系統(tǒng)仿真 第 6 章 輸入數(shù)據(jù)的分析

1、 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management第六章 輸入數(shù)據(jù)的分析 6.1 6.1 數(shù)據(jù)的收集數(shù)據(jù)的收集6.2 6.2 分布的識(shí)別分布的識(shí)別 6.3 6.3 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 6.4 6.4 擬合度檢驗(yàn)擬合度檢驗(yàn) 6.5 6.5 相關(guān)性分析相關(guān)性分析 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management引引 言言輸入數(shù)據(jù)是仿真實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力輸入數(shù)據(jù)是仿真實(shí)驗(yàn)的動(dòng)力系統(tǒng)名稱系統(tǒng)名稱典型的輸入數(shù)據(jù)典型的輸入數(shù)據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng) 顧客到達(dá)的間隔時(shí)間顧客

2、到達(dá)的間隔時(shí)間 顧客被服務(wù)時(shí)間的分布顧客被服務(wù)時(shí)間的分布庫(kù)存系統(tǒng)庫(kù)存系統(tǒng) 需求顧客的分布需求顧客的分布 顧客需求量的分布顧客需求量的分布 物料訂貨的提前期分布物料訂貨的提前期分布生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)系統(tǒng) 作業(yè)到達(dá)的間隔時(shí)間作業(yè)到達(dá)的間隔時(shí)間 作業(yè)類型的概率作業(yè)類型的概率 每種作業(yè)每道工序服務(wù)時(shí)間的分布每種作業(yè)每道工序服務(wù)時(shí)間的分布可靠性系統(tǒng)可靠性系統(tǒng) 生產(chǎn)無(wú)故障作業(yè)時(shí)間生產(chǎn)無(wú)故障作業(yè)時(shí)間 系統(tǒng)的仿真依靠這些原型系統(tǒng)的運(yùn)行數(shù)據(jù)，缺乏這系統(tǒng)的仿真依靠這些原型系統(tǒng)的運(yùn)行數(shù)據(jù)，缺乏這些數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)值的提取，仿真也就毫無(wú)意義。些數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)值的提取，仿真也就毫無(wú)意義。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管

3、 理理 系系Industrial Engineering & Management引 言收集原始數(shù)據(jù)收集原始數(shù)據(jù) 基本統(tǒng)計(jì)分布基本統(tǒng)計(jì)分布的辨識(shí)的辨識(shí) 參參 數(shù)數(shù) 估估 計(jì)計(jì) 擬合度檢驗(yàn)擬合度檢驗(yàn) 可信否？可信否？否是是輸入數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，需要分析的經(jīng)驗(yàn)，是輸入數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，需要分析的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)收集的方法、數(shù)據(jù)需要做預(yù)先的設(shè)計(jì)和估對(duì)收集的方法、數(shù)據(jù)需要做預(yù)先的設(shè)計(jì)和估算。因此這是一個(gè)關(guān)鍵的、細(xì)致的工作。算。因此這是一個(gè)關(guān)鍵的、細(xì)致的工作。通過(guò)統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)手段（計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)、頻率分析、通過(guò)統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)手段（計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)、頻率分析、直方圖制作等），得出統(tǒng)計(jì)分布的假設(shè)函數(shù)直方圖制作等），得出統(tǒng)計(jì)分布的假

4、設(shè)函數(shù)（如：正態(tài)分布、負(fù)指數(shù)分布、（如：正態(tài)分布、負(fù)指數(shù)分布、Erlang分布分布等）等）根據(jù)統(tǒng)計(jì)特征，計(jì)算確定系統(tǒng)的假設(shè)分布參根據(jù)統(tǒng)計(jì)特征，計(jì)算確定系統(tǒng)的假設(shè)分布參數(shù)。數(shù)。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分布的檢驗(yàn)方法，對(duì)假設(shè)的分布函運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分布的檢驗(yàn)方法，對(duì)假設(shè)的分布函數(shù)進(jìn)行可信度檢驗(yàn)。通常采用的是數(shù)進(jìn)行可信度檢驗(yàn)。通常采用的是 2檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。輸入數(shù)據(jù)模型確定的 基本方法正確輸入數(shù)據(jù)正確輸入數(shù)據(jù) 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management數(shù)據(jù)的收集 什么是數(shù)據(jù)收集？什么是數(shù)據(jù)收集？ 數(shù)據(jù)收集的意義？數(shù)據(jù)收集的意義？ 數(shù)據(jù)收集的基本態(tài)

5、度？數(shù)據(jù)收集的基本態(tài)度？數(shù)據(jù)收集是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)據(jù)收集是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)系統(tǒng)分析或經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，以系統(tǒng)的特征為目標(biāo)，析或經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，以系統(tǒng)的特征為目標(biāo)，收集與此有關(guān)的資料、數(shù)據(jù)、信息等反收集與此有關(guān)的資料、數(shù)據(jù)、信息等反映特征的相關(guān)數(shù)據(jù)。映特征的相關(guān)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的收集是一項(xiàng)工作量很大的工作，數(shù)據(jù)的收集是一項(xiàng)工作量很大的工作，也是在仿真中最重要、最困難的問(wèn)題。也是在仿真中最重要、最困難的問(wèn)題。即使一個(gè)模型結(jié)構(gòu)是正確的，但若收集即使一個(gè)模型結(jié)構(gòu)是正確的，但若收集的輸入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)不正確，或數(shù)據(jù)分析不的輸入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)不正確，或數(shù)據(jù)分析不對(duì)，或這些數(shù)據(jù)不能代表實(shí)際情況，那對(duì)，或這些數(shù)據(jù)不能代表實(shí)際

6、情況，那么利用這樣的數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù)必將么利用這樣的數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù)必將導(dǎo)致錯(cuò)誤，造成損失和浪費(fèi)。導(dǎo)致錯(cuò)誤，造成損失和浪費(fèi)。數(shù)據(jù)收集工作應(yīng)該具有科學(xué)的態(tài)度、忠數(shù)據(jù)收集工作應(yīng)該具有科學(xué)的態(tài)度、忠于現(xiàn)實(shí)的工作作風(fēng)。應(yīng)該將數(shù)據(jù)收集工于現(xiàn)實(shí)的工作作風(fēng)。應(yīng)該將數(shù)據(jù)收集工作、仿真工作的意義讓參與者明確，得作、仿真工作的意義讓參與者明確，得到參與者的支持和理解。到參與者的支持和理解。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management數(shù)據(jù)收集過(guò)程中的注意事項(xiàng) 做好仿真計(jì)劃，詳細(xì)規(guī)劃仿真所需要收集的數(shù)據(jù)在收集數(shù)據(jù)過(guò)程中要注意分析數(shù)據(jù)

7、數(shù)據(jù)的均勻組合收集的數(shù)據(jù)要滿足獨(dú)立性的要求數(shù)據(jù)自相關(guān)性的檢驗(yàn) 根據(jù)問(wèn)題的特征，進(jìn)行仿真的前期研究。分析影響系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。從相關(guān)事物的觀察入手，盡量收集相關(guān)的數(shù)據(jù)。為此可以事先設(shè)計(jì)好調(diào)研表格，并注意不斷完善和修改調(diào)研方式，使收集的數(shù)據(jù)更符合仿真對(duì)象的數(shù)據(jù)需要。數(shù)據(jù)的收集與仿真的試運(yùn)行是密切相關(guān)的，應(yīng)當(dāng)是邊收集數(shù)據(jù)、邊進(jìn)行仿真的試運(yùn)行。然而系統(tǒng)仿真是一項(xiàng)專業(yè)性很強(qiáng)的工作，要正確認(rèn)識(shí)“仿真”的含義，抓住仿真研究的關(guān)鍵，避免求全、求“精”。確信所收集的數(shù)據(jù)足以確定仿真中的輸入分量，而對(duì)仿真無(wú)用或影響不顯著的數(shù)據(jù)就沒(méi)有必要去多加收集。針對(duì)仿真所收集的各個(gè)數(shù)據(jù)需要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。為了確定在兩個(gè)變量之間是

8、否存在相關(guān)。要建立兩個(gè)變量的散布圖。通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法確定相關(guān)的顯著性。盡量把均勻數(shù)據(jù)組合在一組里。校核在相繼的時(shí)間周期里以及在相繼日子內(nèi)的一時(shí)間周期里的數(shù)據(jù)的均勻性。當(dāng)校核均勻性時(shí)，初步的檢驗(yàn)是看一下分布的均值是相同?？疾煲粋€(gè)似乎是獨(dú)立的觀察序列數(shù)據(jù)存在自相關(guān)的可能性。自相關(guān)可能存在于相繼的時(shí)間周期或相繼的顧客中。例如，第i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間與(i+n)個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間相關(guān)。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management直方圖 對(duì)于離散系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析中，一般用頻率統(tǒng)計(jì)的分對(duì)于離散系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析中，一般用頻率統(tǒng)計(jì)的分析方法

9、來(lái)計(jì)算分布函數(shù)。其圖形描述用的就是析方法來(lái)計(jì)算分布函數(shù)。其圖形描述用的就是直方圖直方圖。直方圖直方圖構(gòu)筑方法構(gòu)筑方法取取值值區(qū)區(qū)間間劃劃分分水水平平 區(qū)區(qū)坐坐 間間標(biāo)標(biāo) 標(biāo)標(biāo)軸軸 注注的的計(jì)計(jì) 區(qū)區(qū)算算 間間確確 內(nèi)內(nèi)定定 的的每每 發(fā)發(fā)一一 生生 數(shù)數(shù)垂垂直直 標(biāo)標(biāo)坐坐 注注標(biāo)標(biāo) 頻頻軸軸 數(shù)數(shù)上上繪繪 上上制制 的的各各 發(fā)發(fā)個(gè)個(gè) 生生區(qū)區(qū) 頻頻間間 數(shù)數(shù)繪繪制制直直方方圖圖區(qū)間中的次數(shù)。落在inNnPiii; 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management直方圖分組區(qū)間數(shù)量的選取F分組區(qū)間的組數(shù)依賴于觀察次數(shù)以

10、及數(shù)據(jù)的分散或散布的程度。F一般分組區(qū)間組數(shù)近似等于樣本量的平方根。即： Nm 如果區(qū)間太寬（m太小），則直方圖太粗或呈短粗狀，這樣，它的形狀不能良好地顯示出來(lái)。如果區(qū)間太窄，則直方圖顯得凹凸不平不好平滑 合適的區(qū)間選擇（m值）是直方圖制作，分布函數(shù)分析的基礎(chǔ)。 0 05 51010151520202525012345678頻率13579 11 13 15 17 19 21 23 25 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management直方圖分組區(qū)間數(shù)量的選取024681012頻率1357911 13 15 17 19

11、21 23 25x合適的區(qū)間選擇（m值）是直方圖制作，分布函數(shù)分析的基礎(chǔ)。對(duì)直方圖進(jìn)行曲線擬合，擬合所得到的曲線應(yīng)該就是該隨機(jī)變量的概率或密度函數(shù)。密度函數(shù)是一個(gè)一般概率函數(shù)。通常，我們通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的假設(shè)，將概率分布假設(shè)成標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)形式。如：負(fù)指數(shù)分布、泊桑分布等。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management參數(shù)估計(jì)的作用 上一節(jié)通過(guò)對(duì)隨機(jī)過(guò)程的樣本值的直方圖分析，我上一節(jié)通過(guò)對(duì)隨機(jī)過(guò)程的樣本值的直方圖分析，我們已經(jīng)得到了隨機(jī)過(guò)程的分布假設(shè)，即假設(shè)隨機(jī)過(guò)程的們已經(jīng)得到了隨機(jī)過(guò)程的分布假設(shè)，即假設(shè)隨機(jī)過(guò)程的概率分

12、布符合某一種標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)分布。這是一種通過(guò)對(duì)概率分布符合某一種標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)分布。這是一種通過(guò)對(duì)隨機(jī)分布的認(rèn)識(shí)而作出的定性分析結(jié)果。在給定了一種隨機(jī)分布的認(rèn)識(shí)而作出的定性分析結(jié)果。在給定了一種隨機(jī)分布函數(shù)后，需要進(jìn)一步獲取這一分布函數(shù)的特征隨機(jī)分布函數(shù)后，需要進(jìn)一步獲取這一分布函數(shù)的特征參數(shù)，這一標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)的參數(shù)需通過(guò)參數(shù)估計(jì)來(lái)求得。參數(shù)，這一標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)的參數(shù)需通過(guò)參數(shù)估計(jì)來(lái)求得。因此，參數(shù)估計(jì)在這里是為了對(duì)隨機(jī)分布函數(shù)參數(shù)求取因此，參數(shù)估計(jì)在這里是為了對(duì)隨機(jī)分布函數(shù)參數(shù)求取的一個(gè)工具。的一個(gè)工具。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering &a

13、mp; Management樣本均值和樣本方差 設(shè)某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X，其，其n個(gè)抽樣樣本為個(gè)抽樣樣本為x1，x2，xn，該樣本的均值為，該樣本的均值為 該樣本的方差為該樣本的方差為 如果離散數(shù)據(jù)已按頻數(shù)分組，則如果離散數(shù)據(jù)已按頻數(shù)分組，則 niixnX11 212211XnxnSnii kiiixfnX11 212211XnxfnSkiiik是X中不相同數(shù)值的個(gè)數(shù)即分組數(shù)，f是X中數(shù)值Xj的觀察頻數(shù) 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management參數(shù)估計(jì)量XX1bmax1xnnb2,X22S分分 布布參

14、參 數(shù)數(shù)建議使用的估計(jì)量建議使用的估計(jì)量泊松泊松指數(shù)指數(shù)在（在（0，b）上）上的均勻分布的均勻分布正態(tài)正態(tài)，仿真中常用的一些分布參數(shù)建議值仿真中常用的一些分布參數(shù)建議值 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management 為了測(cè)試隨機(jī)樣本量為為了測(cè)試隨機(jī)樣本量為n的的隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從某一特定分布形服從某一特定分布形式的假設(shè)，常用式的假設(shè)，常用 2 2擬合度檢驗(yàn)。擬合度檢驗(yàn)。 這種檢驗(yàn)方法首先是把這種檢驗(yàn)方法首先是把n個(gè)個(gè)觀察值分成觀察值分成k個(gè)分組區(qū)間或單元。個(gè)分組區(qū)間或單元。檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量由下式給出（檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量由

15、下式給出（k為為分布的階數(shù)）分布的階數(shù)）式中，式中，Oi是在第是在第i個(gè)分組區(qū)間的個(gè)分組區(qū)間的觀察頻數(shù)。觀察頻數(shù)。 Oi = ni /n iiiEEO220 0 02 24 46 68 8101012121 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020 2121 2222 2323 2424 2525k=6Ei 是在該分組區(qū)間的期望頻數(shù)。每是在該分組區(qū)間的期望頻數(shù)。每一分組區(qū)間的期望頻數(shù)是一分組區(qū)間的期望頻數(shù)是 Ei = n pi， 這里的這里的pi是理論值，是對(duì)應(yīng)第是理論值，是對(duì)

16、應(yīng)第i個(gè)個(gè)分組區(qū)間的假設(shè)概率。分組區(qū)間的假設(shè)概率。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management可以證明：02近似服從具有自由度 f = k-s-1的2分布。這里 s 表示由采樣統(tǒng)計(jì)量所估計(jì)的假設(shè)分布的參數(shù)個(gè)數(shù)。假設(shè)檢驗(yàn)作零假設(shè)：H0：觀察值Xi是一組屬于分組分布函數(shù)F的獨(dú)立相同分布的隨機(jī)變量。若2太大則拒絕H0，若擬合是好的，則期望值2很小。首先劃分區(qū)間，定義k值計(jì)算各組的觀察頻數(shù)計(jì)算0查閱2表，得到該值反映的是假設(shè)分布的擬合程度。值202P擬合度檢驗(yàn)步驟擬合程度的判定 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理

17、系系Industrial Engineering & Management指定擬合度的檢驗(yàn)指定擬合度的檢驗(yàn) 我們可以根據(jù)擬合度檢驗(yàn)的要求，設(shè)定一個(gè)擬合度的我們可以根據(jù)擬合度檢驗(yàn)的要求，設(shè)定一個(gè)擬合度的顯著性指數(shù)顯著性指數(shù) ，根據(jù)設(shè)定的，根據(jù)設(shè)定的顯著性指數(shù)顯著性指數(shù) 以及以及 2分布的分布的自由度數(shù)自由度數(shù)f = k- -s- -1，可以查，可以查 2表得到表得到 ，f2 。 如果如果 則檢驗(yàn)未通過(guò)，則檢驗(yàn)未通過(guò)，H0不成立。不成立。 如果如果 則檢驗(yàn)通過(guò)，則檢驗(yàn)通過(guò)， H0成立。成立。2,20f2,20f在應(yīng)用這個(gè)檢驗(yàn)時(shí)，如果期望的頻數(shù)太小，將對(duì)檢驗(yàn)的有效性有在應(yīng)用這個(gè)檢驗(yàn)時(shí)，如果期

18、望的頻數(shù)太小，將對(duì)檢驗(yàn)的有效性有所影響。一般情況下區(qū)間的個(gè)數(shù)所影響。一般情況下區(qū)間的個(gè)數(shù)k宜在宜在3040以下，并能使最小期以下，并能使最小期望頻數(shù)望頻數(shù)Ei5。如果。如果Ei值太小，可以把它和相鄰分組區(qū)間的期望頻值太小，可以把它和相鄰分組區(qū)間的期望頻數(shù)相合并，對(duì)應(yīng)的數(shù)相合并，對(duì)應(yīng)的Oi值也應(yīng)該合并起來(lái)，同時(shí)每當(dāng)合并一個(gè)單元，值也應(yīng)該合并起來(lái)，同時(shí)每當(dāng)合并一個(gè)單元，k值應(yīng)該減去值應(yīng)該減去1。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management 例題 某事件我們通過(guò)長(zhǎng)期觀察，得到了該事件的觀測(cè)值20000個(gè)，試求該數(shù)據(jù)集的

19、概率分布函數(shù)，并對(duì)分布的擬合度進(jìn)行檢驗(yàn)。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management相關(guān)性分析相關(guān)性分析 系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，隨機(jī)變量有多個(gè)，如激勵(lì)存在多種系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，隨機(jī)變量有多個(gè)，如激勵(lì)存在多種因素的影響；系統(tǒng)參數(shù)的變化等。這些隨機(jī)變量之間因素的影響；系統(tǒng)參數(shù)的變化等。這些隨機(jī)變量之間可能是獨(dú)立的，也有可能是相互有牽連的，牽連程度可能是獨(dú)立的，也有可能是相互有牽連的，牽連程度的強(qiáng)弱有所不同。需要進(jìn)行相關(guān)性分析。的強(qiáng)弱有所不同。需要進(jìn)行相關(guān)性分析。 相關(guān)性分析的目的相關(guān)性分析的目的：更好地了解系統(tǒng)以及系統(tǒng)隨機(jī)變

20、：更好地了解系統(tǒng)以及系統(tǒng)隨機(jī)變量的關(guān)聯(lián)性，更正確地把握問(wèn)題的關(guān)鍵。量的關(guān)聯(lián)性，更正確地把握問(wèn)題的關(guān)鍵。 相關(guān)性分析的方法相關(guān)性分析的方法：通常采用的是回歸分析的統(tǒng)計(jì)方：通常采用的是回歸分析的統(tǒng)計(jì)方法法 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management單變量線性回歸單變量線性回歸 假設(shè)要估計(jì)在自變量假設(shè)要估計(jì)在自變量x與一個(gè)因變量與一個(gè)因變量y之間的相關(guān)性。之間的相關(guān)性。設(shè)在設(shè)在y與與x之間真實(shí)相關(guān)是線性關(guān)系，這里觀察值之間真實(shí)相關(guān)是線性關(guān)系，這里觀察值y是隨是隨機(jī)變量。而機(jī)變量。而x是數(shù)學(xué)變量。那么在給定是數(shù)學(xué)變量。那

21、么在給定x的值之下，的值之下，y的的期望值假設(shè)是期望值假設(shè)是式中：式中： 0為一未知常數(shù)，是為一未知常數(shù)，是x取零時(shí)，取零時(shí)，y的值；的值； 1為斜率，即為斜率，即x變化一個(gè)單位所引起的變化一個(gè)單位所引起的y的變化，的變化，也是一個(gè)待定的未知常數(shù)。也是一個(gè)待定的未知常數(shù)。 xxyE10 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management單變量線性回歸單變量線性回歸假設(shè)假設(shè) y 的每一個(gè)觀察值可用下式表示的每一個(gè)觀察值可用下式表示y = 0 + 1 x + 式中式中 是均值為是均值為0，方差為，方差為 2的隨機(jī)誤差。的隨機(jī)

22、誤差。假設(shè)存在假設(shè)存在n對(duì)觀察值對(duì)觀察值(xi ，yi)，i=1，2，n，通常采，通常采用最小二乘法來(lái)估計(jì)上式中的用最小二乘法來(lái)估計(jì)上式中的yi 。設(shè)。設(shè) yi = 0 + 1 xi + i i=1，2，n，則則 i = yi - - 0 - - 1 xi 假設(shè)假設(shè) 是不相關(guān)的隨機(jī)變量。是不相關(guān)的隨機(jī)變量。 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management隨機(jī)變量隨機(jī)變量偏差偏差 的平方和為的平方和為(最小二乘法函數(shù)形式最小二乘法函數(shù)形式)為了使為了使L（偏差）極小，可求出（偏差）極小，可求出 和和 ，并置它們?yōu)?，并?/p>

23、它們?yōu)?，從而可，從而可以得到以得到 0 、 1的線性代數(shù)方程，既有：的線性代數(shù)方程，既有： niiL12 niiixy1210 0 L1 L 021100 niiixyL 021101 iniiixxyL 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management niiniixyn1110 niiniiiniixyxx101121 niiniiixxxxyxy121110 niiniiynyxnx111,1 工工 業(yè)業(yè) 工工 程程 與與 管管 理理 系系Industrial Engineering & Management多變量線性回歸多變量線性回歸假設(shè)假設(shè) y=y1,y2,ymT 的由的由m個(gè)變量構(gòu)成的向量，每一個(gè)個(gè)變量構(gòu)成的向量，每一個(gè)向量觀察值可用下式表示向量觀察值可用下式表示y = 0 + 1 x + 式中式中 = 1, 2, mT是均值為是均值為0。 x=x1,x2,xnTn個(gè)影響觀察值的控制變量。個(gè)影響觀察值的控制變量。式中式中 0 =