因式分解講義(十字相乘、分組分解)

1、因式分解十字相乘法與分組分解法【學習要求】1. 理解十字相乘法與分組分解法；2. 會運用十字相乘法與分組分解法分解因式?！局R內容】1. 十字相乘法分解因式：(1) 首項系數(shù)是1的二次三項式的因式分解，我們學習了多項式的乘法，即x a x b =x2 亠 ja bx ab將上式反過來，2erex 亠 iab x ab = x a x b得到了因式分解的一種方法一一十字相乘法，用這種方法來分解因式的關鍵在于確定2上式中的a和b,例如，為了分解因式 x px q，就需要找到滿足下列條件的a、b；a 亠 b = pab = q(2 )二次項系數(shù)不為1的二次三項式的因式分解二次三項式ax2 bx c中

2、，當a =1時，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可歸納. - 2為“分兩頭，湊中間”，例如，分解因式2x -7x - 6 ,首先要把二次項系數(shù) 2分成1X 2,常數(shù)項6分成一2占，寫成十字相乘，左邊兩個數(shù)的積為二次項系數(shù)。:X：右邊兩個數(shù)相乘為常數(shù)項，交叉相乘的和為1 _3 2 -2 = -7，正好是一次項系數(shù)，從而得2x -""八-2 2x-3。(3)含有兩個字母的二次三項式的因式分解2 2如果是形如2a b -7ab 6的形式，則把ab看作一個整體，相當于 x,如果是形如2丄22丄22x "y 6y，則先寫成2x 一" x 6y，把y看作已知數(shù)，寫成

3、十字相乘的形式2 2 . .所以2x 一 7xy6y hx_2y 2x3y，即右邊十字上都要帶上字母y，分解的結果也是含有兩個字母的兩個因式的積。2. 分組分解法分解因式：我們把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運用公式 法進行分解，然后，綜合起來，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最 后結果。這種分解因式的方法叫做分組分解法。如果一個多項式適當分組，使分組后各組之間有公因式或可應用公式，那么這個多項 式就可以用分組的方法分解因式。分組分解法適用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多項式。分組分解法并不是一種獨立的因式分解的方法。通過對多項式

4、進行適當?shù)姆纸M，把多 項式轉化為可以應用基本方法分解的結構形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點等，從而達到可以利用基本方法進行分解因式的目的。我們有目的地將多項式的某些項組成一組，從局部考慮，使每組能夠分解，從而達到整個多項式因式分解的目的，至于如何恰當 地分組，需要具體問題具體分析，但分組時要有預見性，要統(tǒng)籌思考，減少盲目性，分組 的好壞直接影響到因式分解能否順利進行。通過適當?shù)木毩?，不斷總結規(guī)律，便能掌握分 組的技巧?！镜湫屠}】1 x2 +4 x +7例1.分解因式： 33分析：當系數(shù)有分數(shù)或小數(shù)時，應先化為整數(shù)系數(shù)，便于下一步十字相乘。4x 7解:4x -2113：x;72 2例2

5、.分解因式：x 29 xy 100 y分析：含兩個字母的二次三項式,把其中一個字母如y看成是常數(shù)。2 2解：x 亠 29 xy 亠 100 y2=x 29 y 2x 100 y=x 4y x25 y例3.分解因式:23x -11x101 X 3,常數(shù)項為10是正數(shù)，分解成的兩個因式同號且其中符合對角兩數(shù)之積的和為-11的只有第三個。分析：首項系數(shù)為3應分解為應與一次項系數(shù) -11的符號相同，用十字相乘法嘗試如下:-13 101. -103-13 ( -1) 1( -10 ) = -131 ( -1)3 ( _10) = -311 . -23-51 -53-21( -5)3(-2-111(2)

6、3(5) = -172刁"解:3x -11x10 = x -2 3x -5._ 2例4.因式分解：x 6x - 7分析：這個二次三項不符合完全平方公式的特點，首先，二次項與常數(shù)項不同號，其次，常數(shù)項的絕對值不是一次項系數(shù)一半的平方，所以不能直接用公式分解，但經(jīng)過適當 的變形后，便可用公式分解。另外，這樣的二次三項式可用十字相乘法分解。解：方法一2 2x 6x7=x 6x9972=ix3-16=x34 x3 - 4=X7X"方法二：2x ，6x 7 = x ： 7 x 1小結：方法一叫配方法。用配方法分解二次三項式時，其前提是二次項系數(shù)為1 （如果二次項系數(shù)不是 1,則提取這

7、個系數(shù)，使二次項系數(shù)轉化為1 ）;其關鍵是，加上緊接著減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方，這樣便達到配方的目的。在用十字相乘法分解二次 三項式時，主要考慮的是十字相乘后的代數(shù)和應是一次項。例5.分解因式：2 .（1）2 x 2xy-3x-3y2 2（2）a b 4a4b2 2 2（3）4x - 9y -24yz-16z32（4）x x x 亠 1分析：首先注意到前兩項的公因式2x和后兩項的公因式 -3，分別把它們提出來，剩下的是相同因式 x y，可以繼續(xù)用提公因式法分解。此題也可以考慮含有y的項分在一組。如下面法（二）解法。解（一）：2x2 2xy - 3x - 3y. 2=2x2xy j i3x

8、 3y= 2xx y - 3 x y二 x y 2x -3解（二）：2/ - 2xy3x3y2=2x 3x 亠2xy3y二x 2x -3i 亠 y 2x -3=2 x - 3 x ' y說明：解法1和解法2雖然是不同的分組方式，但卻有著相同的內在聯(lián)系，即兩組中的對應項系數(shù)成比例，分別為1:1和2: （-3）。這也是分組中必須遵循的規(guī)律之一。（2）分析：若將此題按上題中法（二）方法分組將含有a的項分在一組即2 2a 4a = a a 4，含有 b 的項一組即b -4b =_b b 4，那 a a 4 與-b b ' 4 再沒有公因式可提，不可再分解下去。可先將a2 _b2 組應用

9、平方差公式，再提出因式。”22解: a b 4a - 4b2 2=a b 亠4a4b= a、b a - bi 亠 4a - b= a- b a 亠b 亠 42 2（3） 若將此題應用（2）題方法分組將 4x -9y 組應用平方差公式，或者將4x2 -16z2 組應用平方差公式后再沒有公因式可提，分組失敗。觀察題中特點，后三項符合完全平方公式，將此題一、三分組先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。2 2 2解：4x - 9y - 24 yz - 16z22 口“2=4x - 9y 24 yz 16 z2 2=2x i：3y 4z=2x 3y 4z 2x - 3y - 4z（4）分析：此題按照

10、系數(shù)比為1或者為-1，可以有不同的分組方法。32法（一）： x x x 1f 32、=x - x - x - 1 I=乂2乂_1_X_1=x -1 x2 -1hx -1 x 1 x -12=x 1 x -13 2法（二）：原式二 X -X - x - 1盧 2“=X -1 X -12=X 1 X -1說明：分組時，不僅要注意各項的系數(shù)，還要注意到各項系數(shù)間的關系，這樣可以啟 示我們對下一步分解的預測，如下一步是提公因式還是應用公式等。一般對于四項式的多項式的分解，若分組后可直接提取公因式，一般將四項式兩項兩 項分成兩組，并在各組提公因式后，它們的另一個因式恰好相同，在組與組之間仍有公因 式可提

11、，如例5（ 1）題的兩種解法。兩項兩項分組后也可各自用平方差公式，再提取組之 間的公因式。如例 5的（2）題、（4）題。若分組后可應用公式還可將四項式中進行三項 和一項分組先用完全平方公式再應用平方差公式。如例5中的（3）題。2 2 2 2例6.分解因式:ab c - d K cd a b分析：多項式帶有括號，不便于直接分組，先將括號去掉，整理后再分組分解。2 2 . 2 2解:ab c d 亠 cd a b2 2 2 2=abc abd a cd b cd2922=abc 亠 a cd j 亠abd 亠 b cd=ac be 亠 ad i 亠 bd ad 亠 bc=be ad ac bd例

12、7已知 4x +4xy +y 4x2y+1=0，求證：2x +3xy+y xy=°分析：要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式。若分解后的因式中有一個值為零，則原多項式的值為零。經(jīng)過分組分解，可知2x23xy .y2-x_y二x y 2x 1，若x y或2x 1為零，則原多項式的值為零。為達此目的，就要從條件入手。證明：因為 4 / 4xy y2-4x-2y1=0，所以222x y -10所以2x y 02 2又因為 2x 3xy y 一 x 一 y hx y 2x y 一 1而2x y _1 =02 2所以 2x 3xy y -x-y=02 2例8.已知3x -4xy

13、-7y T3x-37y能分解成兩個一次因式的乘積，求m的值。并將此多項式分解因式。分析：根據(jù)因式分解的概念和乘法法則可知，原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式，而原多項式的前三項可分解為3x -7y x y ，于是可設原多項式分解為3x -7y ' a x ' y ' b，再根據(jù)恒等式中的對應項系數(shù)相等，便能使問題得到解決。2 2解: 設 3x 4xy 7y 亠 13x37y 亠m-丨 3x -7y i 亠 a .1 丨 x y i 亠 b .122=3x - 4 xy - 7y 亠a 亠 3b x 亠a -7b y 亠 ab3 + 3b =13<1 >

14、«a 7b = 37<2 >對應項系數(shù)相等，所以Fb =m<3 >由 <1><2> 解得：a-2，b = 5將 a = -2， b = 5代入 <3>，得：m - -102 2 ,所以 3x 4xy 7 y ' 1337 y ' m2 2=3x 4xy 7y 13x 37y 10=3x -7y a x y b= 3x7y-2 x y 52 2例9.已知x_3y_1+x +4y =4xy，求x與y的值。分析：在通常情況下，由一個方程求兩個未知數(shù)的值，條件是不夠的，但在特殊條件 F又是可行的，這“特殊條件”包括非

15、負數(shù)的和等于零的性質。本題已有一個明顯的非負 數(shù)，即卩x -3y -1，而另一個非負數(shù)可由因式分解得到。于是問題能夠解決。2 2解：因為 X3y+x +4y =4xy，所以2 2x_3y_1+x 4xy+4y =02即 x _3y _1 +(x _2y ) =0x 3y 1 = 0 所以x -2y解這個方程組，得：x ，y=T【模擬試題】（答題時間：40分鐘）選擇題。4，分組正確的是（）A.(a22-br、14丿2f21a-b-b +C.V4丿2.用分組分解法分解多項式(21j2a -(b-bB.k4丿2f2、1 1a -b+ b D.k4丿1.用分組分解法分解多項式2x-mx 一 nx亠mn

16、分組正確的是（）A (x? - mx -nx )+mnB.x2 -mx - nx 亠 mn)2C (x +mn(mx + nx)D.x2 -nx - mx - mn)2 2 1a - - b ' b _2 2 2 23. 將多項式a b -a -b 1分解因式，其中正確的是（）A. (ab +1 '(ab 1 )B.2 2a -1 b -1C.D.-1 a -1 b -1 b -14.下列因式分解中，不正確的是（A.44x 16 y 2 2 t= x-2yx2yx - 4 yB.ax ay bx byC.2b - 2abD.1 -x22-2xy - y二 x y T x y15

17、.把多項式2xy1分解因式的結果是A. x -yy xB. x y-1y xC. x y-1d. x -yx y二.填空題。1.2x - 2xy-35 y2 =X 7y2.2x2 -7x一53.y 20 y4.-3xy -i: ix y x -4y5.2 .-28y= x 7y x -4y6.2kx 5x 6二 3x -227 18 x _19x+5=(9x+m(2x+ n )貝廿 m _三.分解因式。2(1) 2x -5x 3(2) 5x2 -21 x 182 2(3) a -5ab -24b2(4) x y 2 x y -244 2(5) 3x 6x -92 2(6) x 2xy y -1

18、2 2 2(7) a b a2ab 12 2 2(8) x y _z 2xya - b y：；'C 2b - c(9) a b3(10) x 5x 6四解答題。2 21已知 x -2xy -3y二5，求整數(shù)x和y的值。2.已知A =1 x 2 x - 3 x 4 x -5 - 49 （x為整數(shù)），求證：A為一個完全平方 數(shù)。（10）【試題答案】選擇題。1. D2. C1.填空題。3. D4. D5. A1.2 2x -2xy 35y= x 7y |X 5y22 2x _7x_15 =（x_5） （2x +3 ）3.2-1 y 20y 5y -1 4y 14.-3xy _4y2= x y x - 4y5.2 2x 3xy-28y x 7y x-4y26 kx +5x-6=（3x2 （2x + 3 ） k = 627 18 x -19x+5 = （9x+m2x+m）貝 y m三.分解因式。（1） 2x 1 x -3（3） a 3b a -8b（4） xy 6 xy _42（5）3 x 3 x 1 x -1（6）xy1xy-1（7）ab 1aab1 - a（8）xyzxy_z（9）ab-ca-bcx -1 x2 x 6四解答題。1.解：2 2x -2xy -3y5