不同 元素中， 任取 m ( mW n)個(gè) 元素，按照一

20、定 的順序排 成一 列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所 有排列的個(gè)數(shù)記為Am.n!一、An =n(n-1jjn -2 )(n-m+1)=(m<n ),規(guī)je:0! = 1。n -m!2 .組合：從 n個(gè)不同元素中任取 m (mw n)個(gè)元素并組成一組，叫做從 n個(gè)不 同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，所 有組合個(gè)數(shù)記為c1m.Anm _ n(n -1 )(n -m + 1)碩一 mn!m! n。m !規(guī)定:C0 1 °組合數(shù)性質(zhì):m n_mmm _1m 01n n n nCn =Cn ， Cn 十Cn =Cn書(shū)，Cn 十Cn 十十Cn =2 °背誦15.

21、二項(xiàng)式定理(a +b)n =C0an +Cnan-1b +C2anb2 + +C；anbr +C；bn二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：書(shū)=C；an-br(r =0,1n),C：為二項(xiàng)式系數(shù)(區(qū)別于該項(xiàng)的 系數(shù))。性質(zhì)：(1)對(duì)稱(chēng)性：C； =C；(r =0,1,2,，n )3 2) 率數(shù)/口C0+C1+Cn_2n C1+C3+C5+-,一C0+C2+C4+-,一2n,12J|Hw；- w n - w n2, w n n n丁 n nn n丁 一2。最值：n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第甩+1加，二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2; n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二 項(xiàng)式 系數(shù)最大即第 2

22、n 1 n 1工項(xiàng)及第十1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為 c/ =c/22背誦16.平面向量向量的概念：既有大小又有方向的量，向量常用有向線(xiàn)段來(lái)表示。零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的。、單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線(xiàn)的單位向量是 4。|AB|平行向量(也叫共線(xiàn)向量)：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a /b ,規(guī)定零向量和任何向量平行。平面向量的基本定理：如果 e和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任 一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 九1、% ,使a=，ie+ %e2。1.平面向量的數(shù)量積，T .(1)兩個(gè)向量

23、的夾角：對(duì)于非零向量，6,作OAb= , ZAOB=6 (0<6 <n )F- -®* FF- T稱(chēng)為向量a , b的夾角，當(dāng)日=0時(shí)，a , b同向，當(dāng)日=n時(shí)，a , b反向，當(dāng)日=一時(shí)，a , b垂直。彳,2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a , b ,它們的夾角為 8,羋們把數(shù)量| a |b| cos8叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a b ,即a b =ab cosQ。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積告0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。(3) b在5上的投影為|b|cos日，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。(舟 /數(shù)鼻積平性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a

24、, b ,其夾角為0 ,則： a，buab=0；當(dāng)a , b同向時(shí)，a b = a'b'，特別地，a =a,a = ；a； ,；a=4a ；當(dāng)a與b反向 時(shí)，a,b = a b ；當(dāng)日為銳角時(shí)，a * b >0,且a、b不同向，a b> 0是日為銳角的必要 非充分條件；當(dāng)e為鈍角時(shí)，a,b V0,且a、b不反向，a b <0是8為鈍角的必要非充分條件;非零向量a, b夾角e的計(jì)算公式：cose =窯土 ；|a|b才* * | a .b |目 a |b |。2.平面向量的運(yùn)算(1)幾何運(yùn)算向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線(xiàn)的

25、向T 4 T 4 T 4量，如此之外彳向量加法還可利用 “三角形法則”：設(shè)AB =a, BC = b，那么向量AC叫做a與4*4 T -4b 的和，即 a+b=AB+BC =AC；一. , *.TT 向量的減法：用“三角形法則”：設(shè) ABJ,AC=b,那么：b=ABAC=CA,由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的筌點(diǎn)。注意：匕處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a =Jxi, yi),b =(x2, y2),則：向量的加減法運(yùn)算：a±b=(x±x2, y1±y2)。實(shí)數(shù)與向量的積：兒a =九(, y1 )= (，一x1,九y1 )。若A(x1,y1),B(x

26、2,y2),則AB = (x2 -xi, y2 - yi),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減三起4坐標(biāo)。平面向量數(shù)量積： a*b = x1x2 + y1y2。4.2向量的模：|a|=Jx2+y2,a =|a|2 = x2 + y2。兩點(diǎn)間的距離：若A(,yi),B(x2,y2),則 | AB|= J；x2xi)2 +(丫2- yi)2背誦i7.空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量 4a> b (bw0), a_b存在實(shí)數(shù) 入，使a=xb。共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，P與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x,y使.

27、* Mp = xa + yb。i.空間向單的直角坐標(biāo)運(yùn)算色j1；若 a=(a1，a2,a3) , b = (b1,b2,_b3),則 a+b = (a +“12 + b2,a3 + bs),a = (ai -b,a2 -b2,a3 4), 7a =(九a,九a2,九a3)(九w R),a b= aQ + a2b2 + a3b3,a/bu ai = Abi,a2 =九b2,a3 =九4(九R R),a_Lbu &bi+a2b2+a3b3 =0。_(2)若 A(xi, y1，4), B(x2, 丫2%)，則 AB =d x1，y? y1，Z2 乙)。12 +a 22+a 32,，, 吊L

28、M模長(zhǎng)公式： 右 a = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3), 則 | a |= Va，a = ' |b尸a1bla2b2a3b3a22 , a32. bi2 , b22 , b32a b.2 .夾角公式： cos( a b) = T4 = |a| |b|. ai2 -3 .兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(xi,y，zi), B(x2,y2,z2), 則| AB|=, AB2 )X2 -為)2 (y2 yi)2 (Z2 -乙)2 ,或d A,B 二 J(X2 Xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 Zi)2 。4 .空間向量的數(shù)量積。(i)空間向量的夾角及其表不：目知兩非

29、零向量a, b.,在空間任取一點(diǎn)o ,作 OA=lWB='b則/AOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b >；且規(guī)定0 士 a,b>Wn ,(2)向量的模：設(shè)oA =a顯然有<a,b >=< b, a >右<2加>=£,則稱(chēng)a與b互相垂直，記作： a _L b。,則有向線(xiàn)段 OA的長(zhǎng)度叫做向量2的長(zhǎng)度或模，記作：(3)向量的數(shù)量積：已知向量a,b,則|莉bs . , <ab >叫做a,b的數(shù)量積，記作即 a b=|1| ib cos<a,b >o(4 間.量數(shù)量個(gè)叫生質(zhì): a e=|a |cos,&

30、lt;a,e >；馬耳仁ab=0； |a |2 = a a。(5)空間向量數(shù)量出運(yùn)算律：a Taq bMa b) =a，(九b)； b3=b a (交律)；(b +C)=a b +a c (分配律)。背誦18.導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量Ax, 那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 Ay =f (x0+Ax)f ( x 0),比值士工叫做函數(shù)y=f ( x )在x 0到x 0 + Ax之間的平均變化率，即 次Ay = f(x0 +Ax) -f (x0) 如果當(dāng) 與一 °時(shí)，9y有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處"漢Lx可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (x)在點(diǎn)

31、x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f' ( x 0)或y' I X、)。即：f(x0). y .f(x0：x)-f(x0)=lim = lim 。- x-0 -x - x-0-x1 .基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式C' = 0; (C為常數(shù))(xn)=nxn"(sin x) = cosx (cosx) = -sin xtan x = sec2 xcot x - - csc2 xsecx =secxtanx(ex) = ex；,1In x 二 一 xcscx =-cscx cotx(ax) = ax Ina，1，loga x =Iogae x(arcsin x)= .1-x2,、,1(ar

32、ctanx)x1x =1(arccosx)(arc cot x)11,21x2 112.x2 .導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則1 ：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(u zv) = u 二 v .法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘以第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv) =uv+uv.若C為常數(shù)，則(Cu) =Cu+Cu =0 + Cu = Cu . 、一 一、 、一一 一 ' '即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu) =Cu.法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的

33、積，再除以分母的平方：巴=；(v#0)。v v背誦19.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3 .函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a, b)可導(dǎo)，如果f (x)>0,則f (x)在此區(qū)間上為 增函數(shù)；如果f (x) <0,則f (x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。(2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 f (x) = 0,則f(x)為常數(shù)。4 .極點(diǎn)與極值曲線(xiàn)在極值點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0;曲線(xiàn)在極大值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線(xiàn)在極小值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為負(fù)，右側(cè)為正。5 .最值在區(qū)間a , b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a, b上必有最大值與最小值。但在開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi) 連續(xù)函數(shù)f

34、(x)不一定有最大值，例如 f (x) = x3, xW (-1,1)。背誦20.點(diǎn)、線(xiàn)、面基本概念通常用行四邊形來(lái)表示平面。平面可以用希臘字母a,P*來(lái)表示，也可以用平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)來(lái)表示，還可以簡(jiǎn)單的用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母表示。如平面a ,平面ABCD,平面AC等。(1)點(diǎn)A在平面珞內(nèi)，記作 A-a ;點(diǎn)A在平面a外，記作 A正a。(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，記作PWl,點(diǎn)P在直線(xiàn)外，記作 P正l。(3)直線(xiàn)l上所有點(diǎn)都在平面 a內(nèi)，則直線(xiàn)l在平面a內(nèi)(平面a經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l ),記彳l u a ； 否則直線(xiàn)就在平面外，記作l江口。公理1如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)。公理2

35、過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。推論1:經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。背誦21.基本的位置關(guān)系1.空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè) 角相等。公理4平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線(xiàn)所成的角：如圖,已知兩條異面直線(xiàn)a,b

36、 ,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) O作直線(xiàn)a* H a, b' / b ,把a(bǔ)，與b，所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a,b所成的角(夾角)。如果兩條異面直線(xiàn)所成 的角是直角，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，記作albo2 .空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系直線(xiàn)與平面位置關(guān)系只有三種：(1)直線(xiàn)在平面內(nèi)；(2)直線(xiàn)與平面相交；(3)直線(xiàn)與平面平行。直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此 平面平行。直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平 面的交線(xiàn)都與該直線(xiàn)平行。直線(xiàn)和平面垂直判定定理：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂

37、 直于同一個(gè)平面。直線(xiàn)和平面垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射 影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。三垂線(xiàn)定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和穿過(guò)該平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條 直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。3 .平面與平面之間的位置關(guān)系兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有兩種：(1)兩個(gè)平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)。(2)兩個(gè)平面相交一一有一條公共直線(xiàn)。判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。背誦22.直線(xiàn)與平面

38、所成的角與二面角平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角。一直線(xiàn)垂直于平面，所成的角是直角。一直線(xiàn)平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0強(qiáng)。直線(xiàn)和平面所成角范圍：0,一。2斜線(xiàn)和平面所成角是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角。平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線(xiàn)出發(fā)的 兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn) 。分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線(xiàn)OA,OB,則/AOB叫做二面角a -l -P的平面角。一個(gè)平面垂直于二面角 a -l -P的棱l ,且與兩半

39、平面交線(xiàn)分別為 OA,OB,O為垂足，則 /AOB也是a -l -P的平面角。背誦23.距離1 .點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn) 到這個(gè)平面的距離。平面口的法向量n ,在平面內(nèi)任取一定點(diǎn) A ,則平面外一點(diǎn)p到平面«的距離d等于AP 在n上的射影長(zhǎng)，即d =| APn|。I n I2 .線(xiàn)線(xiàn)距離異面直線(xiàn)的距離：兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線(xiàn)的距離。分別在直線(xiàn) m、n上取定向量 a,b,求與向量a、b都垂直白向量n ,分別在m、n上各取一個(gè)定點(diǎn) A B ,則異面直線(xiàn) m、n的距離d等于AB在n上的射影長(zhǎng)，即d = |AB

40、n |。|n|3 .線(xiàn)面距離平行的直線(xiàn)和平面的距離：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離， 叫做這條直線(xiàn)和平面的距離。4 .面面距離兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。5 .兩點(diǎn)間的距離平面內(nèi)兩點(diǎn) R(xi,yi), P2(x2,y2),則兩點(diǎn)間的距離為：| PP2 |=J(xi X2)2 +(yi -y2)2。6 .點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及兩平行線(xiàn)距離(1)點(diǎn) P(xo,yo)到直線(xiàn) l: Ax+By+C=0的距離公式為 d = |Ax;ByC1。,A2 B2(2 )利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可以推導(dǎo)出兩條平行直線(xiàn)l1 : Ax +By + C1 =0 , l2:

41、Ax By C2 =0之間的距離公式d = 叱一。21,推導(dǎo)過(guò)程為：在直線(xiàn)l2上任取一點(diǎn), A2 B2P(Xo , y°),則從 0 By 0 C 2 = 0 ,即 A 0 By 0 =C 2。這時(shí)點(diǎn) P(Xo , y°)到直線(xiàn) 1i : Ax + By + Ci = 0 的距離為d=0獸g=£3。,A2 B2A2 B2背誦24.棱柱1 .棱柱的基礎(chǔ)知識(shí)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平 行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示。棱柱中兩 個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面。棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余

42、各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè) 面。棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱。2 .分類(lèi)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，畫(huà)斜棱柱時(shí)，一般將側(cè)棱畫(huà)成不與底面垂 直。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。畫(huà)直棱柱時(shí)，應(yīng)將側(cè)棱畫(huà)成與底面垂直。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長(zhǎng)方體：底面是矩形的平行六面體叫長(zhǎng)方體。正四棱柱：底面是正方形的直平行六面體叫做正四棱柱。正方體：棱長(zhǎng)相等的正四棱柱叫做正方體。3 .棱柱的性質(zhì)棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都

43、是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。4 .平行六面體、長(zhǎng)方體的性質(zhì)平行六面體的對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分。平行六面體的四條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于各棱的平方和。5 .表面積、側(cè)面積、體積直棱柱側(cè)面積：側(cè)面積 =底面周長(zhǎng)X側(cè)棱長(zhǎng)。棱柱的表面積：表面積 =側(cè)面積+底面積。棱柱的體積公式：V=sh （s為底面積，h為高）。背誦25.棱錐1 .棱錐的基礎(chǔ)知識(shí)棱錐：如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐。棱錐中的多邊形叫做棱錐的底面。棱錐中除

44、底面以外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面。棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)。棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱 錐的高。2 .棱錐的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面 積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比。3 .正棱錐的性質(zhì)正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫 做正棱錐的斜高）。正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、 側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。4 .表面積、側(cè)面積、體積棱錐的表面積：表面積 =側(cè)面積+底面積。正棱錐的側(cè)面積：S正棱錐側(cè)=1/2ch / （c為底面周

45、長(zhǎng)，h，為斜高）。錐體的體積公式是：v=1/3sh （s為錐體的底面積，h為錐體的高）。背誦26.球在空間中到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球。半圓以它的直 徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面。球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面。球心到截面的距離 d與球的半徑 R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r2=R2-d2。球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做小圓。在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線(xiàn)的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣 弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離。半徑是R的球的體積 計(jì)算公式是：V= （4/3）

46、兀R3。半徑是R的球的表面積 計(jì)算公式是：S=4兀R2。背誦27.直線(xiàn)與圓的方程1.直線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線(xiàn)，如果把 x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為a ,那么a就叫做直線(xiàn)的傾斜角。直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是 0° W “ V 180° 。傾斜角a不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率，常用k表示，即k=tan& （ a W90° ）。傾斜角是 90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率；傾斜角不是 90°的直線(xiàn)都有斜率，其取 值范圍是（一°°,+OO）。2.直線(xiàn)方程

47、的五種形式（1）直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程-已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（%,丫1）,且斜率為k ,直線(xiàn)的方程：y - yi = k(x xi)為直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式。(2)直線(xiàn)的斜截式方程一已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (0,b),并且它的斜率為 k,直線(xiàn)l的方程:y = kx +b為斜截式。(3)直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式當(dāng)x1 # x2, y1 # y2時(shí)，經(jīng)過(guò) A(x1, y1), b ( x2, y2)的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程可以寫(xiě)成：y - yix - xi=oy2 - yix2 - xi(4)直線(xiàn)方程的截距式過(guò)A(a,0) , B(0, b) (a, b均不為0)的直線(xiàn)方程)+丫 =1叫做直線(xiàn)方程的截距式。a b(5)直線(xiàn)方程的一

48、般形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式四種直線(xiàn)方程均可化成Ax+By + C=0(其中A、B、C是常數(shù)，A B不全為0)的形式，叫做直線(xiàn)方程的一般式。3.圓(1)圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(xa)2 +(y b)2 =r2(r >0)。特殊地,=r2。當(dāng)a =b =0時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：x2 +y2(2 )圓的般方程 x2 +y2 +Dx +Ey + F =0 ,圓心為點(diǎn) 1 -,- I22D2 E2 -4F 甘小 22,其中 D +E -4F >0°2(3)二元二次方程 Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0,表示圓的方程的充要條

49、件是:x2項(xiàng)y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不為 0,即A=C #0；沒(méi)有xy項(xiàng)，即B =0； D2 +E2 -4AF >0o(4)圓C ： (xa)2+(yb)2 =r2的參數(shù)方程為/x =a 'rcos。(日為參數(shù))。特殊地，、y = b + rsinHx2 +y2 =r2的參數(shù)方程為J =rcos。(日為參數(shù))。y = r sin 日(5)圓系方程：過(guò)圓 C1 ： x2+y2+D1x+ E1y+F1 =0 與圓 C2 ： x2+y2+D2x + E2y+F2 =0交點(diǎn)的圓系方程是 x2+y2+D1x + E1y+R+，“x2+y2+D2x+E2y+F2 )=0 (不含圓 C2),當(dāng)人 =

50、 一1時(shí) 圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線(xiàn)方程。背誦28.橢圓平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F'的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|FF'|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。1.標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上22x . y,-2" +2 = 1 (a > b > 0) a b22x , y2 + 2=1 (a > b > 0) b a幾范圍|x|a,| yfb|xb,| y Ja何性質(zhì)頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0),(a,0) (0,-b),(0,b)(0, 0,(0, a), (-b,0),(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(w,0), F2(c,0)Fi(0,-c),F2(0,c)準(zhǔn)線(xiàn)方程2 a x = ±c2 a y =± c對(duì)稱(chēng)軸方 程x = 0、y = 0長(zhǎng)短軸橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是 a ,橢圓的短半軸長(zhǎng)是 b.離心率e = £(0 <e <i) aa,b,c關(guān)系222_a =b +c (a>b >0)2.焦半徑22x yP是橢圓-2+2r = l(a >b a 0)上一點(diǎn)，E、F是左、右焦點(diǎn)，e是橢圓的離心率，則 a b|PE| = a +exP, |PF| = a -expo2 2y x P是橢圓 與+r = 1(a Ab >0)上一點(diǎn)，E、F是上、下焦點(diǎn)，e是橢圓