圓錐曲線離心率問(wèn)題

1、圓錐曲線的離心率問(wèn)題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫(huà)了橢圓， 雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)a, c 之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、離心率公式：ec （其中 c 為圓錐曲線的半焦距）a（ 1）橢圓： e 0,1（ 2）雙曲線： e 1,+2、圓錐曲線中 a,b, c 的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（1）橢圓： a2b2c2 ， 2a ：長(zhǎng)軸長(zhǎng)，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和：PF1PF22a 2b ：短軸長(zhǎng) 2c :橢圓的焦距（2）雙曲線： c2 b2 a2 2a ：實(shí)軸長(zhǎng)，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對(duì)值：PF1PF22a 2b ：虛軸長(zhǎng) 2c :橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率

2、主要圍繞尋找參數(shù) a, b, c 的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可） ，方法通常有兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形） ，那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與a 有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（ 2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用 a,b,c 進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問(wèn)題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：（ 1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。 如果問(wèn)題圍繞在 “曲線上存在一點(diǎn)”，則

3、可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用 a, b, c 表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（ 2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（ 3）通過(guò)一些不等關(guān)系得到關(guān)于 a, b, c 的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓： e 0,1 ，雙曲線： e 1,+二、典型例題：例 1：設(shè) F1, F2x2y 21 a b 0 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P分別是橢圓 C :2b2a在橢圓C 上，線段PF1 的中點(diǎn)在y 軸上，若PF1F230o ，則橢圓的離心率為（）A3B 3C1D13636思路：本題存在焦點(diǎn)三角形VPF

4、1 F2 ，由線段PF1 的中點(diǎn)在y 軸上，O 為 F1 F2 中點(diǎn)可得PF2 y 軸，從而 PF2F1F2 ，又因?yàn)镻F1F2 30o ，則直角三角形VPF1F2中，PF1 : PF2 : F1F22:1:3，且2a PF1 PF2 ,2 cc2cF1 F23F1F2 ，所以e2aPF1 PF23a答案： A小煉有話(huà)說(shuō)：在圓錐曲線中，要注意O 為 F1 F2 中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則 有可能與 O搭配形 成三角形的中位線。例 2：橢圓x2y21 0 b 2 3 與漸近線為 x2 y0 的雙曲線有相12b2同的焦點(diǎn) F1, F2, P 為它們的一個(gè)公共點(diǎn), 且F1PF290

5、o , 則橢圓的離心率為 _思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對(duì)焦點(diǎn)，設(shè)F1 F22c，在雙曲線中，b'1a' : b' : c 2 :1: 5，不妨設(shè) P 在第一a'2象限，則由橢圓定義可得：PF1PF24 3 ，由雙曲線定義可得：PF1PF22a'4 c ， 因 為F1PF290o ，22PF1PF24c2 而5PF1PF22PF122PF22PF2PF1=2代入可得：4816c28c2c10 ec305a6答案：306小煉有話(huà)說(shuō)：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例

6、 3：如圖所示，已知雙曲線x2y2a2b2 1 a b 0 的右焦點(diǎn)為 F ，過(guò) F 的直線 l 交雙曲線的漸近線于A, B 兩點(diǎn)，且直線 l 的傾斜角是uuuruuur，則該雙曲線的離心率為 （）漸近線 OA 傾斜角的 2 倍，若 AF2FB3 2 23305 思路：本題沒(méi)有焦半4352徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力用a, b, c 表示，再尋找一個(gè)等量關(guān)系解出a, b,c 的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為y b x ，由直 線 l 的傾 斜角 是漸近a2b2ab線 OA 傾斜角的2倍可得： kOAa2，確定直線l 的1b2a2b22aba方程為 yxc ，與漸近線聯(lián)立方

7、程得a22b2abya2b2x cy2abc2 or y2abc將uuuruuurb3a2ba2b2AF2FB轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)ya語(yǔ)言，則yA2 yB ，即2abc22abc2 ，解得 a : b : c3:1: 2，2b23a2b2a從而 e33答案： B22例 4：設(shè) F1， F2 分別為雙曲線 x2y21(a0, b0) 的左、右焦點(diǎn)，雙ab曲線上存在一點(diǎn) P 使得 | PF1 | PF2 | 3b,| PF1 | PF29ab, 則該雙曲線|4的離心率為4 5 9 思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到PF1PF2 2a ，進(jìn)3 349 ab, 找到聯(lián)系，計(jì)算出 a, b 的比例，而與 |PF1

8、| PF2 | 3b, | PF1 | | PF2 |4從而求得 e解： Q PF1PF22a即 9b24a29ab9b29ab 4a20b2b0 解得： b1 （舍）或 b4994aaa3a3答案： B例5 ： 如 圖 ， 在 平面直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中， A1 , A2 , B1 , B2 為 橢 圓x2y 21(ab 0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1Fa2b2相交于點(diǎn) T，線段 OT 與橢圓的交點(diǎn) M 恰為線段 OT 的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .思路：本題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意義， 所以考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a, b, c進(jìn)行表示，在利用條

9、件求出離心。首先直線 A1B2, B1F 的方程含 a,b,c ，聯(lián)立方程后交點(diǎn)T 的坐標(biāo)可用 a, b, c 進(jìn)行2acb acacb ac，再利用 M 點(diǎn)表示（ T,c），則 OT 中點(diǎn) M,ca caac 2 a在橢圓上即可求出離心率e解：直線 A1B2的方程為： xy1 ；ab直線 B1 F 的方程為： xy1 ，聯(lián)立方程可得：bxayabcybxbccb解得： T ( 2ac , b(ac) ) ，acac則 M ( ac, b(ac)在橢圓 x2y21(ab0) 上，a c2(ac)a2b2解得： e275答案： e275例 6：已知 F 是雙曲線 x2 y2 1a0,b0 的左焦

10、點(diǎn)， E 是該雙曲a2b2線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F 且垂直于x 軸的直線與雙曲線交于A,B 兩點(diǎn)，若 VABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（）A 1,B 1,2 C 1,12 D 2,12思路：從圖中可觀察到若VABE 為銳角三角形，只需要AEB 為銳角。由對(duì)稱(chēng)性可得只需AEF0,即可。且 AF , FE 均可用 a,b,c 表4示， AF 是通徑的一半，得： AFb2， FEa c ， 所 以aAFb2c2a2cae 2，即 e 1,2tan AEFa a c1c11FEa aa答案： B小煉有話(huà)說(shuō)： （ 1）在處理有關(guān)角的范圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問(wèn)題

11、轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮?wèn)題（ 2）本題還可以從直線AE 的斜率入手， Eb2a,0 , A c,，利用akAE1,0即可求出離心率例 7：已知橢圓 x2y21 a b 0 的左、右焦a2b2點(diǎn)分別為 F1 c,0,F2c,0，若橢圓上存在點(diǎn) P 使ac，則該橢圓的離心率的取sin PF1F2sin PF2F1值范圍為（）0, 2120,22 1,1 思路： PF1F2 ,PF2 F1 為焦點(diǎn)三角形,122VPF1F2 的內(nèi)角，且對(duì)邊為焦半徑PF2 , PF1 ，所以利用正弦定理對(duì)等式變形：acsinPFFcPF1c， 再 由2 1sin PF1F2sinPF2 F1sinPF1F2aPF2aPF2PF

12、12a 解得： PF22a2，再利用焦半徑的范圍為a c,a ca c可得（由于依題意，P 非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值a c,ac ）：2a2ca2c22a2a2c2，解a ca2a2a22ac c2e2a c2e 1 0得 e21,1答案： D例 8：已知 F1, F2 是橢圓 E :x2y2a2b2 1 a b 0 的左右焦點(diǎn)， 若橢圓上存在點(diǎn) P ，使得 PF1PF2 ，則橢圓離心率的取值范圍是（）5,12,10,50,2思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)P 與焦點(diǎn)連5252線所成的角中，當(dāng)P 位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，12F PF 達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在PF1PF2 的點(diǎn) P ，則短

13、軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角90o ，考慮該角與a,b,c 的關(guān)系，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知，OPF245o，所以tanOPF2OF2c1，即2OPbc bc2b2c2a2c2，進(jìn)而c21e21，解得e2，再由a22 即22e 0,1可得 e2,12思路二：由 PF1PF2 可得F1PF290o ，進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形F1 PF2 的面積： SVF PF2b2 tanF1PF2b2 ，另一方面： SV F PF21F1F2yPc yP ，1212從而 cyPb2yPb2，因?yàn)?P 在橢圓上，所以yPb,b，即cb2bbc ，再同思路一可解得：e2,1yP2c思路三： PF1uuuruuur0 ，進(jìn)而通過(guò)向量

14、坐標(biāo)化，將數(shù)PF2 可想到 PF1PF2量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)uuuruuurPF1cx,y , PF2cx,y ，則P x, y , F1c,0, F2c,0， 則 有uuuruuurx2y 2c20，即 P點(diǎn)一PF 1PF2定在以 O 為圓心， c 為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑rb 時(shí)才可有交點(diǎn)， 所以 cb ，同思路一可解得 e2 ,12注：本題對(duì) P 在圓上也可由 PF1PF2 判定出 P 在以 F1F2 為直徑的圓上，進(jìn)而寫(xiě)出圓方程思路四：開(kāi)始同思路三一樣，得到P 所在圓方程為x2y2c2 ，因?yàn)?P 在橢圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：b2 x2a2

15、y2a2b2代入消x2y 2c24去 x 可得： b2 c2y2a2 y2a2b2 ，整理后可得：c2 y 2b4y 2b2 ，c由 yb,b 可得： y2 b4b2c b ，同思路一即可解得： e2 ,1c22答案： e2 ,12小煉有話(huà)說(shuō)：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過(guò)坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解例 9：設(shè)點(diǎn) A1, A2 分別為橢圓 x2y 21 ab0的左右焦點(diǎn)， 若在橢a2b2圓上存在異于點(diǎn) A1, A2 的點(diǎn) P ，使得 POPA2 ，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心

16、率 e 的取值范圍是（）10,212,1 思路：本題取值范圍的突破口在 “橢圓上0,2,1222存在點(diǎn) P ”，則 P 的橫縱坐標(biāo)分別位于a,a ,b,b 中，所以致力于計(jì)算 P的坐標(biāo)，設(shè)Px0 , y0，題目中 A2a,0，由 POPA2 可得 P 也在2a2以 OA2 為 直 徑 的圓 上 。 即 xay2，所以聯(lián)立方程：24a2a2xy22c2241bx2ax20，即x2axb20，由已知x2y2a2ba21a 2b2可得 A2 a,0 也是圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以由韋達(dá)定理可得：ax0a2 b2x0ab2，再根據(jù)x0 的 范 圍 可 得 ：c2c2aab 2ab2c2a2c2c2e21

17、，解得e2 ,1c222答案： D小煉有話(huà)說(shuō)：本題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即已知一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)， 熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)例 10：如圖，已知雙曲線 x 2y21(a0, b0) 上有一點(diǎn) A ，它關(guān)于a 2b2原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B ，點(diǎn) F 為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿(mǎn)足AFBF ，設(shè)ABF，且, ，則該雙曲線離心率e 的取值y范圍為（）126AA 3,23B 2, 3 1C 2,23 D 3, 3 1OFxB思路：本題與焦半徑相關(guān)， 所以考慮 a,c 的幾何含義， AFBF 可得 VABF 為直角三角形，且 AB 2OF2c ，結(jié)合ABF可得 AF2c si

18、n, BF2c cos，因?yàn)?A,B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以AF 即為B 的左焦半徑。 所以有2aBFAF2c cossin ，2c11，即關(guān)于的函數(shù)，在, 求值域即則 ecossin2a2 cos1264可：4, 5cos4642 , 12 cos431,2 ，312222所以 e2,31答案： B三、歷年好題精選1、已知雙曲線 x2y21(a0, b0)， M ， N 是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)a2b2稱(chēng)的兩點(diǎn)， P 是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM ， PN 的斜率分別為k1, k2 ( k1 k2 0)，若1k2 的最小值為，則雙曲線的離心率為（）k1A 2B 5C 3D32222、（ 2016，新余

19、一中模擬）已知點(diǎn)A 是拋物線x24 y 的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn) B為拋物線的焦點(diǎn)， P在拋物線上且滿(mǎn)足 PA m PB ，當(dāng) m 取最大值時(shí)，點(diǎn) P 恰好在以 A, B 為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）2151分別是雙曲線 x2y21、已知 F1 , F21 ab 02 125222ab的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，若 VABF2 是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A 21,B2 1,C 1,12D31, F2 分別是雙曲線 x224、設(shè) F12y2 1a 0,b 0的左右焦點(diǎn)，若雙曲abuuuuruuuuruuur線左支上存在一點(diǎn)

20、M ，使得 F1MOMOF10， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且uuuur3uuuurMF13MF2 ，則該雙曲線的離心率為（）31.31262 .6225、（ 2016 四川高三第一次聯(lián)考）橢圓x2y2a2b2 1 a b 0 和圓y2bt2x22c ，（ c 為橢圓的半焦距）對(duì)任意t 1,2 恒有四個(gè)交2點(diǎn)，則橢圓的離心率e 的取值范圍為（）0,44,10,1717,4、如圖，內(nèi)外兩個(gè)橢圓5517175的離心率相同， 從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC, BD ，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為x2y21 ab0，外層橢圓方程a2b2為x22y22 1 ab0, m 1 若 AC ,BD 的斜率之積為9 ，則橢圓ma

21、mb16的離心率為 _7、（ 2015，新課標(biāo) II）已知 A, B 為雙曲線 E 的左右頂點(diǎn)，點(diǎn) M 在E 上， VABM 為等腰三角形，且頂角為120o ，則 E 的離心率為（）523 2、（2016，宜昌第一中學(xué) 12月考）已知雙曲線x2y21 a 0, b 0的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2，點(diǎn)M在雙曲線的左a2b2支上，且 MF27 MF1 ，則此雙曲線離心率的最大值為（）A 4B 5C2D 73339、（ 2015，山東）平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 C1 :x2y21 a0,b 0 的漸近線a2b2與拋物線 C2 : x22 pyp0 交于點(diǎn) O, A, B ，若 VOAB

22、的垂心為 C2 的焦點(diǎn)，則 C1 離心率為 _10、（ 2014，湖北）已知F1, F2 是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P 是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1 PF2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）34323x3ym0 m0 與雙曲線33 2 、（ 2014，浙江）設(shè)直線3x2y21 a0,b 0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A, B ，若點(diǎn) P m,0 滿(mǎn)a2b2足 PAPB ，則該雙曲線的離心率是_解得：習(xí)題答案：1、答案： B.q), P(s,t) ，則 p221, s22解析：設(shè) M ( p,q), N (p,2q22t 21，abab兩式相減得 : p2s2a2，q2t 2b2而 k1

23、k2q tq t2q t q t2q2t 22 b22b1 ，則p sp sp s p sp2s2a2a2b a ， 4b2a24c24a2a25a24c2e25e5 .422、答案： A解析：由拋物線方程可得：A 0, 1 , B 0,1 ，過(guò) P 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 M ，所以PBPM ，所以 mPA1，可知 m取得最PBsin PAM大值時(shí)， PAM 最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng) AP 與拋物線相切時(shí)，PAM最小。設(shè) AP : ykx 1 ，聯(lián)立方程x24 y，即 x24kx40 ，則ykx10k 1，此時(shí)P2,1， 則PA22, PB2， 所 以2a PA PB 2 2 2 a2 1，則 e

24、c12 1a213、解析： Q VABF2 為鈍角三角形，且 AF2BF2,AF2 F145o即 AF1F1F2， b22cc2a22ac0a即 e22e 10 e12答案： B4、答案： A思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形MF1 F2 的特點(diǎn)，uuuuruuuuruuuruuuuruuuuruuur從 F1MOMOF1 0 入手，可得 F1MOMOF1，數(shù)形結(jié)合可得四邊形 OMPF 1 為菱形，所以 OMOF1OF2 ，可判定 VMF1 F2為直角三角 形 。uuuuruuuur， 可 得MF1 : MF23 : 3MF13k, MF23kF1F22223kMF1MF25、答案： Bbt2ca則 2解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)任意 t1,2bt2cb2恒成立，即b2ca，平方變形后可得：b2cb25c24ac05e24e04ea217c20e21,15176、答案：74解析 ： 設(shè) 切 線 AC 的方 程 為 y k1x ma ， 切 線 BD 的 方 程 為y k2 xyk1 xma2 ，mb ，聯(lián)立切線 AC 與內(nèi)層橢圓方程， 得：22bxayab所 以b2a2 k12x22ma3 k12 xm2a4k12a2 b20， 由0可 得 ：k12b211，同理k22b2m21，所以a2m2a242k12