(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專(zhuān)題 數(shù)列之錯(cuò)位相減求和 新人教A版

1、（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專(zhuān)題 數(shù)列之錯(cuò)位相減求和 新人教A版四、錯(cuò)位相減法的運(yùn)用：錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法， 形如的數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列；分別列出，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可。適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和。典型例題：例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，常數(shù)，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，則=0, 當(dāng)n時(shí)，。 若，則，有當(dāng)n時(shí)，兩個(gè)相減得：，。數(shù)列公比是2的等比數(shù)列。綜上所述，若=0, 則 ；若，則。（）當(dāng)

2、且時(shí)，令，則。 是單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為lg2） 則 b1>b2>b3>>b6=；當(dāng)n7時(shí)，bnb7=。數(shù)列l(wèi)g的前6項(xiàng)的和最大，即當(dāng)=6時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用?！窘馕觥浚↖）由題意，n=1時(shí)，由已知可知，分類(lèi)討論：由=0及，結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式可求。 （II）由且時(shí)，令，則，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項(xiàng) 。例2.已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列,且=，.()求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；()記，證明.【答案】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由=，得。由條件，得方程

3、組，解得。()證明：由（1）得， ； ；由得，?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?！痉治觥浚ǎ┲苯釉O(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)條件求出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)。（）寫(xiě)出的表達(dá)式，借助于錯(cuò)位相減求和。還可用數(shù)學(xué)歸納法證明其成立。例3. （已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列,且=，.()求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； ()記，證明?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由=，得。由條件，得方程組，解得。()證明：由（1）得， ； ；由得，。【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。【分析】（）直接設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)條件求出首項(xiàng)和公差，即可求

4、出通項(xiàng)。（）寫(xiě)出的表達(dá)式，借助于錯(cuò)位相減求和。還可用數(shù)學(xué)歸納法證明其成立。例4.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足且成等差數(shù)列。（1）求a1的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.【答案】解：（1）且成等差數(shù)列 ，解得。即。（2） ，得。，。，。數(shù)列成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，。 。（3）（當(dāng)n=1時(shí)，取等號(hào)。）， （當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，取等號(hào)）?！究键c(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合，等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列遞推式?！窘馕觥浚?）在中，令分別令n=1，2，由成等差數(shù)列，得到關(guān)于的三元方程，解之即可可求得。（2）由，兩式相減即可得，可知，數(shù)列成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式。（3）構(gòu)造，證得其大于等于0，從而，即（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，取等號(hào)）。因此。例5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，。 ，解得。（2） ， 當(dāng)時(shí)， ，得： ，此式對(duì)也成立。當(dāng)時(shí)， 。得：，即 。是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 ，即，?！究键c(diǎn)】數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的性質(zhì)?！窘馕觥浚?）當(dāng)時(shí)，。由得解得。 （2）兩次遞推后得到以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6. （已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中），且的最大值為。（1）確定常數(shù)，并求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。【答案】解：（1）當(dāng)n時(shí)，Snn2kn取最大值，即8Sk

6、k2k2k2，k216，k4。n(n2)。又a1S1，ann。（2）設(shè)bn，Tnb1b2bn1， Tn2TnTn2144。【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)，遞推、錯(cuò)位相減法求和，二次函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥浚?）由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)n時(shí)，取得最大值，代入可求，然后利用可求通項(xiàng)，要注意不能用來(lái)求解首項(xiàng)，首項(xiàng)一般通過(guò)來(lái)求解。（2）設(shè)bn，可利用錯(cuò)位相減求和即可。例7.）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中，為常數(shù)），且（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和?！敬鸢浮拷猓海?），當(dāng)時(shí)，。則，。=2。，即，解得=2。（）。當(dāng)=1時(shí)，。綜上所述。（2）， ， 。得，即?！究键c(diǎn)】數(shù)列的求和，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。【解析】（1）先根據(jù)前項(xiàng)和求出

7、數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式；再結(jié)合求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)。（2）直接利用錯(cuò)位相減法求和即可。例8.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=，nN，數(shù)列bn滿足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】解：（1）由Sn=，得 當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，nN。由an=4log2bn3，得，nN。（2）由（1）知，nN，。，nN?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及求和公式，對(duì)數(shù)的定義?！窘馕觥浚?）由Sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn3，化為指數(shù)形式即可求得bn。 （2）由an，bn求出數(shù)列an·bn的通項(xiàng)，得到，從而作即可求得T。例9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中. （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（5分） （II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件.（7分）【答案】證明：（），。 。 ，。 ，。 。是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（II）當(dāng)=1或=2時(shí)，易知成立。當(dāng)時(shí)，成立。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，上面不等式可化為，設(shè)，當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。當(dāng)時(shí)，令，則。在（0，1）上遞減。在（0，1）上遞增。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。 當(dāng)時(shí)，由已證結(jié)論得：。當(dāng)時(shí)，所要證的不等式成立。綜上所述，當(dāng)且時(shí)，。當(dāng)且僅當(dāng)=1,2或時(shí)等號(hào)成立。【