復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換主講教師：雷春林主講教師：雷春林 電話電話:642122郵箱：郵箱：1. 1. 期末總評成績?yōu)榘俜种啤Ｆ谀┛傇u成績?yōu)榘俜种??？傇u成績?nèi)绾斡嬎憧傇u成績?nèi)绾斡嬎?. 2. 平時成績占平時成績占5050，根據(jù)作業(yè)、課堂出勤等，根據(jù)作業(yè)、課堂出勤等情況由任課老師給分。情況由任課老師給分。3. 3. 期末考試成績占期末考試成績占5050。期末考試試卷由本。期末考試試卷由本課程組老師共同批改。課程組老師共同批改。 作業(yè)：每周交一次，作業(yè)：每周交一次，每個班每次按每個班每次按1-10,11-20,1-10,11-20, 21-40 21-40號輪流交號輪流交。學(xué)習(xí)委員收齊并學(xué)習(xí)委員收齊并按

2、學(xué)號排序按學(xué)號排序, , 每周二課前每周二課前交給我。交給我。不收遲交的作業(yè)不收遲交的作業(yè)，每人準(zhǔn)，每人準(zhǔn) 備兩個備兩個薄薄一點(diǎn)的作業(yè)本。一點(diǎn)的作業(yè)本。作業(yè)的要求作業(yè)的要求背景背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的。復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對復(fù)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計算又?jǐn)?shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)得到一些矛盾，所以，在歷史上長時

3、期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的看作不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，。直到十八世紀(jì)，J.DAlembert(1717-1783)J.DAlembert(1717-1783)與與L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，并且等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。復(fù)變函數(shù)的理論基

4、礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。 A.L.CauchyA.L.Cauchy （1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann (1826-1866) (1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許

5、多分支，同時，它在熱力學(xué)，流體透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。它分支的聯(lián)系也日益密切。第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、小結(jié)與思考7一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位虛數(shù)單位:.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個新數(shù)引入一個新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i.1

6、:2在實(shí)數(shù)集中無解在實(shí)數(shù)集中無解方程方程實(shí)例實(shí)例 x對虛數(shù)單位的規(guī)定對虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四則運(yùn)算四則運(yùn)算樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i8虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii則則是是正正整整數(shù)數(shù)一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 92.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù):. , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)或或我們稱我們稱對于任意兩實(shí)數(shù)對于任意兩實(shí)數(shù)iyxzyixzyx , , 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛

7、部分別稱為分別稱為其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 記作記作 0 , ; xziy當(dāng)時稱為純虛數(shù) . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時時當(dāng)當(dāng) 10例例1 1復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)取取何何值值時時實(shí)實(shí)數(shù)數(shù),m )43(2mm.)2(;)1(純虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)是是imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y則則如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù). 160652 mmmm或或知知由由(2),0,x 如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù) 則. 140432 mmmm或或知知由由11 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛它們的實(shí)部和虛部分別相等部分別相等

8、. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部同時等于同時等于0.說明說明 兩個數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就是說是說, 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小.12二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)1. 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和:).()(212121yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 133. 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù): 實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的

9、兩實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與. , iyxziyxz 則則若若例例2 2.的積的積與與計算共軛復(fù)數(shù)計算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的積是一個實(shí)數(shù)的積是一個實(shí)數(shù)兩個共軛復(fù)數(shù)兩個共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：4. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 155. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im

10、(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略.16例例3 解解,43,55 21iziz 設(shè)設(shè). 2121 zzzz與與求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 17例例4 解解,131 iiiz 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 18例例5 證證, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)).Re(2 21

11、2121zzzzzz 證明證明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或19三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算算. 重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算, 它是本節(jié)課的重點(diǎn)它是本節(jié)課的重點(diǎn).第二節(jié) 復(fù)數(shù)的三角表示一、一、復(fù)數(shù)的模與輻角二、乘積與商乘積與商三、復(fù)數(shù)的乘方與開方21一、復(fù)數(shù)的模與輻角一、復(fù)

12、數(shù)的模與輻角1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個建立了直角坐標(biāo)系一個建立了直角坐標(biāo)系因此因此對應(yīng)對應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對與有序?qū)崝?shù)對復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 222. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對值或絕對值) , 的?；蚪^對值的?；蚪^對值向量的長度稱為向量的長度稱為 z , 表示表示可以

13、用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22yxrz 記為記為xyxyoiyxz Pr顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 233. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在說明說明,0有無窮多個輻角有無窮多個輻角任何一個復(fù)數(shù)任何一個復(fù)數(shù) z , 1是其中一個輻角是其中一個輻角如果如果 ).( 2Arg1為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時時當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地的

14、全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定輻角不確定.24輻角主值的定義輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,25利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式4.4.復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示26例例 將

15、下列復(fù)數(shù)化為三角表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因為因為 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式為故三角表示式為,65sin65cos4 iz275cos5sin)2( iz, 1 zr顯然顯然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz28二、二、乘積與商乘積與商定理一定理一 兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積積; 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻

16、角的和兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.的三角形式分別為的三角形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 則則)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121 irr證證由此可將結(jié)論推廣到由此可將結(jié)論推廣到 n 個復(fù)數(shù)相乘的情況。個復(fù)數(shù)相乘的情況。29)sin()cos(21212121 irrzz兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, , 輻角相加輻角相加. . , 2倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r從幾何上看從幾何

17、上看, 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋轉(zhuǎn)一個角旋轉(zhuǎn)一個角按逆時針方向按逆時針方向先把先把 z . 21zzz 就表示積就表示積所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z.ArgArg)(Arg2121zzzz 證畢證畢30定理二定理二 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證證按照商的定義按照商的定義, , 0 1時時當(dāng)當(dāng) z,1122zzzz ,1122zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zz

18、zz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 31例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因為因為,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 32三、冪與根三、冪與根1. n次冪次冪:, , nznzzn記作記作次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個相同復(fù)數(shù)個相同復(fù)數(shù). 個個nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對于任何正整數(shù)對于任何正整數(shù). , ,1 上式仍成立上式仍成立為負(fù)整數(shù)時為負(fù)整數(shù)時那么當(dāng)那么

19、當(dāng)如果我們定義如果我們定義nzznn 33,sincos , 1 izrz 即即的模的模當(dāng)當(dāng).sincos)sin(cos ninin 棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介紹棣莫佛介紹2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式例例2 210 (1) . i計算的值101010 (1) =2 (cos+isin) 44i解：101032 (cos+isin) 4432 i . , . 3為已知復(fù)數(shù)為已知復(fù)數(shù)其中其中的根的根方程方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:),sin(cos irz 設(shè)設(shè)),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式根據(jù)棣

20、莫佛公式, )sin(cos ninwnn ),sin(cos ir ), 2, 1, 0( k,2, 1nkrn 故故 nkinkrzwnn2sin2cos1 35 , 1, 2 , 1 , 0 時時當(dāng)當(dāng) nk :個相異的根個相異的根得到得到 n,sincos10 ninrwn ,2sin2cos11 ninrwn ,.)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 當(dāng)當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時以其他整數(shù)值代入時, 這些根又重復(fù)出現(xiàn)這些根又重復(fù)出現(xiàn). 36 , 時時例如例如nk nninnrwnn2sin2cos1 ninrn sincos1.0w 從幾何上看從幾何上看, , 個值就是以原

21、點(diǎn)為中心個值就是以原點(diǎn)為中心的的nzn . 1個頂點(diǎn)個頂點(diǎn)邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nnrn37例例3 3 . 1 3的值的值計算計算i 解解 ii212121 4sin4cos2i31i 324sin324cos26kik).2 , 1 , 0( k38例例4 4 . 1 4的值的值計算計算i 解解 4sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即即,169sin169cos281 iw39,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2

22、8圓的正方形的四個頂點(diǎn)圓的正方形的四個頂點(diǎn)的的心在原點(diǎn)半徑為心在原點(diǎn)半徑為這四個根是內(nèi)接于中這四個根是內(nèi)接于中oxy1w2w3w0w2 8P 2 9習(xí) 題 1 . 8 ( 3 ) 1 . 9 ( 3 ) 1 . 1 0作 業(yè) ： 第三節(jié) 平面點(diǎn)集的一般概念一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考42一、區(qū)域的概念一、區(qū)域的概念1. 鄰域鄰域:. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 2.去心鄰域去心鄰域:. 0 00的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為所確定的點(diǎn)的所確定

23、的點(diǎn)的稱由不等式稱由不等式zzz 433.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn):. , , . , 000的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集設(shè)設(shè)GzGzGzG4.開集開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末G 稱稱為開集為開集. .445.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)域. .(1) D是一個是一個開集開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用完

24、全完全屬于屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個點(diǎn)集是復(fù)平面內(nèi)的一個點(diǎn)集, ,如果如果在在 P P 的的任意小任意小的鄰域內(nèi)總有的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn)和中的點(diǎn)和不屬于不屬于D的點(diǎn)的點(diǎn), 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)P P 為為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. .7.余集：GG復(fù)平面上不屬于點(diǎn)集 的全體稱為 的余集，CG記為,開集的余集稱為閉集。9.孤立點(diǎn)：000zGzz設(shè)，若在 的某個鄰域內(nèi)，除 外不含0GzG中的點(diǎn)，則稱 為 的孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為邊界點(diǎn)。8.外點(diǎn)：0,CzG若存在 的某個鄰域包含于點(diǎn)集中 則稱0z

25、G為 的外點(diǎn)。46說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C47以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域

26、如果一個區(qū)域DMzMD 48(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo49二、單連通域與多連通域二、單連通域與多連通域1. 連續(xù)曲線連續(xù)曲線:. , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線代代那末方程組那末方程組是兩個連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個連續(xù)的實(shí)變函數(shù)和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲線

27、的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz 502. 光滑曲線光滑曲線:.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個值的每一個值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo513. 簡單曲線簡單曲線:. )( )( , )()( :的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()(

28、, , 121212121的重點(diǎn)的重點(diǎn)稱為曲線稱為曲線點(diǎn)點(diǎn)時時而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對于滿足對于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當(dāng)曲線當(dāng)曲線).).52. , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單閉曲線閉曲線 C 將復(fù)平面將復(fù)平面唯一地分成三個互唯一地分成三個互不相交的點(diǎn)集不相交的點(diǎn)集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外

29、部邊界邊界53課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 544. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域55三、典型例題

30、三、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時時當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).563arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心

31、無界的多連通域無界的多連通域. 57411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.第四節(jié) 無窮大與復(fù)球面一、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考. , 0 , 點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)稱為無窮遠(yuǎn)其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)所有點(diǎn)的集合所有點(diǎn)的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi) MMz. . , , zMMz可以表示為可以表示為域域稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在不

32、包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在引入特殊“復(fù)數(shù)”無窮大，記為 ，假想復(fù)平面存在一理想點(diǎn)與無對應(yīng)，稱為窮遠(yuǎn)點(diǎn).一、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及其鄰域一、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及其鄰域60二、復(fù)球面二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個與復(fù)平面切于原取一個與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNxyPNOS61 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對

33、應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個唯一的復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大無窮大”與與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng)復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng), 記作記作. 因而球面因而球面上的北極上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示的幾何表示. 球面上的每一個點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)對應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義623. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平

34、面稱為有限復(fù)平面不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, , 或簡稱復(fù)平面或簡稱復(fù)平面. .對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù)來說來說, 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無意輻角等概念均無意義義, 它的模規(guī)定為正無窮大它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來.63 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 減法減法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法64三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

35、有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的各種表示法各種表示法. 并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面復(fù)平面. 注意注意：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大這個復(fù)數(shù)相對應(yīng)這個復(fù)數(shù)相對應(yīng), 所謂所謂無窮大無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無窮大無窮大或或正、負(fù)正、負(fù)無窮大無窮大混為一談混為一談第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義二、復(fù)變函數(shù)的極限三、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)與思考66一、復(fù)變函數(shù)的定義一

36、、復(fù)變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)簡稱簡稱的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)之對應(yīng)之對應(yīng)與與就有一個或幾個復(fù)數(shù)就有一個或幾個復(fù)數(shù)每一個復(fù)數(shù)每一個復(fù)數(shù)中的中的對于集合對于集合按這個法則按這個法則個確定的法則存在個確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個復(fù)數(shù)是一個復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)1.復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義:672.單單(多多)值函數(shù)的定義值函數(shù)的定義:. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個值對應(yīng)著一個的一個值對應(yīng)著一個如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那

37、末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個以上兩個以上的一個值對應(yīng)著兩個或的一個值對應(yīng)著兩個或如果如果zfwz3.定義集合和函數(shù)值集合定義集合和函數(shù)值集合: ; )( )( 定義域定義域的定義集合的定義集合稱為稱為集合集合zfG. , * 稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有對應(yīng)于對應(yīng)于GwzG684. 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系: )( 相當(dāng)于兩個關(guān)系式相當(dāng)于兩個關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的兩個二元實(shí)變函數(shù)的兩個二元實(shí)變函數(shù)和和它們確定了自變量為它們確定

38、了自變量為yx例如例如, , , 2zw 函數(shù)函數(shù), ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 則則,222xyiyx : 2數(shù)數(shù)對應(yīng)于兩個二元實(shí)變函對應(yīng)于兩個二元實(shí)變函于是函數(shù)于是函數(shù)zw ,22yxu .2xyv 例例 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函數(shù)數(shù)表表示示成成將將zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設(shè)設(shè)70二、二、函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱有有時時使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)地必有一正數(shù)

39、相應(yīng)地必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz xOz0zOuAf(z)0zz當(dāng)變點(diǎn) 在 的一極限的幾何意義個充分?。旱泥徲驎r，它們的像點(diǎn)落在的一個給定的 鄰域內(nèi).722. 極限計算的定理極限計算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivy

40、xuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據(jù)極限的定義根據(jù)極限的定義 , )()(0 00時時當(dāng)當(dāng) iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.73 , )()(0 2020時時或當(dāng)或當(dāng) yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時時那么當(dāng)那么當(dāng) yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有74

41、 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0時時故當(dāng)故當(dāng) zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以證畢證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個二元實(shí)變的極限問題的極限問題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 75定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變

42、函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.76例例1 1證證 :. 0 )Re()( 不存在不存在時的極限時的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 則則, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 77)1(lim220kxxx ,112k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz78

43、例例2 2證證. 0 )0( )( 限不存在限不存在時的極時的極當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 則則,2),(22yxxyyxv , 趨于零時趨于零時沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz79三、函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義: . )( , )( . )( ),()(lim 0

44、00內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說我們說內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那末我們就說那末我們就說如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)80定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處yxyxu , ),(2

45、2在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv . ),( 處連續(xù)處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處故故yxf81定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個函數(shù)連續(xù)的兩個函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 82例例3 3. )( , )( :00也連續(xù)也連續(xù)在在那末那末連續(xù)連續(xù)在在如果如果證明證明zzfzzf證證 ),(),()(

46、yxivyxuzf 設(shè)設(shè) ),(),()( yxivyxuzf 則則 , )( 0連續(xù)連續(xù)在在由由zzf,) ,( ),( ),( 00處都連續(xù)處都連續(xù)在在和和知知yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00處連續(xù)處連續(xù)也在也在和和于是于是yxyxvyxu . )( 0連續(xù)連續(xù)在在故故zzf例例4 證明證明f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。上上不不連連續(xù)續(xù)。在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不連連續(xù)續(xù)。在在原原點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有定定義義， arg)()1(zzf 證明證明x

47、y(z)ozz)0 ,(xP 84四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 通過本課的學(xué)習(xí)通過本課的學(xué)習(xí), 熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì)續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì). 注意注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同極限的定義雖然在形式上相同, 但在實(shí)質(zhì)上有很但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多它較之后者的要求苛刻得多.85思考題思考題?)( , )( 00有無關(guān)系有無關(guān)系徑徑選取的路選取的路所采取的方式所采取的方式趨于趨于此極限值與此極限值與時的極限存在時的極限存在當(dāng)當(dāng)設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)zzzzzf86思考題答案思考題答案沒有關(guān)系沒有關(guān)系. , 0zz以任何方式趨于以任何方式趨于極限值都是相同的極限值都是相同的.放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .2 82 9P習(xí) 題 1 .