常微分方程的常見解法PPT課件

1、曲線（稱為積分曲線），且 ,f xx就是該曲線上的點 , xx處的切線斜率，特別在 00,xy切線斜率解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域D中任意點 , x y的切線斜率是 。,f x y就是 00,f xy盡管我們不一定能求出方程 1.3.1的如果我們在區(qū)域D內每一點 , x y處，都畫上一個就得到一個方向場，將這個方向場稱為由微分方程所確定的向量場向量場。,f x y的值為斜率中心在 , x y以點的線段，我們第1頁/共98頁它所確定的向量場中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的從幾何上看，方程 1.3.1的一個解 yx就是位于每一點都與向量場在這一點的方向相切。行進的曲線，因此，求方程00y xy滿足初

2、始值1.3.1的這樣的一條曲線。的解，就是求通過點00,xy yx形象的說，解就是始終沿著向量場中的方向 向量場對于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質極為重要，因為，可根據(jù)向量場的走向來近似求積分曲線，同時也可根據(jù)向量場本身的性質來研究解的性質。第2頁/共98頁例例 在區(qū)域 ,|2,2Dx yxy 內畫出方程 dyydx 的向量場和幾條積分曲線。解解：用計算各點的斜率的方法手工在網(wǎng)格點上畫出向量場的方向可以得到向量場，但手工繪圖誤差較大。我們可以用Maple 軟件包來完成。點的向量相重合。 L在每點均與向量場的向量相切。 在L上任一點，L的切線與1.3.1所確定的向量場在該 定理定理

3、1.31.3L為1.3.1的積分曲線的充要條件是：曲線第3頁/共98頁Maple指令：指令：DEtoolsphaseportrait # 畫向量場及積分曲線(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程x=-2.2, # 指定x范圍y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個初始值dirgrid=17,17, # 定義網(wǎng)格密度arrows=LINE, # 定義線段類型axes=NORMAL); # 定義坐標系類型yy 在MATLAB的向量場命令為 quiver(x,y,px,py) 第4頁/共98頁回車后Maple就在 1144條積分曲線，見下圖 的圖

4、形，并給出了過點的網(wǎng)格點上畫出了向量場(-2,2)(-2,1)(-2, 2)的三第5頁/共98頁 所謂圖解法就是不用微分方程解的具體表達式，所謂圖解法就是不用微分方程解的具體表達式，直接根據(jù)右端函數(shù)的結構和向量場作出積分曲線直接根據(jù)右端函數(shù)的結構和向量場作出積分曲線的大致圖形。的大致圖形。 圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主要特征。要特征。 該方法的思想?yún)s十分重要。因為能夠用初等方法該方法的思想?yún)s十分重要。因為能夠用初等方法求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對了解該方程所反映的實際現(xiàn)象的變化規(guī)

5、律就態(tài)對了解該方程所反映的實際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導意義。有很重要的指導意義。二、二、 積分曲線的圖解法積分曲線的圖解法第6頁/共98頁三、一階常微分方程的解法三、一階常微分方程的解法1 1線性方程線性方程2 2 變量可分離方程變量可分離方程3 3 全微分方程全微分方程4 4 變量替換法變量替換法5 5 一階隱式方程一階隱式方程6 6 近似解法近似解法7 7 一階微分方程的應用一階微分方程的應用第7頁/共98頁初值問題初值問題 的解為的解為 初值問題 的解為 00( )0()dyp x ydxy xy00exp( )xxyyp x dx00( )( )()dyp x yg xdxy x

6、y0000exp( )( )exp( )xxsxxxyypdg spd ds第8頁/共98頁BernoulliBernoulli方程方程ny以,1 nyz求出此方程通解后,令解法:伯努利方程的標準形式伯努利方程的標準形式: :)1,0()()(ddnyxQyxPxyn)()(dd1xQyxPxyynnxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解。第9頁/共98頁例例 湖泊的污染湖泊的污染設一個化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時. 開始湖中有水4000

7、00立方米. 河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時, 湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時,求該廠排污1年時, 湖泊水中鹽酸的含量。解: 設t時刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為考慮 ,ttt內湖泊中鹽酸的變化。( )x t第10頁/共98頁ttxtttxttx204000000)(100008. 320)()(因此有. 0)0(, 6 .612400000100 xtxdtdx該方程有積分因子50)02.04000()2400000100exp()(tdttt兩邊同乘以)(t后,整理得5050)02. 04000(6 .61)02. 04000(ttxdtd第11頁/共98頁積

8、分得Ctxt5150)02. 0400(513080)02. 04000(利用初始條件得51)4000(513080C.)02. 040004000(400002. 04000513080)(50tttx).kg(223824)8760(x第12頁/共98頁當 , ( )0g y ( )g y得 變量可分離方程的求解變量可分離方程的求解方程（2.2.1）兩邊同除以 ( )( )dyf x dxg y這樣對上式兩邊積分得到( )( )dyf x dxCg y第13頁/共98頁齊次函數(shù)齊次函數(shù): 函數(shù)),(yxf稱為m次齊次函數(shù), 如果. 0),(),(tyxfttytxfm齊次方程齊次方程: 形

9、如( )dyyFdxx的方程稱為齊次方程。 引入一個新變量化為變量可分離方程求解思想求解思想:求解。齊次方程齊次方程第14頁/共98頁可化為齊次方程的方程)(111cybacbyaxfdxdy形如的方程可化為齊次方程.其中111,cbacba都是常數(shù).1. 當01 cc時, 此方程就是齊次方程.2. 當0212cc時, 并且(1)011baba第15頁/共98頁此時二元方程組0011cybxacbyax有惟一解.,yx引入新變量.,yx此時, 方程可化為齊次方程:).(11babafdd第16頁/共98頁(2) 若011baba則存在實數(shù),使得:,11bbaa或者有.,11bbaa不妨是前者,

10、 則方程可變?yōu)?.(111cybxacbyaxfdxdy令,byaxz則).(1czczbfadxdybadxdz第17頁/共98頁4. 對特殊方程)(cbyaxfdxdy令,byaxz則).(czbfadxdz第18頁/共98頁例例 求方程 的通解。 13dyxydxxy解解：解方程組 1030 xyxy 得 12xy 令 1,2xuyv代入原方程可得到齊次方程211dvuvdxuvdzzudxz令 vuz得第19頁/共98頁21arctanln(1)ln2zzuC還原后得原方程通解為222arctanln(1)(2)1yxyCx變量分離后積分2(1)1z dzduzu第20頁/共98頁例例

11、:雪球融化問題設雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm ，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm。求雪球的體積隨時間變化的關系。解:設t時刻雪球的體積為 ( )V t，表面積為 ( )S t，( )( )dV tkS tdt 球體與表面積的關系為 122333( )(4 ) 3S tV變量可分離方程的應用變量可分離方程的應用由題得第21頁/共98頁引入新常數(shù) 1233(4 ) 3rk再利用題中的條件得23dVrVdx (0)288V(2)36V分離變量積分得方程得通解為31( )()27V tCrt再利用條件 (0)288V(2)36V確定出常

12、數(shù)C和r代入關系式得 3( )(123 )6V ttt的取值在 0,4之間。 第22頁/共98頁中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則 定理定理2.12.1 設函數(shù) ( , )M x y和 ( , )N x y在一個矩形區(qū)域是全微分方程的充要條件為:( , )( , )M x yN x yyx（2.3.3)方程為全微分方程的充要條件方程為全微分方程的充要條件0),(),(dyyxNdxyxMR第23頁/共98頁例：驗證方程2( cos2)(sin2)0yyyxxedxxx edy是全微分方程，并求它的通解。由于 ( , )cos2yM x yyxxe2( , )sin2yN x yxx e3.3.全微

13、分方程的積分全微分方程的積分解：當一個方程是全微分方程時,我們有三種解法.(1) 線積分法:dyyxNdxyxMyxFyxyx),(),(),(),(),(00dssxNdsysMyxFyyxx00),(),(),(0或第24頁/共98頁2sin2yyxx ey由公式得: 00( cos2)2xyyyssedsds故通解為2sin2yyxx eyCyxdssNdsysMyxF00), 0(),(),(其中C為任意常數(shù)( , )( , )M x yN x yyx所以方程為全微分方程。,2cos),(yxexyyxMyxexxyxN2cos),(第25頁/共98頁(2)偏積分法的通解.例：求方程0

14、)sin2()(dyyxdxyex由于 解：yeyxMx),(yxyxNsin2),(xyxNyyxM),(1),(假設所求全微分函數(shù)為 ),(yxF,則有 ),(),(yxMyexyxFx),(sin2),(yxNyxyyxF求 ),(yxF第26頁/共98頁)()(),(yyxedxyeyxFxx而 yxyyxFsin2),(即yxyxsin2)(從而yysin2)(yycos2)(即CyxyeyxFxcos2),(第27頁/共98頁例例：驗證方程22(cos sin)(1)0 xxxydxyxdy是全微分方程，并求它滿足初始條件： 的解。 (0)2y解解：2MNxyyx 所以方程為全微分

15、方程。 由于 21cos sin( sin)2xxdxdx22221()2xy dxyx dydx y21()2ydydy由于 (3)湊微分法第28頁/共98頁方程的通解為： 2222sin xx yyc利用條件 (0)2y得 4c 最后得所求初值問題得解為：222sin(1)4xyx根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗,原方程可寫為0)(sincos22ydydyyxdxxyxdxx第29頁/共98頁四、微分方程的四、微分方程的近似解法近似解法用一些函數(shù)去近似微分方程的解用一些函數(shù)去近似微分方程的解在一些點上計算方程解的近似值在一些點上計算方程解的近似值逐次迭代法逐次迭代法TaylorTaylor級數(shù)法級

16、數(shù)法EulerEuler折線法折線法Runge-KuttaRunge-Kutta法法第30頁/共98頁能得到解析解的方程能得到解析解的方程： 線性方程、變量可分離的方程、 全微分方程以及能通過各種方法化為這些類型的方程.絕大部分方程無法求得解析解，一些近似解法也對實際問題的解決有很大幫助，我們需要討論在得不到解析解時尋求近似解的方法。第31頁/共98頁對初始值問題構造迭代序列 該序列一致收斂到解，故迭代一定次數(shù)后就可以作為一個近似1 1、 逐次迭代法逐次迭代法010( ,( )xxf ss ds0（x）=y 第32頁/共98頁x10( )11,y xx 0y (s)ds2x20( )11,2!

17、xyxx 1y(s)ds0( )1,yx x0( )11!nnxyxxn n-1y (s)ds 解：解：該初值問題近似解的迭代序列 如下例例 求初值問題的近似解(0) 1y,dyydx)(xyn第33頁/共98頁111011| ( )( )|!|(1)!2|2(1)!2 |1(1)!2kknk nk nknknnxxy xyxkkxxnnxnnnxxnn 迭代的誤差 (|x|1+(y-x)2;f2:=(x,y)-2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)2);for n from 0 to 9 doxn+1:=h*(n+1);yn+1:=yn+h*f1(xn,yn);zn+1:=zn+h

18、*f1(xn,zn)+h2*f2(xn,zn)/2;un+1:=xn+1+1/(2-xn+1);print (xn+1,yn+1,zn+1,un+1);od:可以改變步長和增加分點來觀察計算精度的變化情況第53頁/共98頁 := f1(), x y1()yx2 := f2(), x y2 x2 y2 ()yx ()1()yx2,.1 .625 .6262500000 .6263157895,.2 .7525625 .7554012980 .7555555556,.3 .8830950316 .8879616079 .8882352941,.4 1.017095013 1.024564070 1

19、.025000000,.5 1.155175638 1.166008399 1.166666667,.6 1.298101150 1.313319313 1.314285714,.7 1.446835672 1.467831300 1.469230769,.8 1.602612024 1.631314654 1.633333333,.9 1.767030630 1.806168142 1.809090909,1.0 1.942204841 1.995723127 2.000000000第54頁/共98頁0)(),(yaybxayxfy對于常微分方程的邊值問題的解( ) ,yy x111( )(

20、)()(),nnnnny xy xyxx),(11nnnxx)()()(111nnnyhxyhxy即- (1) Runge-Kutta(Runge-Kutta(龍格龍格 - - 庫塔庫塔) )法法Runge-KuttaRunge-Kutta方法的導出方法的導出有上使用微分中值定理,在區(qū)間1,nnxx第55頁/共98頁( )yy xhKxyhxynn)()(11-(2)引入記號)(1nyK)(,11nnyf1,nnxx的近似值K。就可得到相應的1nxnxxy)(xyy hKyynn1-(3)Runge-Kutta方法即(3)式K只要使用適當?shù)姆椒ㄇ蟪鰕(x)上平均斜率在區(qū)間K可以認為是在區(qū)間上的

21、平均斜率。1,nnxx第56頁/共98頁低階Runge-Kutta方法1nxnxxy)(xyy 如下圖11( )( ),nnny xxy xxxK如果以在處的斜率作為在上的平均斜率即)(1nxyK)(,11nnxyxf則(4)式化為),(111nnnnyxhfyy),(11nnyxf即Euler方法Euler方法也稱為一階一階Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法)()(2hOhen由于-(4)KK第57頁/共98頁1nxnxxy)(xyy1121( )( ),nnnny xxxKKy xxx如果以在和 處的斜率和的算術平均值作為在上的平均斜率)(11nxyK),(11nnyxf

22、)(2nxyK)(,nnxyxf),(nnyxf),(11hKyxfnn(由(4)式)令221KKK則(3)式化為K1K2K第58頁/共98頁)(2211KKhyynn),(111nnyxfK),(112hKyxfKnn)(00 xyy -(5)稱為二階Runge-Kutta法)()(3hOhen第59頁/共98頁高階Runge-Kutta方法2,1212111hxxxxxnnnnn上增加一點如果上的平均斜率在作為的加權平均值和、處的斜率和、在且以,)()(1321211nnnnnxxxyKKKxxxxy)(11nxyK),(11nnyxf)(212nxyK)(,2121nnxyxf1nxnx

23、21hxnxy)(xyy )(3nxyK)(,nnxyxf未知K1K2K3K第60頁/共98頁)(21nxy)2,2(111Khyhxfnn令112Khyn)(212nxyK)2(121KKhyn)(nxy)2(,(1211KKhyhxfnn)(3nxyK1112()2nnnhxxKKy x同樣以、處的斜率、預測令)(2111nnxyKx預測處的斜率如果以第61頁/共98頁),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn)2(,(12113KKhyhxfKnn)(00 xyy 取321616461KKKK則)4(63211KKKhyynn-(6)(6)式稱為三階Runge-Kutt

24、a方法第62頁/共98頁)22(643211KKKKhyynn),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn),(3114hKyhxfKnn)(00 xyy 還可構造四階四階( (經(jīng)典經(jīng)典)Runge-Kutta)Runge-Kutta方法)2,2(2113KhyhxfKnn四階(經(jīng)典)Runge=Kutta方法有4階精度第63頁/共98頁例例 求初始值問題的數(shù)值解求初始值問題的數(shù)值解 利用四階Runge=Kutta方法計算機編程 給出步長和初始值 循環(huán)計算各點上函數(shù)的近似值 顯示結果21 () ,(0)0.512yyxyyxx 精確解第64頁/共98頁printlev1:=0:

25、 h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5:f:=(x,y)-1+(y-x)2;for n from 1 to 10 doxn:=h*n;k1:=f(xn-1,yn-1);k2:=f(xn-1+h/2,yn-1+k1*h/2);k3:=f(xn-1+h/2,yn-1+k2*h/2);k4:=f(xn-1+h,yn-1+k3*h);yn:=yn-1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;un:=xn+1/(2-xn);print (xn,yn, un);od:第65頁/共98頁運行結果運行結果 := f(), x y1()yx2,.1 .6263157815 .6263157895,.

26、2 .7555555358 .7555555556,.3 .8882352567 .8882352941,.4 1.024999936 1.025000000,.5 1.166666562 1.166666667,.6 1.314285546 1.314285714,.7 1.469230500 1.469230769,.8 1.633332900 1.633333333,.9 1.809090199 1.809090909,1.0 1.999998803 2.000000000第66頁/共98頁適應范圍適應范圍 與變化率有關的各種實際問題應用三步曲應用三步曲 (1) 建模 即根據(jù)實際問題建立

27、起適當?shù)奈⒎址匠蹋?給出其定解條件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻譯 用所得結果來解釋一些現(xiàn)象，或對問題的 解決提出建議或方法第67頁/共98頁建議建議: : 模型要詳略得當模型要詳略得當 在用微分方程解決實際問題的過程中一定要意識到實際問題是十分復雜的，微分方程只能是在一定程度上對問題的一種近似描述，只要結果的誤差在一定范圍內即可.任何模型都不可能把影響問題的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得結果十分精確.一個好的微分方程模型是在實際問題的精確性和數(shù)學處理的可能性之間的一個平衡.第68頁/共98頁 有一段時間,美國原子能委員會(現(xiàn)為核管理委員會)是這樣處理濃縮放射

28、性廢物的,他們把這些廢物裝入密封性能很好的圓桶中,然后扔到水深300英尺的海里。 這種做法是否會造成放射性污染,很自然地引起了生態(tài)學家及社會各界的關注。原子能委員會一再保證,圓桶非常堅固,決不會破漏,這種做法是絕對安全的。然而一些工程師們卻對此表示懷疑,他們認為圓桶在和海底相撞時有可能發(fā)生破裂。而原子能委員會有專家們則仍然堅持自己的看法。于是,雙方展開了一場筆墨官司。 究竟誰的意見正確呢?看來只能讓事實說話了。問題的關鍵在于圓桶到底能承受多大速度的碰撞,圓桶和海底碰撞時的速度有多大?放射性廢物的處理第69頁/共98頁 大量破壞性實驗,發(fā)現(xiàn)圓桶在40英尺秒的沖撞下會發(fā)生破裂,剩下的問題就是計算圓

29、桶沉入300英尺深的海底時,其末速度究竟有多大了。 美國原子能委員會使用的是55加侖的圓桶,裝滿放射性廢物時的圓桶重量為W527.436磅,而在海水中受到的浮力B470.327磅。此外,下沉時圓桶還要受到海水的阻力,阻力Dv,其中C為常數(shù)。工程師們做了大量實驗,測得C0.08?，F(xiàn)在,取一個垂直向下的坐標,并以海平面為坐標原點(0)。于是,根據(jù)牛頓第二定律建立圓桶下沉時應滿足方程 質量質量加速度加速度= =重力重力- -浮力浮力- -摩擦阻力摩擦阻力 第70頁/共98頁模型及其解模型及其解tcBmgecmBgmytcBmgeccyyydtdycBmgdtydmmctmct)1 (0)0( , 0

30、)0(,/22/2122oymgBD第71頁/共98頁困難：困難：無法知道下沉到海底的時間無法知道下沉到海底的時間dydvcvBmgcBmgcmdycvBmgmvdvvcvBmgdydvmvdydvvdtdydydvdtdvdtydvdtdy/ )(, 0)0(,22第72頁/共98頁積分和代入初始條件得：積分和代入初始條件得：yBmgcvBmgcBmgvcmBmgcBmgycvBmgcBmgvcmCycvBmgcBmgvcmln)ln()ln()ln(22232最后再用數(shù)值計算可以得到水深300時的速度大小。第73頁/共98頁 借助數(shù)值方法求出v(300)的近似值。計算結果表明, v(300

31、)45.1英尺秒40英尺秒。 工程師們的猜測是正確的,他們打贏了這場官司?，F(xiàn)在,美國原子能委員會已改變了他們處理放射性廢物的方法,并明確規(guī)定禁止將放射性廢物拋入海中。 第74頁/共98頁 一橫截面積為常數(shù)A,高為H的水池內盛滿了水,由池底一橫截面積為B的小孔放水. 求在任意時刻的水面高度和將水放空所需的時間 .第75頁/共98頁 ： 有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.例例 解：解： 由力學知識得,水從孔口流出的流量為,262. 0ghS

32、dtdVQ 流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度值得進一步探討的問題: 不同的形狀第76頁/共98頁cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設在微小的時間間隔,ttt 水面的高度由h 降至 ,hh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較(1)和(2)得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2第77頁/共98頁dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101

33、514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為第78頁/共98頁值得進一步探討的問題值得進一步探討的問題: : 漏斗型的容器漏斗型的容器 由于水的張力的原因，每次水都無法全部留盡，總會剩一小部分在容器中。如何才能讓水盡可能少的留在容器中？我們知道，水與容器接觸的面積越大，留在容器中的水就越多先討論一下漏斗的模型。 y 第79頁/共98頁容器的位置容器的位置 可否將容器傾斜，使上部的面積大于下部的面積，使水流的速度更快？傾斜角度？第80頁/共98頁容器的運動狀態(tài)容器的運動狀態(tài) 容器的運動狀態(tài)對流水的速度是肯定會造成影響的，考慮極限的狀態(tài)，如果容器以大于等于當

34、地重力加速度的加速度豎直向下運動，那么，容器里的水就不會流出。容器以不同的方式運動時對水的流出時間有多少影響？有沒有一種運動狀態(tài)能加快水流的速度呢？ 第81頁/共98頁渦流的影響渦流的影響 渦流對水流的速度是有一定影響的。拿一個水桶反復做這樣的試驗：首先將桶裝滿水，記錄水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，讓水自然從桶破了的孔中流出，測量流出的時間，然后反復從同一高度作相同的試驗，最后求出水自然流盡所需時間的平均值；然后從同一高度作相同的試驗，不同的是用一根棍子繞同一方向在水中攪動，使其產(chǎn)生渦流，然后重復上面的步驟。最后發(fā)現(xiàn)通過兩種方法測得的水流盡所需時間的平均值有較大的差距，于是猜想有無渦流或

35、許對水流的速度也是有一定影響的。 第82頁/共98頁五、五、 高階常系數(shù)齊次線性方程高階常系數(shù)齊次線性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）(其中 為常數(shù))為n階常系數(shù)齊次線性方程.12,na aa第83頁/共98頁的根。方程（）稱為方程（）的特征方程，它的根稱為方程（）的特征根.0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.7）1.1.特征根為單根特征根為單根 設 是（3.3.7）的n個不相同根， 12,n 則對應方程（）有n個解12,nttteee（3.3.8）第84頁/共98頁求方程（）的通解的一般步驟：第一步 求方程的特征方程及特征根

36、1,n第二步 計算方程相應的解 a) 對每一個單實根 kkte有解b) 對每一個m1重實根 k方程有m個解 1,kkktttmetete第85頁/共98頁c) 對每一個重數(shù)為1的共軛復根 cos,sinttet eti方程有兩個如下形式的解：方程有2m個如下形式的解： d)對每一個重數(shù) m1的共軛復根 i,cos,cos,cos,cos121tettetttetetkttt.sin,sin,sin,sin121tettetttetetkttt第三步 根據(jù)第二步寫出基本解組和通解 第86頁/共98頁解解：特征方程 32340故特征根為 11 2,32例例：求3232340d xd xxdtdt的通解.其中11 2,32是單根，是二重根，因此有解.,22tttteee方程通解為：.)(23221ttttececectx其中123,c c c為任意常數(shù).第87頁/共98頁上述兩實根和兩復根均是單根，方程通解為：.sincos)(4321tctcecectxtt例例：求的通解.044 xdtxd解解：特征方程 014故特征根為