灰色預(yù)測(cè)模型理論及其應(yīng)用

1、灰色預(yù)測(cè)模型理論及其應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為對(duì)既含有已知信息乂含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行 預(yù)測(cè)，就是對(duì)在一定方位內(nèi)變化的、與吋間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測(cè).盡管過程屮 所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、冇界的，因此這i數(shù)據(jù) 集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測(cè)就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行 預(yù)測(cè).灰色預(yù)測(cè)模型只需要較少的觀測(cè)數(shù)據(jù)即可，這和時(shí)間序列分析，多元冋歸分析等 需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模型不一樣.因此，對(duì)于只有少量觀測(cè)數(shù)據(jù)的項(xiàng)口來說，灰 色預(yù)測(cè)是一種冇用的工具本文主要圍繞灰色預(yù)測(cè)gm(1,1)模型及其應(yīng)用進(jìn)行展 開。一、灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測(cè)的概念1.1灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論

2、的研究中。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱z為白色系 統(tǒng)。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知，一團(tuán)漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測(cè)研究，這 種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)介于二者z間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。特點(diǎn)：灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定 型系統(tǒng)的研究對(duì)象。1.2灰色預(yù)測(cè)灰色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因索z間發(fā)展趨勢(shì)的相似或相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)度 分析，并通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性, 可以用

3、它來建立和應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來的發(fā)展趨勢(shì)和未來狀態(tài)?；疑A(yù)測(cè) 是用灰色模型gm(1,1)來進(jìn)行定量分析的，通常分為以下幾類：(1) 灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè)。用等時(shí)距觀測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的一系列數(shù)量(如產(chǎn)量、 銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等)構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來某一時(shí)刻的特征量，或 者達(dá)到某特征量的時(shí)間。(2) 畸變預(yù)測(cè)(災(zāi)變預(yù)測(cè))。通過模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出 現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。(3) 波形預(yù)測(cè)，或稱為拓?fù)漕A(yù)測(cè)，它是通過灰色模型預(yù)測(cè)事物未來變動(dòng)的軌跡。(4) 系統(tǒng)預(yù)測(cè)，是對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)理論模型，在預(yù)測(cè) 系統(tǒng)整體變化的同時(shí)，預(yù)

4、測(cè)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的變化。上述灰預(yù)測(cè)方法的共同特點(diǎn)是：(1) 允許少數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)；(2) 允許對(duì)灰因果律事件進(jìn)行預(yù)測(cè)，比如灰因白果律事件：在糧食生產(chǎn)預(yù)測(cè)中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，故為灰因， 然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。白因灰果律事件：在開發(fā)項(xiàng)目前景預(yù)測(cè)時(shí)，開發(fā)項(xiàng)目的投入是具體的，為白因，而項(xiàng)目的 效益暫時(shí)不很清楚，為灰果。項(xiàng)冃前景預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。(3) 具有可檢驗(yàn)性，包括：建?？尚行缘募?jí)比檢驗(yàn)(事前檢驗(yàn))，建模精度檢驗(yàn)(模型 檢驗(yàn))，預(yù)測(cè)的滾動(dòng)檢驗(yàn)(預(yù)測(cè)檢驗(yàn))。二、gm (lzl)模型2. 1gm(1, 1)模型gm(1,1)模型是基于

5、灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)化，用微分方程代替差分方 程，按時(shí)間累加后所形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近，用 生成數(shù)序列代替原始吋間序列，弱化原始吋間序列的隨機(jī)性，這樣可以對(duì)變化過程作較長(zhǎng)時(shí) 間的描述，進(jìn)而建立微分方程形式的模型.其建模的實(shí)質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)，將時(shí)間序 列轉(zhuǎn)化為微分方程，通過灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性 微分方程的解逼近所揭示的原始時(shí)間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時(shí)，灰色預(yù)測(cè)gm(1,1)模型的預(yù)測(cè) 將是非常成功的.2. 2gm(1, 1)模型的建立gm(1,1)模型是指一階，一個(gè)變雖的微分方案預(yù)測(cè)模型，是一階單序列的線性

6、動(dòng)態(tài)模型， 用于吋間序列預(yù)測(cè)的離散形式的微分方程模型.模型符號(hào)含義為gm(1,1)t t t tgreymode 11階方程1個(gè)變量設(shè)時(shí)間序列x(°)有個(gè)觀察值，x(0>=x(0)(1),x(0)(2),-,x(0)(h),為了使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，對(duì)其作一次累加生成運(yùn)算，即令從而得到新的生成數(shù)列x，x彳兀,丿)(2),稱兀伙)+祇伙)=b為gm(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列x-般近似地服從指數(shù)規(guī)律.則生成的離散形式的微分方程具體的形式為dxax = udt即表示變量對(duì)于時(shí)間的一階微分方程是連續(xù)的.求解上述微分方程，解為a當(dāng)21時(shí),x(c = x(l),即c =

7、 x(l)-，則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體 a形式為兀/、41)-ia)z/r其屮，祇項(xiàng)中的尢為一的背景值，也稱初始值；a,比是待識(shí)別的灰色參數(shù)，q為發(fā)展系 dt數(shù)，反映兀的發(fā)展趨勢(shì)；u為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系.按片化導(dǎo)數(shù)定義冇dx x(r+q)-x(r)=lim dt de dr顯然，當(dāng)時(shí)間密化值定義為1時(shí)，當(dāng)口/tl時(shí)，則上式可記為dx=lim(x(r + /) %(/)dt mez/y這表明加是-次累減生成的，因此該式可以改寫為= x(1)(r + l)-x(1)(r) dt當(dāng)w足夠小吋，變量x從無到是不會(huì)出現(xiàn)突變的，所以取的平均值作為當(dāng)山足夠小時(shí)的背景值，即兀i

8、 rn兀(r)+兀(r+1)(緊鄰均值(mean)21-生成序列)將其值帶入式了，整理得(/) +兀(f + l) + u (gm(1,1)模型的均值形式)1 lx(o)(r + l) =a x12 l 山其離散形式可得到如下短陣：少x(o)(3)-|x(1)(l) + %(1)(2) 扣+兀1叫)丿兀叫2)，兀(。),x(0)(n)t扣+兀一扣+兀_丄< 2 -a-a w)t稱丫為數(shù)據(jù)向量，b為數(shù)據(jù)矩陣，g為參數(shù)向量.則上式可簡(jiǎn)化為線性模型:y = ba由最小二乘估計(jì)方法得a-=(btby bty上式即為gm(1,1)參數(shù)的矩陣辨識(shí)算式，式中(brb)_l b丫事實(shí)上是數(shù)據(jù)矩陣b的廣

9、義逆矩陣.將求得的ti, u值代入微分方程的解式，則無二兀一蘭-“(7iq丿英中，上式是gm(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)形式，將它離散化得x(,)(z)= fx(0)(l)-l-fl(z-1)i q丿對(duì)序列丘再作累減牛成可進(jìn)行預(yù)測(cè).即i(0)(r)= i(,)(r)-1)(r-i)=)(1)_蘭(1_/)嚴(yán)ti q丿上式便是gm(1,1)模型的預(yù)測(cè)的具體計(jì)算式.2.3 gm(1, 1)模型的檢驗(yàn)gm(1,1)模型的檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)三種形式.每種檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)不同功能：殘養(yǎng)檢驗(yàn)屈丁算術(shù)檢驗(yàn)，對(duì)模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)檢 驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)屬于幾何檢驗(yàn)范i刑，通過考察模型曲線與建

10、模序列曲線的幾何相似程度進(jìn)行 檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度越大模型越好；后驗(yàn)差檢驗(yàn)屬于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn), 衡量灰色模型的精度.> 殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn)，即對(duì)模烈值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn).設(shè)模擬值的殘差序列為e(0)(r),則嚴(yán)=x(o)(r)-x(o)(r)令£(r)為殘差相對(duì)值，即殘差百分比為令入為平均殘差，=“ /=1一般要求£(“<20%,最好是£("<10%,符合要求.>關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度是用來定量描述各變化過程之間的差別.關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說明預(yù)測(cè)值和實(shí)際值越 接近.設(shè)x<()= x(0) (1),丘(2),x

11、(,) (/?)x(o)(r) = x(o)(l),x(o)，少)序列關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為min|x()(0-x(0)(0 + p max |x(0) (r) -x(0) (/)|jx(o)(r)-x(o)(r)1+ pmaxx(o)(r)-x(o)(r),心0t = 0式小，呼-嚴(yán)(科為第f個(gè)點(diǎn)嚴(yán)和*)的絕對(duì)誤差，的為笫r個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，p稱為分辨率，即取定的最大差百分比，ovpvl, 般取p = 0.5.嚴(yán))和x(o)(r)的關(guān)聯(lián)度為1 畀n r=l關(guān)聯(lián)度人于60%便滿意了，原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度越人，模型越好.> 后驗(yàn)差檢驗(yàn)后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)步驟如下：1

12、、計(jì)算原始時(shí)間數(shù)列x二,°)(1),"°)(2),兀(°)(對(duì)的均值和方差尹)2、計(jì)算殘差數(shù)列嚴(yán)二嚴(yán)，嚴(yán)(2)，刃)()的均值巨和方差£1 "1 noe=-亍嚴(yán)，s；二丄立嚴(yán)(/)-對(duì)n /=!n /=!其中0)(r)= x(0)a)-x(0)(r) , z = l,2,.,n為殘差數(shù)列.3、計(jì)算后驗(yàn)差比值c = sjs4、計(jì)算小誤差頻率p = p|e(o)(z) - e| < 0.6745s,令so二0.6745s" (/)=|£(°)(" 臣|,即 p=pa(z)<5().若對(duì)給

13、定的c()>0,當(dāng)c<c()時(shí)，稱模型為方差比合格模型；若對(duì)給定的代>0,當(dāng)p>p.吋，稱模型為小殘差概率合格模型.pc模型精度>0. 95<0. 35優(yōu)>0. 80<0.5合格>0. 70<0. 65勉強(qiáng)合格<0. 70>0. 65不合格表3后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表2.3 gm(1, 1)模型修正(殘差gm(1, 1)模型)當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列x(°)建立的gm(1, 1)模型檢驗(yàn)不合格時(shí)，可以用gm(1, 1)殘差模型來修 正如果原始序列建立的gm(1,1)模型不夠精確,也可以用gm(1, 1)殘差模型來提高精度.若用

14、原始序列x(°)建立的gm(1, 1)模型x(1) (r +1) = x<0) (1) -eat + -a a可獲得生成序列x的預(yù)測(cè)值,定義殘差序列嚴(yán)伙)二?；?-丘伙).若取k=t,ml,，/7,則對(duì)應(yīng)的殘差序列為嚴(yán)二嚴(yán)，嚴(yán)，嚴(yán))計(jì)算其生成序列幺伙)，并據(jù)此建立相應(yīng)的gm(1, 1)模型e(1)(/ + l) = e(0) (1)-性上一以 + 絲4ae得修正模型兀(/ + 1)=?0)(1)-£說 + 匕 +5伙 _/)(_)嚴(yán)-經(jīng).a.aa-其中/伙t) = y kf為修止參數(shù).0 k<t三、gm (14)模型的應(yīng)用表1南昌市民用汽車保有量年份200420

15、0520062007200820092010201120122013南昌市民用汽車保冇量(萬輛)24.410926.730730.387836.380741.016143. 734& 41615763. 1第一步：構(gòu)造累加生成序列x；x=(兀，兀，兀(3),兀,兀(5),兀(6),無(7),兀(8),兀(9),兀(10)=(24.4109,51.1416,81.5294,117.9101,158.9262,202.6562,251.0662,312.0662,369.0662, 432. 166) 第二步：計(jì)算系數(shù)值；對(duì)x做緊鄰均值生成.令z仇) = 0.5兀伙) + 0.5?；?1)

16、,得z=(z,z,z(4), z(5),z(6),z(7), z,z(9), z(,10)=(37.77625,66.3355,99.71975,138.41815,180.7912,226.8612,281.5662,340.5662,400.6161)則數(shù)據(jù)矩陣b及數(shù)據(jù)向量y為"1-z1-z1-z1-尹1-z1-z(8)1.-z (9)137.77625-66335599.71975-180.7912b=-226.8612-281.5662340.5662-400.6161r_26.7307_1?0)(3)30.3878136.3807x(0) (4)141.0161?0)(5)

17、1,y =43.731兀48.411?0)(7)611x(o)(8)571_x(o)(9)_63.1-138.41815對(duì)參數(shù)列a = a.ur進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得a = (btbylbty = bty-00162425.290111a =0.101624, w = 25.290111a 二-0. 101624 , u =25. 290111 , 平均相對(duì)誤差為 4. 685749% 第三步：得出時(shí)間響應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)模型為：x伙 +1) = 273.269896円24° _ 248.858996第四步：進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。真實(shí)假24. 4109, 26. 7307, 30. 387&am

18、p; 36. 3807, 41. 0161, 43. 7300, 4& 4100, 61. 0000, 57. 0000, 63. 1000預(yù)測(cè)值：24. 4109, 29. 2310, 32. 3578, 35. 8190, 39. 6504, 43. 8917, 48. 5867, 53. 7839, 59. 5371, 65. 9056計(jì)算得到關(guān)聯(lián)系數(shù)為：1, 0.906683, 0. 444273, 0.416579, 0.82377, 0.357133, 0.715694, 0.843178, 0.333333,0. 770986）于是灰色關(guān)聯(lián)度：一0.661163關(guān)聯(lián)度一0

19、. 661163滿足分辨率p二0. 5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r>0. 60,關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)通過。第五步：后驗(yàn)差檢驗(yàn)。計(jì)算真實(shí)值的均值與標(biāo)準(zhǔn)差：乂=43.2166, &二14.0254計(jì)算殘差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：a = 1.9295, 52=4.6134于是方差比c=s2/sfo. 3289<0, 35so=o. 6745*si=9. 4601j = |a（）-a| = 1.9295,0.5708,0.0405,1.3678,0.5638,1.7677,1.7527,5.2866,0.6076,0.8761所有乞都小于s。，故小誤差概率p=pei<s()=lf 乂 c<0. 35

20、所以后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過。第六步：殘斧檢驗(yàn)。(1)得到模擬值、殘差和相對(duì)誤差如下：序號(hào)模擬值殘差相對(duì)誤差(%)124.410900229. 2309862.5002869. 353612332.3577511.9699516.482704435.818976561724-1.544016539.650442-1.365658-3.329566643.891749.161749.369881748.586737 176737.365084853.783938-7.216062-11.82961959. 5370682.5370684.4509961065.9055972.8055974.446271相

21、對(duì)課差序列屮有的相對(duì)誤差很人，所以要對(duì)原模型x 伙 + 1) = 273269896嚴(yán)°"24248.858996 進(jìn)行殘并修正，以提高精度。(2)利用殘差對(duì)原模型進(jìn)行修正：我們?nèi)＄?quot;=2.500286, 1.969951, 0. 561724, 1. 365658, 0. 161749 ,0. 176737, 7.216062,2.537068, 2. 805597同樣的可求得a = -0. 183488 , u 二0. 481549則有刃（£ + 1）=幺一如 e0j83488-2.62442_ j.=5.124706嚴(yán)跆敘2.62442對(duì)上述求導(dǎo)，得：0（1）（£ +1" = 0.9403 e°問488 k這樣就得到經(jīng)過殘差修正后的灰色預(yù)測(cè)gm（1,