非慣性系中的質點動力學

1、12 牛頓第一定律和牛頓第二定律只適用牛頓第一定律和牛頓第二定律只適用于慣性參考系，對于非慣性參考系是不適于慣性參考系，對于非慣性參考系是不適用的。本章將建立非慣性系中的質點動力用的。本章將建立非慣性系中的質點動力學基本方程及動能定理。但這里的時間、學基本方程及動能定理。但這里的時間、質量及空間尺度的度量都是絕對的，速度質量及空間尺度的度量都是絕對的，速度也遠小于光速，研究對象仍為宏觀物體的也遠小于光速，研究對象仍為宏觀物體的機械運動，因此仍屬于古典力學（或稱經(jīng)機械運動，因此仍屬于古典力學（或稱經(jīng)典力學）范疇。典力學）范疇。動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質

2、點動力學3 161 非慣性系中質點動力學的基本方程非慣性系中質點動力學的基本方程 162 非慣性系中質點動力學的動能定理非慣性系中質點動力學的動能定理 第十六章第十六章 非慣性系中的質點動力學非慣性系中的質點動力學動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學4 在非慣性系中，質點動力的基本方程不同于慣性系如圖,設質點M相對Oxyz運動,選取一慣性參考系Oxyz作為定參考系.則有16-1 非慣性系中質點動力學的基本方程非慣性系中質點動力學的基本方程Fa a m為科氏加速度考慮CCera aaaaaCCmmmmmmaaFaFaaaerer 或則CmmaFaFICe

3、Ie,令ICIerFFFam動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學5動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學ICIerFFFam 上式稱為非慣性系中的質點動力學基本方程, 或稱為質點相對運動動力學基本方程. 其中FIe 稱為牽連慣性力,FIC 稱為科氏慣性力, 可以理解為非慣性參考系中對于牛頓第二定律的修正項. 它們具有力的量綱, 且與質量有關, 因而稱之為慣性力.在動參考系中,上式可以寫成微分方程形式,即ICIe22ddFFFrtm上式稱為非慣性系中的質點運動微分方程，或稱為質點相對運動微分方程。應用該方程時，一般

4、取適當?shù)耐队靶问健?動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學7動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學8動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學9動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學10動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學11動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學12動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學13動力學動力學

5、第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學14動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學15動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學16動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學17 *幾種特殊情況（1）當動參考系相對定參考系做平動，aC=0,FIC=0,則IerFFam（2）當動參考系相對定參考系做勻速直線運動，F(xiàn)Ie=FIC=0,則Fa rm上式表明，對這樣的參考系，牛頓定律也適用。故所有相對于慣性參考系作勻速直線平移的參考系都是慣性參考系。另外可以看出，參

6、考系作慣性運動時，質點的相對運動不受牽連運動的影響。也即發(fā)生在慣性參考系中的任何力學現(xiàn)象，都無助于發(fā)覺該參考系本身的運動情況，以上稱為相對性原理。動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學18 （3）當質點相對動參考系靜止時，有ar=0,vr=0,又FIC=0,則0IeFF（4）當質點相對于動參考系作等速直線運動時，有ar=0，則上式稱為質點相對靜止的平衡方程，即當質點在非慣性參考系中保持相對靜止時，作用在質點上的力與質點的牽連慣性力相互平衡。0ICIeFFF上式稱為質點的相對平衡方程?？梢娫诜菓T性參考系中，質點相對靜止和作等速直線運動時，其平衡條件是不同的

7、。動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學19例例1 圖示一測振儀。儀器的機架內有一質量為m的振子，當機架隨著外界運動時，振子相對與機架產(chǎn)生相對運動，振子上的筆將在機架的滾筒上記錄下振子的相對運動。令振子上的彈簧剛度為k，粘性阻尼系數(shù)為c。當機架在作簡諧振動 時，建立振子的相對運動方程。tbsintbsin動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學20解解 CxxOyOyC慣性系OxyyxO非慣性系：機架C牽連加速度機架在作簡諧振動)sin(2tbaO)sin(2IetmbFC牽連慣性力OaaeO為振子的平衡位置0Cx振

8、子的重力與彈簧力平衡xIeFtbsin動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學21)(01lxkFC受力分析 重力 mgP CxcF 2彈簧力 粘性阻尼力 tmbxclxkmgxmCCCsin)(20 mgkl0tmakxxcxmCCCsin2 質心相對運動定理0Cx振子的重力與彈簧力平衡質心相對運動方程單自由度強迫振動方程動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學CxxOyOyCxIeFP1F2F22例例2變擺長的擺套在環(huán)上，擺繩原長為l0，以勻速v向下拉，小球視為質點，質量為m。建立此擺的的動力學方程。 Ov0l動力

9、學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學OvxyyxC解慣性系Oxy以小球為對象yxO非慣性系x 軸與擺繩重合擺長vtll023Ovxyxy小球C牽連加速度neteeaaateatea )(0tevtla20ne)(vtlanIetIeneteeIe)(FFaaaFmmtIeFnIeF )(0tIevtlmF方向已知方向已知方向已知方向已知其中小球C牽連慣性力C動力學第十六章 非慣性力系中的質點動力學其中20nIe)(vtlmF24r2vaOCvaC2mvF2IC小球C科氏加速度科氏慣性力方向已知動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系

10、中的質點動力學OvxyxyCtIeFnIeFCaICFtIeFnIeFICFTFP小球相對非慣性系的運動已知vtlxC00Cy0CCyx )(cos0:02TvtlmFmgxvmvtlmmgy 2)(sin0:0250sin2)(0gvvtl cos)(02TmgvtlmF擺的的動力學方程擺的的動力學方程 約束力約束力 動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學OvxyxyC)(cos0:02TvtlmFmgxvmvtlmmgy 2)(sin0:026 如圖所示單擺，擺長為l，小球質量為m，其懸掛點O以加速度a0向上運動，求此時單擺作微振動的周期。 a0動力

11、學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學例例327動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學28 在懸掛點O上固結一平動參考系Oxy，小球相對于此動參考系的運動相當于懸掛固定的單擺振動。 分析小球受力：重力 ，繩子張 力 F ， 此 外 ， 還 應 加 入 牽 連 慣 性力 。因動參考系作平動。所以科氏慣性力 。解：解：建立相對運動動力學基本方程a0OmyxPetF動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學29將上式投影到切向軸et上，得 當擺作微振動時 ， 角很小，有 ，且 ，上式成為

12、a0OmyxPetF動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學30令： ，則上式可寫為自由振動微分方程的標準式 其解的形式為 ，而振動周期為 a0OmyxPetF動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學31 一直桿AO，長l=0.5 m，可繞過端點O的z軸在水平面內作勻速轉動，如圖所示。其轉動角速度=2 rad,在桿AO上有一質量為m=0.1 kg的套筒B。設開始運動時套筒在桿的中心點處于相對靜止。忽略摩擦，求套筒運動到端點A所需要的時間及此時對桿的水平壓力。 zyxOBA vr動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中

13、的質點動力學非慣性力系中的質點動力學例例432動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學33 研究套筒B相對于桿AO的運動。選取和桿AO一起轉動的坐標系Oxyz為動參考系。 根據(jù)質點相對運動動力學理論，建立相對運動微分方程 將上式投影到x軸上得 令 ，上式消去m為 解：解：zyxOBAvrF1F2mg動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學34得 注意 ，上式分離變量并積分，即 或 上式再分離變量并積分，即 zyxOBAvrF1F2mg動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學35求得

14、套筒到達端點A的時間t為 將 代入上式，解出 將 式投影到y(tǒng)軸上得 zyxOBAvrF1F2mg動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學36當套筒到達A時 ，由式可得代入式 ，得 對于慣性參考系，套筒運動的基本方程為 zyxOBAvrF1F2mg動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學37 設車廂以均加速度a沿水平直線軌道向右行駛。求由車廂棚頂 M0 處自由落下的質點 M 的相對運動。O1M0ahMx1y1z1動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學例例438動力學動力學第十六章第

15、十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學39解解: :取動坐標系 O1x1y1z1 固連車廂。因為動坐標系作直線平動,有 mar = P + FIe (1) FIe= mae,方向與車廂加速度 a 相反 把式(1)向動坐標系各軸上投影,得相對運動微分方程即根據(jù)所選坐標系,質點運動的初始條件寫成當 t = 0 時,O1M0ahMFIePx1y1z1動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學40 將式(2)積分,并利用初始條件(3)確定積分變量,求得質點的相對運動規(guī)律為消去時間t后,得到相對軌跡方程這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線 。動力學動力學

16、第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學41OAtsMO1B例例5質點M可在管子AB內運動，此管于A、B兩點鉸接在長各為r的曲柄OA和O1B上，OAO1B。已知曲柄以勻角速度在鉛垂平面內轉動，質點對管壁的滑動摩擦系數(shù)為f，初瞬時質點M位于管的A端且處于相對靜止狀態(tài)，求曲柄轉過1/4轉時，點M沿管子的位移值s，設 f=0.2， 。rgf /2動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學42OAMBO1stFSFNaeParFIexy動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學解解: 運動分析和受力分析如

17、圖所示，由非慣性系中的質點動力學基本方程NIeSIesin0 :cos :FmgtFyFtFmaxrNS2eIefFFmrmaF即有即有fgtftra)sin(cos2r43動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學(a) )sin(cosdd222fgtftrts或或初始條件為初始條件為0 , 0dd ,0rxstsvt時對（對（a) 式積分兩次并考慮上面的初始條件得式積分兩次并考慮上面的初始條件得trftfgtftrs22)sincos1 (代入上式得和將 /2 2 rgftrs81. 0討論：討論：1. 本題如果 f =0 ，s=? , /10 . 2

18、結果又怎樣如果rgf4416-2非慣性系中質點的動能定理非慣性系中質點的動能定理與慣性參考系中推導動能定理不同，在非慣性系中，由于質點的運動微分方程中含有慣性力，因此需重新推導該定理質點的相對運動動力學基本方程為ICIerddFFFvtmrvvd,:ddrr上式兩端乘對時間的相對導數(shù)為t科氏加速度；牽連加速度:Ceaa式中：eIeaFm為牽連慣性力reIC2vaFmmC為科氏慣性力質點相對動參考系速度非慣性參考系角速度，:rev動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學45動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學rFrF

19、rFrvddddddICIertm則有且科氏慣性力垂直于注意到, 0d,ddICrrrFvrvtrFrFvvdddIerrm有有相對位移上的元功，則在質點和牽連慣性力表示力和若以IeIeFFWWFIe2r)21(dWWmFv上式稱為質點相對運動動能定理的微分形式，即：質點在非慣性系中相對動能的增量，等于作用于質點上的力與牽連慣性力在相對運動中所作的元功之和。46 積分上式 ，有上式表明：質點在非慣性參考系中相對動能的變化，等于作用在質點上的力與牽連慣性力在相對路程上所作的功之和。這一規(guī)律稱為質點相對運動動能定理的積分形式。值得注意的是科氏慣性力始終垂直與相對速度，所以在相對運動中不作功。動力學

20、動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學Ie2r02r2121WWmmFvv47 一平板與水平面成角，板面上有一質量為m的小球，如圖所示。若不計摩擦等阻力，問平板以多大加速度向右平動時，小球能保持相對靜止？若平板又以兩倍這個加速度向右平動時，小球應沿板向上運動。問小球沿板走了l距離后，小球的相對速度是多少？ mae動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學例例648解解：1. 在平板上固結一動參考系Oxyz。 從中解出 得 xyOmaeFNFIemgOxy 小球受的有重力mg，平板的支承力FN。小球的牽連慣性力的大小為FIe=

21、 mae，方向與平板向右作平動的加速度ae相反，如圖所示。 因動系作平動，所以沒有科氏慣性力，小球相對靜止方程為動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學49解得 整理后得 2. 當加速度 時，牽連慣性力 ，應用相對運動動能定理，有 aeFNFIemg動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學50 半徑為R 的環(huán)形管，繞鉛垂軸z以勻角速度 轉動，如圖所示。管內有一質量為m的小球，原在最低處平衡。小球受微小擾動時可能會沿圓管上升。忽略管壁摩擦，求小球能達到的最大偏角 max。 Rz動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學例例751動力學動力學第十六章第十六章 非慣性力系中的質點動力學非慣性力系中的質點動力學52 以環(huán)形管為動參考系，小球在任一角度 時，其牽連慣性力大小為 ，方向如圖。小球在最低處和最高處的相對速度都等于零。列出此二位置間的相對運動的動能定理，得RmgFIez經(jīng)過微小角度d