線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解

1、8. 5線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解為了便于揭示系統(tǒng)的固有特性，經(jīng)常需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行非奇異線性變換，如將a矩陣對(duì) 角化、約當(dāng)化；將系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型也需要進(jìn)行線性變換。為了便于分析 與設(shè)計(jì)，需要對(duì)動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行規(guī)范分解，往往也涉及線性變換。如何變換？經(jīng)過(guò)變換后，系 統(tǒng)的固有特性是否會(huì)引起改變呢？這些問(wèn)題必須加以研究解決。8.5. 1線性系統(tǒng)的非奇異線性變換及其性質(zhì)1 .非奇異線性變換設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為x(t) = ax(r) + bu y (t) = cx(t) + du(t)x = px(8-134)(8-135)式中，非奇異矩陣p(detpho,有時(shí)以pj形式出現(xiàn))將狀態(tài)

2、x變換為狀態(tài)丘。設(shè)變換后 的動(dòng)態(tài)方程為x(t) = ax + bu(t)_(8-136)則有元= px a = p1ap b = pb c = cp d = d (8-137)上述過(guò)程就是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行非奇異線性變換。線性變換的目的在于使a陣或系統(tǒng)規(guī)范化, 以便于揭示系統(tǒng)特性，簡(jiǎn)化分析、計(jì)算與設(shè)計(jì)，在系統(tǒng)建模，可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性分 析，系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)方面特別有用。非奇異線性變換不會(huì)改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)，所以是等價(jià)變 換。待計(jì)算出所需結(jié)果之后，再引入反變換x = px.將新系統(tǒng)變回原來(lái)的狀態(tài)空間中去, 獲得最終結(jié)果。2.非奇異線性變換的性質(zhì)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異線性變換，系統(tǒng)的特征值、傳遞矩陣、可控性、可

3、觀測(cè)性等重要性質(zhì)均 保持不變性。下面進(jìn)行證明。(1) 變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變證明 列出變換后系統(tǒng)傳遞矩陣0為g = cp(si - p-'ap)-' p'b + d=cp(pls/p-plap)-1 p-'b + d=cpp'x (si a)p_1 p"b + d=cppsi - a)' pp b + d= c(si-ayb-d = g表明變換前后的系統(tǒng)傳遞矩陣相同。(2) 線性變換后系統(tǒng)特征值不變證明列出變換后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式| ai - p'lap |=| apxp-pxap |=| paip-p-ap |=| p'

4、al-a)p=p- ai-ap=| p-11| p| az-a|=| z | az-a|=| az-a|表明變換前后的特征多項(xiàng)式相同，故特征值不變。由此可以推出，非奇異變換后，系統(tǒng) 的穩(wěn)定性不變。(3) 變換后系統(tǒng)可控性不變證明 列岀變換后系統(tǒng)可控性陣的秩ranks4 = rankp'lb (p'1ap)p-b (p'lap)2p-lb (嚴(yán)771嚴(yán)咕=rankp-b p'lab p'b = rankp-b ab a2b anb=rankb ab a2b ahlb表明變換前后的可控性矩陣的秩相同，故可控性不變。(4) 變換后系統(tǒng)可觀測(cè)性不變證明列出變換后

5、可可觀測(cè)性矩陣的秩rankv2 = rank(cp)t (pl ap)t (cp)t p' apy1)7 cp)t=rankptct pt ct pt)t ct =rankprct afcr- (q )t ct=rcmkct "l (a,_,)7'c7表明變換前后可觀測(cè)性矩陣的秩相同，故可觀測(cè)性不變。(5) 0(r) = / = peatp = p_,0(r) p(8-138)證明 er'apt = / + pt apt + 丄(p“ apf 廠 + + 丄(pap)ktk +-2k=pt/p+p“ah +丄(p"ap)2 尸 +. + 丄(piap

6、r，+!=廠1(/ +加+丄人2嚴(yán)+. +丄屮嚴(yán)+)»二pt外p2k8. 5.2幾種常用的線性變換1. 化a為對(duì)角陣(1) 4陣為任意方陣，且有互異實(shí)數(shù)特征根人，人，人。則由非奇異變換可將其化為對(duì)角陣a = plap =p由特征向量門(mén)（心1,2,力組成,p = p pl pn（8-140）特征向量滿足a p嚴(yán)入pi(8-141)（2）a矩陣為友矩陣,且有互異實(shí)數(shù)特征根九入，人。則用范德蒙特（vandermode）矩陣p可以將a對(duì)角化。001001 0 0p =1a1a21 4皆000 1_aoa匕2an_-占人"(8-142)（3）a矩陣為任意方陣，有m重實(shí)數(shù)特征根（人=人

7、= =”），其余（n-m）個(gè)特 征根為互異實(shí)數(shù)特征根，但在求解api=aipi （/ = 0, ,/;?）時(shí)，仍有m個(gè)獨(dú)立的特征向 量p，p2,pz則仍可以將a矩陣化為對(duì)角陣。(8-143)(8-144)a = p-1ap =幾+1pn式中，幾+1，幾+2,，幾是互異實(shí)數(shù)特征根血+，心+2,，&對(duì)應(yīng)的特征向量。2. 化a矩陣為約當(dāng)陣（1）a矩陣有m重實(shí)數(shù)特征根（人=入二= &”），其余（n m）個(gè)特征根為互異 實(shí)數(shù)特征根，但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量卩時(shí)，只能將a矩陣化為約當(dāng)陣j。p = p1 pl p,n '' 幾+1 pn®146）式屮，p, p,

8、”+i，幾+2,，卩“分別是互異實(shí)數(shù)特征根人，心+1，心+2,，人對(duì)應(yīng)的特征向量,而p2心心是廣義特征向量,可由下式求得apl12 (8-147)（2）當(dāng)a矩陣為友矩陣，具有m重實(shí)數(shù)特征根（人=£= = &”），其余（n m） 個(gè)特征根為互異實(shí)數(shù)特征根，但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量口時(shí)，將a矩陣約當(dāng)陣化的 p矩陣為p= pdm- 一pl諷"1pm+1 pn(8-148)（3）a矩陣有五重特征根人，但有兩個(gè)獨(dú)立特征向量、卩2,其余（n-5）個(gè)特征根 為互異特征根，一般可化a矩陣為如下形式的約當(dāng)陣丿a 1j = p-ap =1aa ia(8-149)幾pn(8-150)

9、3.化可控狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型前面曾對(duì)單輸入單輸出建立了可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程，即001001 0 0叮+°0u九一 1000 10_ aqaan-_1與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣s是一個(gè)右下三角陣,0000s = b ab an-lb =00011an-l0 010 1an-(8-152)1 xxan- xxcln-2 xx且其副對(duì)角線元素均為1定可選擇適當(dāng)?shù)木€性變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x = ax + bu進(jìn)行pi變換，即令x - p' z狀態(tài)方程變換為z = pap7 + pbu_ 010 - 0o001 00要求pap-' = pl.?=000 10_

10、ao-a1 a2 . _d“】_1設(shè)變換矩陣為p = ip! p；耐根據(jù)a矩陣變換要求，變換矩陣p矩陣應(yīng)滿足式（8-156),即p 0 1 0 -0 _ p pi0 0 1 0plpn-2a =0000pn-9pn-l0 0 0 1pn-_ pn .一一兔-a-a2an- _ pn .-個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)a, b不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),(8-153)(8-154)(8-155)(8-156)(8-157)(8-158)展開(kāi)之pa = plp2a = pipn-2a = p“7pn-la =pnpna = 一訶一衛(wèi)2an_2pn_-an_pn增補(bǔ)一個(gè)方程p =ppllw(8-160)(8-161)(8-

11、162)另根據(jù)b矩陣變換耍求，p應(yīng)滿足式(&156),有plb 1pi ab= pah=an-'b即p. b ab = 0 0 1故卩二0 0 lb ab an'b該式表示卩是可控性矩陣逆陣的最后一行。于是可以得到變換矩陣p的求法如下：(1) 計(jì)算可控性矩陣 s3 = b ab'll sn(2) 計(jì)算可控性矩陣的逆陣 5；1 =:%陰.(3) 取出sj的最后一行(即第n行)構(gòu)成門(mén)行向量門(mén)=心 幾'p '(4) 按下列方式構(gòu)造p陣p=(5) p-1便是將普通可控狀態(tài)方程可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程的變換矩陣。當(dāng)然，也可先將任意矩陣a化為對(duì)角型，然后再將

12、對(duì)角陣化為友矩陣的方法將a化為 友矩陣。8. 5.3對(duì)偶原理設(shè)有系統(tǒng)s|(a,b,c),則稱系統(tǒng)s2(ar,ct,bt)為系統(tǒng)sj勺對(duì)偶系統(tǒng)。其動(dòng)態(tài)方程 分別為系統(tǒng)s:x = ax+ bu, y = cx系統(tǒng)s2：z = atz + ctv, w=btz(8-163)式中，兀、z均為n維狀態(tài)向量，“、w均為維，y、v均為q維狀態(tài)向量。注意，系統(tǒng)與對(duì) 偶系統(tǒng)之i、可，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。當(dāng)s?為s的對(duì)偶系統(tǒng)時(shí)，s也是s?的對(duì)偶系統(tǒng)。如果系統(tǒng)s|可控，則s?必然可觀測(cè)；如果系統(tǒng)$可觀測(cè)，則s?必然可控；反 之亦然，這就是對(duì)偶原理。實(shí)際上，不難驗(yàn)證：系統(tǒng)s的可控性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)s?的可

13、觀測(cè)性矩陣完全相同；系 統(tǒng)s?的可觀測(cè)性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)5的可控性矩陣完全相同。在動(dòng)態(tài)方程建模、系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性的判別、系統(tǒng)線性變換等問(wèn)題上，應(yīng)用對(duì)偶原 理，往往可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。應(yīng)用對(duì)偶原理，可以把可觀測(cè)的單輸入單輸出系統(tǒng)化為可 觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為將其對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。(8-164)(8-165)設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為x - ax + bu, y = ex系統(tǒng)可觀測(cè)，但a,c不是可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。其對(duì)偶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為z = arz + crv, w = ht z對(duì)偶系統(tǒng)一定可控，但不是可控標(biāo)準(zhǔn)型?？衫每煽貥?biāo)準(zhǔn)型變換的原理和步驟，先將對(duì)偶系 統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，再一次使

14、用對(duì)偶原理，便可獲得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，下面僅給出其計(jì)算步驟。（1）列出對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測(cè)性矩陣匕）(8-166)（2）求嶺的逆陣嶺"，且記為行向量組(8-167)（3）収嶺“的第幾行記，并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣(8-168)r記（4）求矩陣p的逆陣p-,并引入p-變換即z = p-1z,變換后動(dòng)態(tài)方程為z 二 rfp一吃 + pctv, w = btp'z（8-169）（5）對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用対偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果為(8-170)x = （patp）tx + （btp-）tu = p'ta prx + p-tbu y元= cptx與

15、原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型須進(jìn)行變換，即令(8-171)x = prx式中,pt =(8-172)v為原系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置。8. 5. 4線性系統(tǒng)的規(guī)范分解不可控系統(tǒng)含有可控、不可控兩種狀態(tài)變量；狀態(tài)變量可以分解成可控兀、不可控斥 兩類，與z相應(yīng)，系統(tǒng)和狀態(tài)空間可分成可控子系統(tǒng)和不可控子系統(tǒng)、可控子空間和不可控 子空間。同樣，不可觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)變量可以分解成可觀£、不可觀召兩類，系統(tǒng)和狀態(tài)空 間也分成可觀子系統(tǒng)和不可觀子系統(tǒng)、可觀子空間和不可觀子空間。這個(gè)分解過(guò)程稱為系統(tǒng) 的規(guī)范分解。通過(guò)規(guī)范分解能明晰系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性，簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析與

16、設(shè)計(jì)。具 體方法是選取一種特殊的線性變換，使原動(dòng)態(tài)方程屮的a, b, c矩陣變換成某種標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造 的形式。上述分解過(guò)程還可以進(jìn)一步深入，狀態(tài)變量可以分解成可控可觀測(cè)?！?、可控不可 觀測(cè)x必、不可控可觀測(cè)七八不可控不可觀測(cè)兀雨四類，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)子空間和子系統(tǒng)也分成 四類。規(guī)范分解過(guò)程可以先從系統(tǒng)的可控性分解開(kāi)始，將可控，不可控的狀態(tài)變量分離開(kāi), 繼而分別對(duì)可控和不可控的子系統(tǒng)再進(jìn)行可觀測(cè)性分解，便可以分離出四類狀態(tài)變量及四類 子系統(tǒng)。當(dāng)然，也可以先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解，然后再進(jìn)行可控性分解。下面僅介紹可 控性分解和可觀測(cè)性分解的方法，有關(guān)證明從略。1可控性分解設(shè)不可控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為i = av +

17、 bu, y = cx（8-173）假定可控性矩陣的秩為r（r < n）,從可控性矩陣中選111廠個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量，再附加上 任意盡可能簡(jiǎn)單的（心）個(gè)列向量，構(gòu)成非奇異陣的廠變換矩陣，那么，只須引入廠變 換矩陣，即令(8-174)壓式（8173）就可變換成如下的標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造，即xc+ tbii, y = ct'1xr= tat'1ccl%ej(8-175)tatl =£廠行tb = b、廠行_ 0企2_（-廠）行0_（n 一廠）行廠列廠）列p列c廠i二= c,c2 g行廠列(/? 一 r)列式中，九為r維可控狀態(tài)子向量，占為十）維不可控狀態(tài)子向量(8-176)展開(kāi)式

18、（8-175）,得auxc + a2x-+bu= 22 xc將輸出向量進(jìn)行分解，可得子系統(tǒng)狀態(tài)方程。可控子系統(tǒng)狀態(tài)方程為xc = axc + al2x-+bu, y = cxxc(8-177)不可控子系統(tǒng)狀態(tài)方程為x- = a22x, y = c2x-(8-178)由于“僅通過(guò)可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，故"至y之間的傳遞兩數(shù)矩陣描述不能反映不可 控部分的特性。但是對(duì)控子系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)耳(。及系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(/)均與七有關(guān)，不可 控子系統(tǒng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響依然存在，如要求整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，方”應(yīng)僅含穩(wěn)定特征值。至于選擇怎樣的巧個(gè)附加列向量是無(wú)關(guān)緊要的，只耍構(gòu)成的7非奇異，并不會(huì)改變 規(guī)范分解的結(jié)果。例8-34已知系統(tǒng)s(a"，c),試按可控性進(jìn)行規(guī)范分解。12-1_0a =010,b =01-43_1c = l -11解計(jì)算可控性矩陣的秩rankb aba2/?= rank 01-103-4082<n故系統(tǒng)不可控。從中選出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)列, 矩陣廠,并計(jì)算變換后的各矩陣附加任意列向量01o7 ,構(gòu)成非奇異變換-10t =(ry1300-42 _ttat'1=14-2,th =000103-10=1 21可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為0 -4+_ 2 _x-+r1 4c_-2_c0",y = i 2k不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為2 可觀測(cè)性分解設(shè)系統(tǒng)可觀測(cè)