關(guān)于一般線性回歸方法的計(jì)量分析

1、關(guān)于一般線性回歸方法的計(jì)量分析案例摘要:線性回歸方法是用來研究兩個或兩個以上的隨機(jī)變量之間的相互依存關(guān)系的緊密程度。一般采用普通最小二乘法使樣本各組數(shù)據(jù)的殘差平方和極小，其前提條件符合高斯5點(diǎn)基本假設(shè)。然而，在研究實(shí)際問題中，采用的樣本數(shù)據(jù)違反了高斯-馬爾柯夫定理的條件，經(jīng)常存在多重共線性，異方差性，自相關(guān)性問題，這些問題的出現(xiàn)導(dǎo)致了在進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測過程中結(jié)果出現(xiàn)極大的偏差。本文旨在通過研究影響國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的幾個因素，以及其之間的相關(guān)關(guān)系對這些問題進(jìn)行檢驗(yàn)以及消除，使得實(shí)際問題的預(yù)測更加準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞：回歸分析，相關(guān)分析，高斯假設(shè)，普通最小二乘法，統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)引言1.回歸分

2、析與相關(guān)分析相關(guān)分析是研究兩個或兩個以上隨即變量之間相互依存關(guān)系的緊密程度。不分自變量與因變量?，F(xiàn)象間數(shù)量的依存關(guān)系不是確定的，有一定隨機(jī)性?；貧w分析是研究某一隨機(jī)變量與其他一個或幾個普通變量之間的數(shù)量變動的關(guān)系。要定出自變量與因變量，且自變量是確定的普遍變量，幾個變量間存在相關(guān)關(guān)系。2. 回歸分析的一般步驟（1）確定解釋變量和被解釋變量，數(shù)據(jù)錄入；（2）畫回歸模型類型：散點(diǎn)圖；（3）建立回歸方程：（4）檢驗(yàn)；（5）預(yù)測。3.高斯假設(shè) 假設(shè)1 零均值 假設(shè)2 同方差 假設(shè)3 無自相關(guān) 假設(shè)4 xt與ut不相關(guān)假設(shè)5 正態(tài)性4. 最小二乘法（OLS） 圖1殘差ei=預(yù)測值與樣本值y之差（yi-y

3、i）當(dāng)樣本各組數(shù)據(jù)的殘差平方和最小時，此線性函數(shù)最接近樣本中變量關(guān)系。按此求出待定系數(shù)b0和b1：一、問題提出國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）指一個國家或地區(qū)所有常住單位在一定時期內(nèi)（通常是一年）生產(chǎn)活動的最終成果，即所有常住機(jī)構(gòu)單位或產(chǎn)業(yè)部門一定時期內(nèi)生產(chǎn)的可供最終使用的產(chǎn)品和勞務(wù)的價值，包括全本生產(chǎn)活動的成果，是一個頗為全面的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。對國內(nèi)生產(chǎn)總值的分析研究，可以充分體現(xiàn)出一個國家的綜合實(shí)力和競爭力。因此，運(yùn)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法具體分析國內(nèi)生產(chǎn)總值和其他經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的相關(guān)關(guān)系，對國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展態(tài)勢，制定國家宏觀經(jīng)濟(jì)政策，保持國民經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)地發(fā)展具有重要的意義。二、模型變量的選擇模型中的被解釋變量為國內(nèi)

4、生產(chǎn)總值Y。影響國內(nèi)生產(chǎn)總值的因素比較多，根據(jù)其影響因素的大小和資料的可比以及預(yù)測模型的要求等方面原因, 文章選擇以下指標(biāo)作為模型的解釋變量：固定資產(chǎn)投資總量(X1 ) 、財(cái)政支出總量(X2 )、城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年末余額(X3 )、進(jìn)出口總額(X4 )、上一期國內(nèi)生產(chǎn)總值(X5)、職工工資總額(X6)。其中，固定資產(chǎn)投資的增長是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長的重要保障，影響效果顯著；財(cái)政支出是擴(kuò)大內(nèi)需的保證，有利于國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長；城鄉(xiāng)居民儲蓄能夠促進(jìn)國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長，是擴(kuò)大投資的重要因素，但是過多的儲蓄也會減緩經(jīng)濟(jì)的發(fā)展； 進(jìn)出口總額反映了一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)實(shí)力； 上期國內(nèi)生產(chǎn)總值是下期國內(nèi)生產(chǎn)總值

5、增長的基礎(chǔ)；職工工資總額是國內(nèi)生產(chǎn)總值規(guī)模的表現(xiàn)。三、數(shù)據(jù)選擇年GDP(y)固定資產(chǎn)投資總量（x1)財(cái)政支出總量（x2)城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年末余額（x3)進(jìn)出口總額（x4)上一期GDP（x5）職工工資總額（x6）199121781.995595.53386.629241.67225.818667.823323.9199226823.4768080.13742.211758.49119.621781.53939.2199335333.92513073.34642.315203.51127126923.484916.2199448197.85617042.15792.6221518.820381.9

6、35333.926656.4199560793.72920019.276823.7229662.323499.948197.868100199671176.59222913.57937.5538520.8424133.860793.739080199778973.03524941.129233.5646279.826967.271176.599405.3199884402.2828406.1810798.1853407.4726849.778973.039296.5199989677.05529854.7213187.6759621.829896.284402.289875.452000992

7、14.554.32917.7415886.564332.439273.289677.0510656.192001109655.1737213.4918902.5873762.442183.699214.5511830.852002120332.6943499.9122053.1586910.651378.2109655.213161.072003135822.7655566.6224649.95103617.370483.5120332.714743.512004159878.3470477.4528486.89119555.595539.1135822.816900.172005183084

8、.888773.6133930.28141051116921.8159878.319789.86表1 模型樣本觀測數(shù)據(jù)資料來源于2006年中國統(tǒng)計(jì)年鑒四、模型的建立如下所示散點(diǎn)圖： 圖2通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，被解釋變量Y與解釋變量：X1、X2、X3、X4、X5、X6 之間大致存在線性相關(guān)關(guān)系。于是可以設(shè)該模型的理論方程：Y =b0 +b1X1 +b2 X2 +b3 X3 +b4 X4+b5 X5 +b6X6+u (1)五、模型的參數(shù)估計(jì)對于理論模型運(yùn)用OLS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果如下： 圖3Y=-2415.668-0.23.43.x1+0.287070x2-0.091536x3+0.264022x4

9、+0.653959x5+3.823169x6 (2)T=(-0.892040) (-0.656763) (0.570569) (-0.299800) (1.135115) (3.043956) (3.745742)R2=0.999338 D.W=2.186406 F=2013.731上述模型（2）中可以看出b1<0，著表明隨著固定資產(chǎn)投資總額的增加，國內(nèi)生產(chǎn)總值反而減少，這是不符合實(shí)際的，因此不能通過經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)，把此變量剔除，再進(jìn)行OLS法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)得到：Y=-2551.446+0.378146x2-0.112904x3+0.136533x4+0.626717x5+3.785586x

10、6 （3） t=(-0.976283) (0.807812) (-0.384237) (1.100880) (3.071720) (3.837993)R2=0.999303 D.W=2.318171 F=2579.367六、模型的檢驗(yàn)（一）統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)取=0.05，n=15，k=5，查t分布表及F分布表，得臨界值：t0.025（9）= 2.26216，F(xiàn)0.05（5，9）=3.4817由第二次最小二乘法估計(jì)結(jié)果看到，常數(shù)C、變量X2 、X3和X4 的t-Statistic 值分別為-0.976283、 0.807812、-0.384237、 1.100880，說明C、X2 、X3 和X4 的系數(shù)

11、不顯著，P 值分別為0.3544、0.44、0.7097 和0.2995，都大于0.05，所以接受原假設(shè)。X5 、X6 的P 值都小于0.05，則其對應(yīng)系數(shù)顯著不為0?；貧w結(jié)果中統(tǒng)計(jì)量的P 值為0. 000000，小于0.05，說明至少有一個解釋變量的回歸系數(shù)不為0。從顯著性最小的開始逐個剔除解釋變量，剔除C、X2 、X3后再用OLS 法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到：Y= 0.178680X4 +0.648606 X5 +3.076831X6 （4）t=（6.104665）（14.12395）（9.129928）R²=0.999208 D.W.=1.929293取=0.05，n=15， k=3

12、， 查t 分布表及F 分布表，得到臨界值：t0.025（11）=2.20099 , F0.05（3，11）=3.5874可以看到，所有變量都通過了顯著性檢驗(yàn)，擬合優(yōu)度比較好，方程的顯著性也非常好，所以式（4）通過了經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。（二）計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)1.正態(tài)性檢驗(yàn)（Jarque-Bera檢驗(yàn)） 圖4上述自變量JB=0.4942<=14.067，因此接受原假設(shè)，即回歸的殘差服從正太分布。2.多重共線性檢驗(yàn)由普通最小二乘法回歸結(jié)果只R2=0.999338，修正后的可決系數(shù)為0.998842，這說明模型對樣本的擬合較好。F值為2013.731，很顯著，即“固定資產(chǎn)投資總額”、“財(cái)政支出

13、總量”、“城鄉(xiāng)居民儲蓄存款年末余額”、“進(jìn)出口總額”、“上一期GDP”、“職工工資總額”六個變量聯(lián)合起來對“國內(nèi)生產(chǎn)總值”有顯著影響。但是當(dāng)=0.05是，t0.025（15-7）=2.3060，x5 x6的系數(shù)t檢驗(yàn)不顯著，而且 x1和x3的符號與預(yù)期相反，這表明很有可能存在嚴(yán)重的多重共線性。查看解釋變量相關(guān)系數(shù)矩陣，如下圖（圖4），可發(fā)現(xiàn)，6個解釋變量之間的相關(guān)系數(shù)都較高，證實(shí)存在嚴(yán)重的多重共線性。 圖5下面用逐步回歸的方法對其進(jìn)行檢驗(yàn)：首先找出最簡單的回歸形式。（1）Y = 21663.3009585 + 2.00692152761*X1 圖6（2）Y = 20706.3718445 +

14、4.84380238337*X2 圖7（3）Y = 20064.0328412 + 1X3 圖8（4）Y = 31656.5922982 + 1.42877559826*X4 圖9（5）Y = 2847.48164942 + 1.10475705177*X5 圖10（6）Y = -14739.3333239 + 10.1944442106*X6 圖11由上可見，國內(nèi)生產(chǎn)總值受職工工資的影響最大，因此選（6）為初始回歸模型。接著進(jìn)行逐步回歸。將其他解釋變量分別導(dǎo)入上述初始回歸模型，尋求最佳回歸方程，如下：第一步，引入x1，模型的擬合優(yōu)度下降，同時x1的參數(shù)未能通過t檢驗(yàn)

15、。第二步，去掉x1，引入x2，擬合優(yōu)度雖然提高了，但是參數(shù)未能通過t檢驗(yàn)。第三步，去掉x2，引入x3，擬合優(yōu)度雖然提高了，但是參數(shù)未能通過t檢驗(yàn)。第四步，去掉x3，引入x4，擬合優(yōu)度提高了，且x4的參數(shù)通過了t檢驗(yàn)。第五步，引入x5，擬合優(yōu)度提高了，且所有參數(shù)通過了t檢驗(yàn)。因此，最終的國內(nèi)生產(chǎn)總值函數(shù)應(yīng)為：Y = 0.178679970839*X4 + 0.648605564308*X5 + 3.07683064459*X6 （5）這與經(jīng)統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)得到的模型（4）恰好相符。3.異方差性檢驗(yàn)（white檢驗(yàn)）從多重共線性修正得到以下模型：Y= 0.178680X4 +0.648606 X5 +3

16、.076831X6 對其進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)： 圖12由輸出結(jié)果：nR2的p值喂0.0574，大于=0.05，可知該模型不存在異方差性。4.序列相關(guān)性檢驗(yàn)從修正多重共線性后的模型看殘差圖如下： 圖13D.W檢驗(yàn)結(jié)果表明，在5%的顯著性水平下，n=15,k=4,查表可得：0<D.W=1.929293<dU，表明存在一階自相關(guān)，上圖所示，et呈現(xiàn)有規(guī)律的波動，也預(yù)示著可能存在自相關(guān)性。對模型進(jìn)行改進(jìn)（使用科克倫-奧克特迭代法），以消除序列相關(guān)： 圖14得到最終模型為：Y = 0.180965764921*X4 + 0.641342221799*X5 + 3X6 + AR(1)=-0.217276106776用偏相關(guān)系數(shù)對修正后的模型進(jìn)行檢驗(yàn)： 圖15由上可知，已經(jīng)消除了一階自相關(guān)性。七、模型的經(jīng)濟(jì)分析1、 由模型我們發(fā)現(xiàn)，進(jìn)出口額與國內(nèi)生產(chǎn)總值成正向的關(guān)系，根據(jù)這種系，我國目前應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)全方位對外開放，和進(jìn)一步開展跨國區(qū)域經(jīng)濟(jì)合作，促使經(jīng)濟(jì)發(fā)展。同時，我們應(yīng)注意到進(jìn)出口總額對GDP的貢獻(xiàn)相對較小，且隨著國際競爭壓力的加劇，進(jìn)出口對GDP的影