(力學(xué))第4章(修)

1、ee力的瞬時(shí)作用規(guī)律力的瞬時(shí)作用規(guī)律第二章第二章 牛頓第二定律牛頓第二定律 力對(duì)時(shí)間積累作用規(guī)律力對(duì)時(shí)間積累作用規(guī)律第三章第三章 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 力對(duì)空間積累作用規(guī)律力對(duì)空間積累作用規(guī)律？e第四章第四章 功和能功和能質(zhì)點(diǎn)受力的作用時(shí)，如果持續(xù)一段時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受力的作用時(shí)，如果持續(xù)一段時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量會(huì)改變；如果質(zhì)點(diǎn)由空間位置的變化，則力對(duì)位移的量會(huì)改變；如果質(zhì)點(diǎn)由空間位置的變化，則力對(duì)位移的累積（累積（）會(huì)使質(zhì)點(diǎn)的能量（）會(huì)使質(zhì)點(diǎn)的能量（）發(fā)生變化。）發(fā)生變化。對(duì)功和能的研究，是經(jīng)典力學(xué)中重要的組成部分。對(duì)功和能的研究，是經(jīng)典力學(xué)中重要的組成部分。與機(jī)械運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的能量守恒定律（與機(jī)械

2、運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的能量守恒定律（），是普遍的能量守恒定律的一種特殊形式。），是普遍的能量守恒定律的一種特殊形式。ee力在位移方向上的分量與位移大小的乘積力在位移方向上的分量與位移大小的乘積。1.1.功的定義功的定義cos rdfrdfdat設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力為設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力為 ，它的空間位置發(fā)生一無(wú)限小的位移，它的空間位置發(fā)生一無(wú)限小的位移位移元位移元 ，則該力做功，則該力做功 表示為表示為 rdfdardfda f rd a b l 注意注意：功是一個(gè)：功是一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量。有正有負(fù)：有正有負(fù)：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；900 0a d當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。 18090 0a dbardfa l質(zhì)點(diǎn)沿曲線質(zhì)點(diǎn)沿曲線 從從 到

3、到 ，整個(gè)路徑整個(gè)路徑上的上的功為元功之和：功為元功之和： lab線積分線積分e結(jié)論結(jié)論：合力的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數(shù)和。合力的功等于各分力沿同一路徑所做功的代數(shù)和。 iiibaibaiibaardfrdfrdfa 如果質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，計(jì)算它們等效合力如果質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到多個(gè)力的作用，計(jì)算它們等效合力的功：的功：dtdatapt0lim的定義的定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)所做的功。即單位時(shí)間內(nèi)所做的功。即2.2.合力的功合力的功3.3.功率功率e 設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和和m2之間的相互作之間的相互作用力為：用力為：4.4.一對(duì)力的功一對(duì)力的功2rd1rd12f21f1m2m12f21

4、f質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1 1受質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)點(diǎn)2 2的作用力；的作用力；質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)2 2受質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)點(diǎn)1 1的作用力。的作用力。 這兩個(gè)力的元功之和為：這兩個(gè)力的元功之和為：221112rdfrdfda221112rdfrdfda212112rdfrdf)(2112rdrdf)( )( 122211rrdrdrrdrd 表示表示m2 2相對(duì)于相對(duì)于m1 1的的相對(duì)相對(duì)位移。位移。 表示表示m1 1相對(duì)于相對(duì)于m2 2的的相對(duì)相對(duì)位移；位移； 與參照系的選取無(wú)關(guān)與參照系的選取無(wú)關(guān))(2112rrdfe 例例 已知地球質(zhì)量為已知地球質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的火箭從地面上升到距地面的火箭從地面上升到距

5、地面高度為高度為2r處在此過(guò)程中，地球引力對(duì)火箭作的功為處在此過(guò)程中，地球引力對(duì)火箭作的功為 _ o解：選擇地心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸如圖所示解：選擇地心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸如圖所示rgmmrrgmmrgmmdrrgmmarrrr32131332e例例一個(gè)力作用在質(zhì)量為一個(gè)力作用在質(zhì)量為1.0kg的質(zhì)點(diǎn)上，使之沿的質(zhì)點(diǎn)上，使之沿x軸運(yùn)動(dòng)。已知在此力作軸運(yùn)動(dòng)。已知在此力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 。在。在0到到4s的時(shí)間間隔內(nèi)：的時(shí)間間隔內(nèi)：（1）力）力 的沖量大小的沖量大小i=(2)力力 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功w=)(4332sitttxffrdfwdtfi解：解：amf2383ttd

6、tdxvtdtdva6816386840240ttdttfdti176383)68(68240dttttvdttfdxwe例例在如圖所示系統(tǒng)中（滑輪質(zhì)量不計(jì)，軸光滑），外力在如圖所示系統(tǒng)中（滑輪質(zhì)量不計(jì)，軸光滑），外力 通過(guò)不可伸長(zhǎng)的通過(guò)不可伸長(zhǎng)的繩子和倔強(qiáng)系數(shù)繩子和倔強(qiáng)系數(shù)k=200n/m的輕彈簧緩慢地拉地面上的物體，物體質(zhì)量的輕彈簧緩慢地拉地面上的物體，物體質(zhì)量m=2kg ,初始時(shí)彈簧為自然長(zhǎng)度，在把繩子拉下初始時(shí)彈簧為自然長(zhǎng)度，在把繩子拉下20cm的過(guò)程中，的過(guò)程中， 所做的功所做的功為（重力加速度為（重力加速度g取取10m/s2) ffjejdjcjbja20)(4)(3)(1 )(2

7、)(20cmf解：解：xfda平衡時(shí)：平衡時(shí)：m1 . 0kmgxmgkxkxficm100.jkxkxdxa12121 . 001mgfiicm2010.jmgmgdxa2) 1 . 02 . 0(2 . 01 . 02jaaa321ee力對(duì)空間的積累（即做功）會(huì)給質(zhì)點(diǎn)帶來(lái)怎樣的結(jié)果？力對(duì)空間的積累（即做功）會(huì)給質(zhì)點(diǎn)帶來(lái)怎樣的結(jié)果？引入引入 ：bavvbabatbavdvmrddtdvmrdfrdfa考慮合力的功：考慮合力的功： mpmvek22122222121abmvmva即即過(guò)程量過(guò)程量狀態(tài)量狀態(tài)量 在在b點(diǎn)的取值點(diǎn)的取值221mv狀態(tài)量狀態(tài)量 在在a點(diǎn)的取值點(diǎn)的取值221mvkakb

8、eea：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。功是能量傳遞或轉(zhuǎn)化的量度。功是能量傳遞或轉(zhuǎn)化的量度。1.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理e 例例 如圖所示隕石在距地面高如圖所示隕石在距地面高h(yuǎn)處時(shí)速度為處時(shí)速度為v0 0忽略空氣阻力，求隕忽略空氣阻力，求隕石落地的速度石落地的速度. .令地球質(zhì)量為令地球質(zhì)量為m,半徑為半徑為r,萬(wàn)有引力常量為萬(wàn)有引力常量為g v0h地球o解：解： 隕石落地過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功隕石落地過(guò)程中，萬(wàn)有引力的功 )(dd22hrrgmmhrrgmmrrgmmrdfarhrrhr根據(jù)動(dòng)能定理根據(jù)動(dòng)能定理 202v21v21mmea

9、k20v)(2vhrrhgme 例例 把一質(zhì)量為把一質(zhì)量為m0.4kg的物體，以初速度的物體，以初速度v 020m/s豎直向上拋出，測(cè)豎直向上拋出，測(cè)得上升的最大高度得上升的最大高度h16m，求空氣對(duì)它的阻力，求空氣對(duì)它的阻力f（設(shè)為恒力）等于多大？（設(shè)為恒力）等于多大？ 解：解：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量v 0mgf正正0kkkeeea20210mvhfmgnmghmvf1220e例例質(zhì)量為質(zhì)量為m的木快靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為的木快靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m、速度為、速度為 的子彈的子彈沿水平方向打入木塊并陷在其中，試計(jì)算相對(duì)于地面

10、木塊對(duì)子彈所做的功沿水平方向打入木塊并陷在其中，試計(jì)算相對(duì)于地面木塊對(duì)子彈所做的功w1及子彈對(duì)木塊所作的功及子彈對(duì)木塊所作的功w2。v解：木塊、子彈系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動(dòng)量守恒。解：木塊、子彈系統(tǒng)水平方向不受外力作用，動(dòng)量守恒。設(shè)子彈打入后二者的共同運(yùn)動(dòng)速度為設(shè)子彈打入后二者的共同運(yùn)動(dòng)速度為vvmmmv木塊對(duì)子彈所做的功：木塊對(duì)子彈所做的功： （對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理）（對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理）2221222121vmmmmmmmvmvewk子彈子彈對(duì)木塊所作的功：子彈對(duì)木塊所作的功： （對(duì)木塊應(yīng)用動(dòng)能定理）（對(duì)木塊應(yīng)用動(dòng)能定理）222222021mmvmmmvwe例例人造地球衛(wèi)星，繞地球作橢圓

11、軌道運(yùn)動(dòng)，地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，則人造地球衛(wèi)星，繞地球作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，則衛(wèi)星的衛(wèi)星的 (a)動(dòng)量不守恒，動(dòng)能守恒動(dòng)量不守恒，動(dòng)能守恒 (b)動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒 (c)對(duì)地心的角動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒對(duì)地心的角動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒(d)對(duì)地心的角動(dòng)量不守恒，動(dòng)能守恒對(duì)地心的角動(dòng)量不守恒，動(dòng)能守恒 解：解： 動(dòng)量守恒否，看合外力動(dòng)量守恒否，看合外力dtpdf外力為萬(wàn)有引力外力為萬(wàn)有引力常矢量pf0角動(dòng)量守恒否，看合外力矩角動(dòng)量守恒否，看合外力矩dtldm萬(wàn)有引力是有心力萬(wàn)有引力是有心力常矢量lm0角能守恒否，看合外力的功角能守恒否，看合外力的功kea萬(wàn)

12、有引力功萬(wàn)有引力功00112krrerrgmmrmmga衛(wèi)星距地心位置變化近地遠(yuǎn)地遠(yuǎn)地近地ce考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系：考慮兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系：即即kakbeeaainex2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理akbkbaeerdff, 1, 11121)(對(duì)對(duì)m1質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)：akbkbaeerdff, 2, 22212)(對(duì)對(duì)m2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)：babababardfrdfrdfrdf2211122211 相加，得相加，得)()(, 2, 1, 2, 1akakbkbkeeeekakbakkbkkeeeeee)()(2121可推廣到多質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系?？赏茝V到多質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系。：質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系外力功和

13、內(nèi)力功的總和等于總動(dòng)能的增量。外力功和內(nèi)力功的總和等于總動(dòng)能的增量。12f21f2rd1rd1m2mbardf112babardfrdf2211 內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。ee babardrrmgmrdfa223221221引考慮質(zhì)點(diǎn)系中的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)考慮質(zhì)點(diǎn)系中的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1 1和和m2 2之之間的萬(wàn)有引力間的萬(wàn)有引力一對(duì)力的功：一對(duì)力的功：（1 1）做功做功結(jié)論：結(jié)論：萬(wàn)有引力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于萬(wàn)有引力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置。質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置。保守力與非保守力

14、保守力與非保守力barrbardrmgmrdrrmgm22221223221abrmgmrmgma2121引12f21f1m2m2rabarbrebabardrrrrkrdfa)(0彈（2 2）彈簧的）彈簧的做功做功arbrfomrab考慮一勁度系數(shù)為考慮一勁度系數(shù)為k 的的彈簧系著彈簧系著一質(zhì)點(diǎn)一質(zhì)點(diǎn) m，彈簧一端固定于，彈簧一端固定于o點(diǎn)，彈點(diǎn)，彈性力性力 的功：的功：fbarrbadrrrkrdrrrrk)()(002020)(21)(21rrkrrkba222121baksksa彈為彈簧的伸長(zhǎng)量為彈簧的伸長(zhǎng)量0rrs：彈性力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定彈性力的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)

15、路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置（決定了彈簧伸長(zhǎng)量）（決定了彈簧伸長(zhǎng)量）。e（3 3）保守力和非保守力）保守力和非保守力222121baksksa彈abrmgmrmgma2121引 做功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終做功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)初、終態(tài)的相對(duì)位置，具有這種性質(zhì)的力稱為態(tài)的相對(duì)位置，具有這種性質(zhì)的力稱為。 反之，做反之，做功與相對(duì)路徑有關(guān)的力稱為功與相對(duì)路徑有關(guān)的力稱為。與之等價(jià)的另一種定義與之等價(jià)的另一種定義：一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，它們的相互一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，它們的相互作用力做功為零

16、，則該力就是保守力。作用力做功為零，則該力就是保守力。lbal0babardfrdfllabbaalalbrdfrdfrdflle引入勢(shì)能的概念：引入勢(shì)能的概念：保守力做功等于保守力做功等于的減少量。的減少量。勢(shì)能勢(shì)能221ksep222121baksksa彈abrmgmrmgma2121引abssksa221彈abrrrmgma21引pea保rmgmep21說(shuō)明：說(shuō)明： 勢(shì)能是與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能是與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置相對(duì)位置相關(guān)的能量。相關(guān)的能量。e 實(shí)際上只能定義勢(shì)能的減少量（或增加量），勢(shì)能的數(shù)實(shí)際上只能定義勢(shì)能的減少量（或增加量），勢(shì)能的數(shù)值無(wú)意義值無(wú)意義勢(shì)能零點(diǎn)具有相對(duì)意義。勢(shì)

17、能零點(diǎn)具有相對(duì)意義。cksep221pea保crmgmep21 不同的保守力引入的勢(shì)能也不同。不同的保守力引入的勢(shì)能也不同。rmgmep21：221ksep：一般引力勢(shì)能的零點(diǎn)取質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)窮遠(yuǎn)，一般引力勢(shì)能的零點(diǎn)取質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)窮遠(yuǎn)， ，0rpe0c一般彈性勢(shì)能的零點(diǎn)取彈簧無(wú)伸縮狀態(tài)，一般彈性勢(shì)能的零點(diǎn)取彈簧無(wú)伸縮狀態(tài)， ，00spe0crdfaepeap0)(保a點(diǎn)勢(shì)能可表為點(diǎn)勢(shì)能可表為e小結(jié)：小結(jié)：只有系統(tǒng)的內(nèi)力為保守力，才可引入相應(yīng)的勢(shì)能。只有系統(tǒng)的內(nèi)力為保守力，才可引入相應(yīng)的勢(shì)能。計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相

18、應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)的過(guò)程中保守力所做的功。的過(guò)程中保守力所做的功。勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考點(diǎn)。勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考點(diǎn)。兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)。的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)。勢(shì)能是屬于具有保守力內(nèi)力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。是一勢(shì)能是屬于具有保守力內(nèi)力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。是一種相互作用能。種相互作用能。e勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線 引力勢(shì)能曲線引力勢(shì)能曲線perormgmep2102121rmgmrmgmep0r引力勢(shì)能是空間變量引力勢(shì)

19、能是空間變量 r 的函數(shù)的函數(shù)勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)是在地球是在地球表面小區(qū)域內(nèi)的引力勢(shì)能：表面小區(qū)域內(nèi)的引力勢(shì)能：mghhrgmmhhrrgmmrmgmhrmgmeeeeeeeeeep2 )( re hpehomgheperh0pee 彈性勢(shì)能曲線彈性勢(shì)能曲線221kseppeso2022121ksksep0s0s彈性勢(shì)能曲線為拋物線，彈性勢(shì)能曲線為拋物線，存在極小值。勢(shì)能極小值點(diǎn)是存在極小值。勢(shì)能極小值點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。xo0l 例例 討論懸掛彈簧的勢(shì)能。討論懸掛彈簧的勢(shì)能。0pe設(shè)平衡點(diǎn)處設(shè)平衡點(diǎn)處20220202121 )(21)(21kxmgxxlkkxmgxlklxkepm

20、glk0oxx平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)自然長(zhǎng)自然長(zhǎng)0l)(0llsxxlse（取彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)）（取彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)）（取無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）（取無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）常見(jiàn)的勢(shì)能常見(jiàn)的勢(shì)能（取高度（取高度 處為勢(shì)能零點(diǎn)）處為勢(shì)能零點(diǎn)）0hrmgmep21221ksep)(0hhmgep 研究問(wèn)題中若涉及多種勢(shì)能，可以為每一種勢(shì)能研究問(wèn)題中若涉及多種勢(shì)能，可以為每一種勢(shì)能選擇一個(gè)零勢(shì)能參考點(diǎn)。選擇一個(gè)零勢(shì)能參考點(diǎn)。eeppee保守力保守力勢(shì)勢(shì) 能能積分積分微分微分保守力及其勢(shì)能都是空間分布的函數(shù)保守力及其勢(shì)能都是空間分布的函數(shù)（力場(chǎng)，勢(shì)函數(shù)）（力場(chǎng)，勢(shì)函數(shù)）nplerfrfaplelflefplzefy

21、efxefpzpypx lrrlefpl取極限得取極限得方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：坐標(biāo)方向上的方向坐標(biāo)方向上的方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)peflekzejyeixekfjfiffpppzyx保守力等于相聯(lián)系的勢(shì)能的保守力等于相聯(lián)系的勢(shì)能的梯度梯度的負(fù)值，即的負(fù)值，即ppeezkyjxipefzkyjxi梯度算符梯度算符“grad”：eepkeee引入引入：考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：kakbeeaainex內(nèi)力內(nèi)力保守力保守力非保守力非保守力cons-nin,consin,inaaakakbeeaaacons-nin,consin,ex)(consin,papbeea)()(pakapb

22、kbeeeeconsin,cons-nin,exaeeaakakb)(papbkakbeeeeapkbpkeeee)()(質(zhì)點(diǎn)系所受外力的功與非保守性內(nèi)力的功的總和質(zhì)點(diǎn)系所受外力的功與非保守性內(nèi)力的功的總和等于機(jī)械能的增量。等于機(jī)械能的增量。eaacons-nin,exe例例一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在指向圓心的平方反比力的質(zhì)點(diǎn)在指向圓心的平方反比力 的作用的作用下，作半徑為下，作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。此質(zhì)點(diǎn)的速率的圓周運(yùn)動(dòng)。此質(zhì)點(diǎn)的速率v=.若取距圓心若取距圓心無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，它的機(jī)械能無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，它的機(jī)械能e= .2/rkf解：解：mrkvrvmrkmafn22rkrkrkmvrk

23、eeekp22212rkrkrkrkdrrkerrrrp2質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)的過(guò)程中保守力所做的功。由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)的過(guò)程中保守力所做的功。e說(shuō)明說(shuō)明： 機(jī)械能守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，它在機(jī)械能守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，它在慣性系慣性系中適用。中適用。eaacons-nin,ex如果如果 ，則，則 常量。常量。0cons-nin,ex aae：在只有保守性內(nèi)力做功的情況下，在只有保守性內(nèi)力做功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變。：在封閉系統(tǒng)中，無(wú)論其內(nèi)部經(jīng)在

24、封閉系統(tǒng)中，無(wú)論其內(nèi)部經(jīng)歷怎樣的變化，該系統(tǒng)的所有能量的總和保持不變。歷怎樣的變化，該系統(tǒng)的所有能量的總和保持不變。 機(jī)械能守恒定律是普遍的機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的特例。中的特例。機(jī)械能機(jī)械能 其他形式的能量其他形式的能量cons-nin,exaa守恒守恒e對(duì)質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組：外力外力內(nèi)力內(nèi)力保守內(nèi)力保守內(nèi)力非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力kkakbeeeaaa內(nèi)外0內(nèi)外aa守恒kepkeeeaa非保守內(nèi)力外0非保守內(nèi)力外aa守恒e對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)： 只有外力只有外力kkakbeeebardfaa外小結(jié)：小結(jié)：e綜合題類型綜合題類型功能功能 + 運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué) 功能

25、功能 + 牛頓定律牛頓定律功能功能 + 動(dòng)量動(dòng)量(或角動(dòng)量或角動(dòng)量)其他其他 作題過(guò)程中要重點(diǎn)分析作題過(guò)程中要重點(diǎn)分析 過(guò)程、系統(tǒng)、條件過(guò)程、系統(tǒng)、條件e 例例 求第一宇宙速度、第二宇宙速度。求第一宇宙速度、第二宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度物體繞地球運(yùn)行的最小速度；物體繞地球運(yùn)行的最小速度；第二宇宙速度第二宇宙速度物體脫離地球引力的最小速度。物體脫離地球引力的最小速度。解：（解：（1 1）第一宇宙速度）第一宇宙速度設(shè)物體繞地球以半徑設(shè)物體繞地球以半徑 r 做圓周運(yùn)動(dòng)做圓周運(yùn)動(dòng)。rvmrmgme22rmgmmvrmgmmveee2202121rrrgmveee220eeegrrgmv21k

26、m/s 9 . 71egrv10 vvrre時(shí)，時(shí)， 有最小值有最小值e（2 2）第二宇宙速度）第二宇宙速度物體脫離地球引力的條件是：當(dāng)物體離地球無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，物體脫離地球引力的條件是：當(dāng)物體離地球無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，速率剛好為零。速率剛好為零。02122ermgmmveeeeegrrgmv2222km/s 2 .1122egrve 例例 如圖所示，一輕繩兩端各系一球形物體，質(zhì)量分別為如圖所示，一輕繩兩端各系一球形物體，質(zhì)量分別為m m和和m m ( (m m m m) )，跨，跨放在一個(gè)光滑的固定的半圓柱體上，圓柱半徑為放在一個(gè)光滑的固定的半圓柱體上，圓柱半徑為r r，兩球剛好貼在圓柱截，兩球剛好貼在圓柱

27、截面的水平直徑面的水平直徑abab兩端今讓兩個(gè)小球及輕繩從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知兩端今讓兩個(gè)小球及輕繩從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知m m到達(dá)到達(dá)圓柱側(cè)面最高點(diǎn)圓柱側(cè)面最高點(diǎn)c c時(shí)剛好要脫離圓柱體，求：時(shí)剛好要脫離圓柱體，求： (1) (1) m m到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)m m的速度的速度 (2) (2) m m與與m m的比值的比值 mmbcad解：設(shè)解：設(shè)m剛好到達(dá)圓柱側(cè)面最高點(diǎn)剛好到達(dá)圓柱側(cè)面最高點(diǎn)c時(shí)速度為時(shí)速度為v，這時(shí)，這時(shí)m剛要脫離圓柱體，即剛要脫離圓柱體，即柱體對(duì)柱體對(duì)m的支持力的支持力n = 0，因而有，因而有 rmmg/2v2/1)(rgv又，這時(shí)繩仍處于緊張狀態(tài)又，這時(shí)繩仍處于緊張

28、狀態(tài), m與與m具有相同的速率具有相同的速率 取取m、m、繩子和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，選定、繩子和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，選定m、m開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)所在水平面為勢(shì)能的參考平面，規(guī)定勢(shì)能為零，由于機(jī)械能守恒有所在水平面為勢(shì)能的參考平面，規(guī)定勢(shì)能為零，由于機(jī)械能守恒有 2221)2/(210vvmmgrrmgm將將 代入上式解得代入上式解得 rg2v13mme01)(kxgmb彈簧自然長(zhǎng)度)(a)()(101xxkfgmcgmkxd22)(撤去外力后，從撤去外力后，從 變化到變化到 的過(guò)程中，系統(tǒng)除受到重力和彈力（保守內(nèi)力）的過(guò)程中，系統(tǒng)除受到重力和彈力（保守內(nèi)力）外，只受到地面的壓力，

29、但剛提離地面說(shuō)明臨界狀態(tài)，沒(méi)有位移，所以地面外，只受到地面的壓力，但剛提離地面說(shuō)明臨界狀態(tài)，沒(méi)有位移，所以地面壓力沒(méi)有做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。壓力沒(méi)有做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。)(c)(d取取o為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，b為重力勢(shì)能零點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)210)(210(0 xxkeb（重力勢(shì)能）動(dòng)能）22210121)(0kxxxxgmec動(dòng)能）cbee gmmf)(21解得：ee碰撞的特點(diǎn)碰撞的特點(diǎn)物體由接近、產(chǎn)生強(qiáng)烈的相互作用，到分離的過(guò)程。物體由接近、產(chǎn)生強(qiáng)烈的相互作用，到分離的過(guò)程。碰撞中總動(dòng)量和總機(jī)械能碰撞中總動(dòng)量和總機(jī)械能：持續(xù)時(shí)間短、作用力大持續(xù)時(shí)間短、作用力大 物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化明

30、顯物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化明顯（有動(dòng)量、能量傳遞）（有動(dòng)量、能量傳遞）動(dòng)量動(dòng)量 不變不變，動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒。外內(nèi)ff減少減少（形變部分恢復(fù)）（形變部分恢復(fù)） 非彈性碰撞非彈性碰撞不變不變（形變完全恢復(fù)）（形變完全恢復(fù)） 減少最嚴(yán)重減少最嚴(yán)重（形變無(wú)恢復(fù)）（形變無(wú)恢復(fù)） 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞機(jī)械能機(jī)械能e碰撞問(wèn)題的求解碰撞問(wèn)題的求解設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞。設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞。碰撞前動(dòng)量為碰撞前動(dòng)量為 ，10p20p碰撞后動(dòng)量為碰撞后動(dòng)量為 ，1p2p212010pppp 例：完全非彈性碰撞（三維）：例：完全非彈性碰撞（三維）：vvv212211202101vmvmvmvmcvmmvmvmv212

31、02101彈性碰撞彈性碰撞 212010kkkkeeee完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 21vv（形變無(wú)恢復(fù)）（形變無(wú)恢復(fù)）e2222112202210121212121vmvmvmvm2211202101vmvmvmvm20211210211220212102121122vmmmmvmmmvvmmmvmmmmv10210vvv 21mm 討論：討論：設(shè)設(shè)020v 21mm 1021012vvvv02101vvv 21mm 201012vvvv 例：完全彈性碰撞（一維）：例：完全彈性碰撞（一維）：e 例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m1 的小球以的小球以 v0 的速率與前方靜止的質(zhì)量的速率與前方靜止的質(zhì)

32、量為為 m2 的另一小球發(fā)生彈性碰撞。的另一小球發(fā)生彈性碰撞。 m2 獲得動(dòng)量后又與前方第獲得動(dòng)量后又與前方第三個(gè)質(zhì)量為三個(gè)質(zhì)量為m3 的小球發(fā)生彈性碰撞。兩次碰撞均發(fā)生在同一的小球發(fā)生彈性碰撞。兩次碰撞均發(fā)生在同一條直線上。求條直線上。求m2為多大時(shí)，第三個(gè)小球可以獲得最大的速度。為多大時(shí)，第三個(gè)小球可以獲得最大的速度。解：第一次碰撞后解：第一次碰撞后 m1 和和 m2 分別獲得分別獲得 v1 和和 v2 的的速度，第二速度，第二次碰撞后次碰撞后 m3獲得獲得 v3 的速度。的速度。 m1 m2 m3 v020211210211220212102121122vmmmmvmmmvvmmmvmm

33、mmv021122vmmmv232232vmmmv032221122vmmmmmmv2 023dmdv312mmm 1021122vmmmve 例例 一炮彈發(fā)射后在其運(yùn)行軌道上的最高點(diǎn)一炮彈發(fā)射后在其運(yùn)行軌道上的最高點(diǎn)h h19.6m19.6m處炸裂處炸裂成質(zhì)量相等的兩塊。其中一塊在爆炸后成質(zhì)量相等的兩塊。其中一塊在爆炸后1 1秒鐘落到爆炸點(diǎn)正秒鐘落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，設(shè)此處與發(fā)射點(diǎn)的距離下方的地面上，設(shè)此處與發(fā)射點(diǎn)的距離s s1 110001000米米, ,問(wèn)另一問(wèn)另一塊落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的距離是多少？（空氣阻力不計(jì)，塊落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的距離是多少？（空氣阻力不計(jì)，g=9.8m/sg=9.8m

34、/s2 2) )v v2 2yhxv v1 1解：未爆炸前炮彈解：未爆炸前炮彈smvstgtvvghtvsvxyxyy/5002)(2021炮彈到最高點(diǎn)e爆炸中系統(tǒng)動(dòng)量守恒爆炸中系統(tǒng)動(dòng)量守恒smvvsmvvmvmvmvmvyyxxyyxx/7 .14 /100020212121122122為第一塊落地時(shí)間tsmvvgttvhy/7.1421112111落在正下方的落在正下方的1 1：v v2 2yhxv v1 1e第二塊作斜拋運(yùn)動(dòng)第二塊作斜拋運(yùn)動(dòng)22222221221gttvhytvsxyx落地時(shí)，落地時(shí)，y y2 2=0 =0 所以所以t t2 2=4s=4st t2 21s(1s(舍去）舍去）x x2 2=5000m=5000mee流體：能夠流動(dòng)的物質(zhì)流體：能夠流動(dòng)的物質(zhì) 液體、氣體液體、氣體。流體靜力學(xué)流體靜力學(xué) 流體動(dòng)力