歸納與證明教案

1、教育教師備課手冊(cè)教師姓名學(xué)生姓名填寫時(shí)間2012.3.9 學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高三上課時(shí)間 8:00-10:00 課時(shí)計(jì)劃2小時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容高考復(fù)習(xí)推理與證明個(gè)性化學(xué)習(xí)問題解決基礎(chǔ)知識(shí)回顧，典型例題分析教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)過程推理與證明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)合情推理和演繹推理知識(shí)梳理1. 推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)( 或假設(shè) ) 得出一個(gè)判斷, 這種思維方式叫推理. 從結(jié)構(gòu)上說 , 推理一般由兩部分組成, 一部分是已知的事實(shí)( 或假設(shè) ) 叫做前提 , 一部分是由已知推出的判斷 , 叫結(jié)論 . 2、合情推理 : 根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分為歸納

2、推理和類比推理兩類：（ 1）歸納推理： 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理（ 2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演繹推理 : 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。 三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提 - 已知的一般原理； （2）小前提 -推理與證明推理證明合情推理演繹推理歸

3、納類比直接證明間接證明數(shù)學(xué)歸納法綜合法分析法反證法所研究的特殊情況； （3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。重難點(diǎn)突破重點(diǎn) : 會(huì)用合情推理提出猜想, 會(huì)用演繹推理進(jìn)行推理論證, 明確合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系難點(diǎn) : 發(fā)現(xiàn)兩類對(duì)象的類似特征、在部分對(duì)象中尋找共同特征或規(guī)律重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明1、歸納推理關(guān)鍵是要在部分對(duì)象中尋找共同特征或某種規(guī)律性問題 1：觀察：7152 11；5.516.52 11；331932 11； . 對(duì)于任意正實(shí)數(shù),a b，試寫出使2 11ab成立的一個(gè)條件可以是 _. 點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)

4、之和為22，故22ba2、類比推理關(guān)鍵是要尋找兩類對(duì)象的類似特征問題2：已知拋物線有性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，則當(dāng)ab與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，ab的長(zhǎng)度最短；試將上述命題類比到其他曲線，寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題為點(diǎn)撥：圓錐曲線有很多類似性質(zhì)，“通徑”最短是其中之一，答案可以填：過橢圓的焦點(diǎn)作一直線與橢圓交于a、b兩點(diǎn)，則當(dāng)ab與橢圓的長(zhǎng)軸垂直時(shí)，ab的長(zhǎng)度最短（222|abab）3、運(yùn)用演繹推理的推理形式( 三段論 ) 進(jìn)行推理問題 3：定義 x 為不超過x 的最大整數(shù)，則-2.1= 點(diǎn)撥：“大前提”是在,(x找最大整數(shù)，所以-2.1=-3 熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn) 1 合情

5、推理題型 1 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律 例 1 通過觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。23135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；23165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202【解題思路】注意觀察四個(gè)式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性, （2）觀察角的“共性” 解析 猜想：23)60(sinsin)60(sin02202證明：左邊 =2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin=23)cos(sin2322=右邊【名

6、師指引】 （1）先猜后證是一種常見題型（ 2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型” ，三是“循環(huán)型” （周期性） 例 2 (09深圳九校聯(lián)考 ) 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖 . 其中第一個(gè)圖有1 個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有 7 個(gè)蜂巢， 第三個(gè)圖有19 個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以( )f n表 示第n幅 圖的 蜂巢 總數(shù) .則(4)f=_;( )f n=_. 【解題思路】找出)1()(nfnf的關(guān)系式 解析 ,1261)3(,61)2(, 1)1 (fff37181261)4(f133)1(6181261)(2n

7、nnnf【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系【新題導(dǎo)練】1.(2008 佛山二模文、理) 對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：22132313524135732353379113413151719根據(jù)上述分解規(guī)律，則2513579, 若3*()mmn的分解中最小的數(shù)是73，則m的值為_ . 解析 3m的分解中，最小的數(shù)依次為3，7，13，12mm，由7312mm得9m2.(2008 惠州調(diào)研二理) 函數(shù)( )f x由下表定義：若05a，1()nnaf a，0,1,2,n，則2007a 4 解析 50a，21a，12a，43a，,54a，nnaa4，43

8、2007aa點(diǎn)評(píng)：本題為循環(huán)型3.(2008 深圳調(diào)研 ) 圖（ 1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分別包含1 個(gè)、 5 個(gè)、 13 個(gè)、 25 個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物 “福娃迎迎” ， 按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第 n個(gè)圖形包含( )f n個(gè) “福娃迎迎”， 則(5)f；( )(1)f nf n （答案用數(shù)字或n 的解析式表示） 解析 )1(4)1()(,41)5(nnfnff4. (2008揭陽一模 ) 設(shè)010211( )cos ,( )( ),( )( ),( )( )nnfxx fxfxfxfxfxfx,nn則2008( )fx=（ ）a. sinxb. cos xc. s

9、in xd. cos x 解析 xxfcos)(0，xxfsin)(1，xxfcos)(2，xxfsin)(3，xxfcos)(4，)()(4xfxfnn，2008( )fx=xxfcos)(0題型 2 用類比推理猜想新的命題 例 1 (2008韶關(guān)調(diào)研 ) 已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的13，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是 _. 【解題思路】從方法的類比入手x25314( )f x12345 解析 原問題的解法為等面積法，即hrarahs3121321，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，hrsrshv4131431即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高41【名師指引】 （1）不僅要注意形式的類比

10、，還要注意方法的類比（ 2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等 例 2 在abc中, 若090c, 則1coscos22ba, 用類比的方法,猜想三棱錐的類似性質(zhì), 并證明你的猜想【解題思路】考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何類比到空間 解析 由平面類比到空間, 有如下猜想 : “在三棱錐abcp中， 三個(gè)側(cè)面pcapbcpab,兩兩垂直，且與底面所成的角分別為,，則1coscoscos222”證明：設(shè)p在平面abc的射影為o，延長(zhǎng)co交ab于m，記hpo由pbpcp

11、apc,得pabpc面，從而pmpc，又pmcpchpcosincos，pahcos，pbhcoshpapcpcpbpbpapcpbpavabcp)cos21cos21cos21(31611)coscoscos(hpbpapc即1coscoscos222【名師指引】 （1）找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積，平面上的角對(duì)應(yīng)空間角等等；（2）找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等【新題導(dǎo)練】5. (2008深圳二模文 ) 現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)

12、的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為24a類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為 a 的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為 解析 解法的類比（特殊化） ，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為83a6. (2008梅州一模 ) 已知abc的三邊長(zhǎng)為cba,，內(nèi)切圓半徑為r（用的面積表示abcsabc） ，則abcs)(21cbar；類比這一結(jié)論有：若三棱錐bcda的內(nèi)切球半徑為r，則三棱錐體積bcdav 解析 1(3abcabdacdbcdr ssss7.(2008 屆廣東省東莞市高三理科數(shù)學(xué)高考模擬題（二）) 在 平面 直角 坐標(biāo)系中，直線一 般方 程為0cbyax，

13、圓心在),(00yx的 圓 的一 般方程為22020)()(ryyxx； 則類似的， 在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_,球心在),(000zyx的球的一般方程為_. 解析 0axbyczd；2222000()()()xxyyzzr8. 對(duì)于一元二次方程，有以下正確命題：如果系數(shù)111,cba和222,cba都是非零實(shí)數(shù)，方程01121cxbxa和02222cxbxa在復(fù)數(shù)集上的解集分別是a和b，則“212121ccbbaa”是“ba”的充分必要條件試對(duì)兩個(gè)一元二次不等式的解集寫出類似的結(jié)果，并加以證明解： （3）如果系數(shù)111,cba和222,cba都是非零實(shí)數(shù)，不等式01121cxbx

14、a和02222cxbxa的解集分別是a和b，則“212121ccbbaa”是“ba”的既不充分也不必要條件可以舉反例加以說明9. 已知等差數(shù)列的定義為: 在一個(gè)數(shù)列中， 從第二項(xiàng)起 , 如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；已知數(shù)列na是等和數(shù)列，且21a，公和為5，那么18a的值為 _這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和ns的計(jì)算公式為 _ 解析 在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；318a；ns為偶數(shù)為奇數(shù)nnynn,25,215考點(diǎn) 2 演繹

15、推理題型:利用“三段論”進(jìn)行推理 例 1 （07 啟東中學(xué)模擬）某校對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了edcba,五個(gè)方面的多元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過經(jīng)驗(yàn)公式樣edcbas1來計(jì)算各班的綜合得分，s的值越高則評(píng)價(jià)效果越好，若某班在自測(cè)過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出abedc0，則下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1 個(gè)單位，而使得s的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為 （填入edcba,中的某個(gè)字母）【解題思路】從分式的性質(zhì)中尋找s值的變化規(guī)律 解析 因edcba,都為正數(shù)， 故分子越大或分母越小時(shí)， s 的值越大， 而在分子都增加1 的前提下，分母越小時(shí)，s的值增長(zhǎng)越多，abedc0，所以 c 增大 1 個(gè)單位會(huì)使得s的值增加最多【

16、名師指引】此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到 例 2 （03 上海）已知集合m是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x) 的全體：存在非零常數(shù)t，對(duì)任意x r，有f(x+t)=t f(x) 成立 . （ 1）函數(shù)f(x)= x是否屬于集合m ？說明理由；（ 2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a0,且a1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axm ；（ 3）若函數(shù)f(x)=sinkxm , 求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 . 【解題思路】函數(shù)f(x) 是否屬于集合m ，要看f(x) 是否滿足集合m的“定義”， 解 （1）對(duì)于非零常數(shù)t，f(x+t)=x+t, tf(x)=tx. 因?yàn)閷?duì)任意xr，x+t=

17、tx不能恒成立，所以f(x)=.mx（ 2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax（a0 且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：xyayx有解，消去y 得ax=x, 顯然x=0 不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)t，使at=t. 于是對(duì)于f(x)=ax有)()(xtfataaatxfxxttx故f(x)=axm. （ 3）當(dāng) k=0 時(shí)，f(x)=0 ，顯然f(x)=0m. 當(dāng) k 0 時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkxm ，所以存在非零常數(shù)t，對(duì)任意xr，有f(x+t)=t f(x) 成立，即sin(kx+kt)=tsinkx . 因?yàn)?k0，且x r，所以kxr，kx+ktr，于是 sink

18、x 1，1 ，sin(kx+kt) 1，1 ，故要使 sin(kx+kt)=tsinkx . 成立，只有 t=1，當(dāng) t=1 時(shí)， sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2m , m z . 當(dāng) t=1 時(shí)， sin(kxk)= sinkx成立，即 sin(kxk+)= sinkx成立，則k+=2m , m z ，即k=2(m 1), mz . 實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|k= m, mz 【名師指引】學(xué)會(huì)緊扣“定義”解題【新題導(dǎo)練】10. (2008珠海質(zhì)檢理 ) 定義*a b是向量a和b的“向量積”，它的長(zhǎng)度|*| | | sin,a bab其中為向量a和b的夾角，若(2,0),(1,3),

19、|*() |uuvuuv則= . 解析 |)(|21,sin),3, 3(),3, 1 (vuuvuuvuv2 311. (2008 深圳二模文 ) 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從a出發(fā)依次沿圖中線段到達(dá)b、c、d、e、f、g、h、i、j各點(diǎn)，最后又回到a（如圖所示） ，其中：abbc，/ / / / /abcdefhgij，/ / /bcde/ / /fghija欲知此質(zhì)點(diǎn)所走路程，至少需要測(cè)量n條線段的長(zhǎng)度，則 n（b）a2 b3 c4 d5 解析 只需測(cè)量ghbcab,3 條線段的長(zhǎng)12. (2008 惠州調(diào)研二 ) 為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密） ，接受方由密文明文（解密） ，已

20、知加密規(guī)則為：明文dcba,對(duì)應(yīng)密文ddccbba4,32 ,2 ,2，例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為（） a 4 ，6， 1，7 b 7 ，6，1， 4 c 6 ，4， 1，7 d 1 ， 6，4，7 解析 由16418327252ddccbba得7146dcba，選 c 13. 對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)( , )a b和( ,)c d，規(guī)定：( , )( , )a bc d，當(dāng)且僅當(dāng),ac bd；運(yùn)算“”為：( , )( , )(,)a bc dacbd bcad； 運(yùn) 算 “” 為 ：( , )( , )(,)a

21、bc dac b d， 設(shè),p qr， 若(1,2)( , )(5,0)p q，則(1,2)( , )p q（）a(4,0) b(2,0) c(0,2) d(0, 4)解：由題意，0252qpqp，解得211p，所以正確答案為（b） 點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上，本題所定義的實(shí)數(shù)對(duì)的兩種運(yùn)算就是復(fù)數(shù)的乘法與加法運(yùn)算我們可以把該題還原為：已知復(fù)數(shù)z滿足5)21(zi，則zi)21(_搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、對(duì)于集合a,b, 定義運(yùn)算|bxaxxba且，則)(baa=（）a.b b.a c.ba d. ba 解析 d 用圖示法 2、命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推

22、理錯(cuò)誤的原因是a使用了歸納推理 b使用了類比推理c使用了“三段論” ，但大前提錯(cuò)誤d使用了“三段論” ，但小前提錯(cuò)誤 解析 大前提是特指命題，而小前提是全稱命題，故選c 3、 （華南師大附中20072008 學(xué)年度高三綜合測(cè)試（三）給出下面類比推理命題（其中q為有理數(shù)集， r為實(shí)數(shù)集， c為復(fù)數(shù)集）：“若babarba0，則、”類比推出“babacca0,則、”“若dbcadicbiardcba,，則復(fù)數(shù)、”類比推出“dbcadcbaqdcba,22，則、”“若babarba0，則、”類比推出“若babacba0,則、”“若111|xxrx，則”類比推出“若111|zzcz，則”其中類比結(jié)論正

23、確的個(gè)數(shù)有（）a1 b2 c3 d4 解析 類比結(jié)論正確的只有4、如圖第n 個(gè)圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來, （，）。則第 n2 個(gè)圖形中共有個(gè)頂點(diǎn)。 解 析 設(shè) 第n個(gè) 圖 中 有na個(gè) 頂 點(diǎn) ， 則3331a，4442a，nnnan,，232)2(222nnnnan5、如果函數(shù))(xf在區(qū)間d上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的任意1x，2x，nx，都有)()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn. 若xysin在區(qū)間(0,)上是凸函數(shù)，那么在abc中，cbasinsinsin的最大值是 _. 解析 3sin33sin3sinsinsincbacba3 326、類比平面向量基本定理: “

24、如果21,ee是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)21,，使得2211eea” ，寫出空間向量基本定理是： 解析 如果321,eee是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)321,，使得332211eeea綜合提高訓(xùn)練7、(2008 汕頭一模 )設(shè)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，abc三邊上的高分別為ah 、bh 、ch ，p到三邊的距離依次為al 、bl 、cl ，則有abcabclllhhh_；類比到空間，設(shè)p是四面體abcd內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是ah 、bh 、ch 、dh ，p到這四個(gè)面的距離依次是al 、bl 、cl 、dl ，則

25、有 _ 。 解析 用等面積法可得，abcabclllhhh1，類比到空間有1ddccbbaahlhlhlhl8、(2008 惠州一模 ) 設(shè)11xfxx，又記11,1,2,kkfxfxfxffxk則2008fx（） a11xx； b11xx； cx； d1x； 解析 c xxxf11)(1，xxf1)(2，11)(3xxxf，xxf)(4，)()(4xfxfnnxxfxf)()(420089、 （1）已知等差數(shù)列na，naaabnn21（nn） ，求證：nb仍為等差數(shù)列；（2）已知等比數(shù)列nc，0nc（nn） ，類比上述性質(zhì)，寫出一個(gè)真命題并加以證明 解析 （1）22)(11nnnaanaan

26、b，211nnnnaabb，na為等差數(shù)列2211daabbnnnn為常數(shù)，所以nb仍為等差數(shù)列；（2）類比命題：若nc為等比數(shù)列，0nc（*nn） ，nnncccd21，則nd為等比數(shù)列證明：nnnnnccccd121)(，qccddnnnn11為常數(shù)，nd為等比數(shù)列10、我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合m ：函數(shù)( )()yf xxd，對(duì)任意, ,2xyx yd均滿足1()( )( )22xyff xfy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立。（ 1）若定義在 (0， ) 上的函數(shù)( )f xm ，試比較(3)(5)ff與2 (4)f大小 . （ 2）設(shè)函數(shù)g(x) x2，求證： g(x) m. 解析 (1)對(duì)于1()( )( )22xyff xf y，令5,3 yx得(3)(5)ff0 ，k(x) 為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x（ 0，）時(shí)，k(x)4 且nn成立c. )(np對(duì) n4 且nn成立 d. )(np對(duì) n4 且nn不成立 解析 d 5.設(shè)) 1()2()1 ()(nfffnnf，用數(shù)學(xué)歸納法證明“)() 1()2()1 (nnfnfffn”時(shí)，第一步要證的等式是 解析 )2(2) 1(2ff6. 若存在正整數(shù)m，使得)(93)72()(nnnnfn能被m整除，則m= 解析 36. 36)1(f636)2(f1036)3(f，猜想：m=36