空間矢量的概念

1、上一節(jié)§3.3 空 間 矢 量 的 概 念上節(jié)導(dǎo)出的A,B,C坐標(biāo)系統(tǒng)中異步電動(dòng)機(jī)的根本方程式，在一般情況下是很難 求解的，用它來分析異步電動(dòng)機(jī)變頻調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性也是十分困難的。通常采 用各種坐標(biāo)變換來改造放程式，使異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)特性的分析和根本方程的求解變 得比擬容易進(jìn)行。由于三相異步電動(dòng)機(jī)在結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性三相繞組對(duì)稱，氣隙均勻，再加上氣隙 磁場(chǎng)在空間按正弦規(guī)律分布的假定，因之能夠采用空間矢量來表示電動(dòng)機(jī)的實(shí)際變 量，從而使三相異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型得到簡(jiǎn)化。一、空間矢量的定義對(duì)三相系統(tǒng)而言，所謂空間矢量是這樣定義的：在垂直與電動(dòng)機(jī)軸的一個(gè)平面上，取三相繞組的軸線互差1200

2、電角度，把三相系統(tǒng)中的三個(gè)時(shí)間變量 XAt,XBt及 Xct看成是三個(gè)矢量的模，這三個(gè)矢量分別位于三相繞組的軸線上；當(dāng)時(shí)間變量為 正時(shí)，矢量的方向與各自的軸線的方向一致，反之那么取相反的方向，然后把三個(gè)矢 量相加并取合成矢量的"咅k為任取的比例常數(shù)，所得合成矢量即為三個(gè)時(shí)間變 量的空間矢量。為了表示空間矢量，在垂直與電機(jī)軸的平面上去定子 A相繞組為實(shí)軸，引前900為虛 軸，構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面，如圖1所示。今取A軸為參考軸，A軸上長(zhǎng)度為1的矢量011 00 ej0為A軸的單位矢量。B軸和C軸的單位矢量分別為a=ej1200 =丄+j 仝2 2ej2400 = 1 蘭0ej240圖一空間復(fù)平

3、面及單位矢量這三個(gè)軸上的單位矢量之間有如下關(guān)系由此，如取定子A軸為參考軸，那么三相時(shí)間變量XAt,XBt及Xct的空間矢量可表示為x A = k x a( t)+ a x b (t)+ a2 x c ( t)(1)空間矢量用小寫字母并在上方加一橫杠表示，右上角的字母表示空間矢量的參考軸。單位矢量1 00所在坐標(biāo)軸，稱為“1軸。例求異步電動(dòng)機(jī)定子磁勢(shì)的空間矢量設(shè)定子三相電流的瞬時(shí)值分別為iA, iB,iC每相繞組的有效匝數(shù)為2 2 沁P各相繞組磁勢(shì)的瞬時(shí)值為按空間矢量定義，取定子 A軸為參考軸，可得定子磁勢(shì)的空間矢量為22 A&( fA afB a fj“水仏 aip a ij N h(

4、2)式中 i/ k(iA aiBa2ij是以A軸為參考軸的定子電流空間矢量。在圖2中示出了空間矢量 fA, i1A。為便于了解磁勢(shì)空間矢量的物理意義，設(shè)定子電流為三相穩(wěn)態(tài)平衡正弦電流iBiCi A lm COS(W1tI mCOSMtlm COS(Wjt101010)1200)240°)(3)式中Im電流的副值Wi電流角頻率a2fc)10除相角c(+1)A圖二空間矢量f A及i1A根據(jù)歐拉公式 利用上式，將式(3)代入式(2)中得式中Fi F010 (k3 2)Nilmej1°是復(fù)常數(shù)。上式說明，當(dāng)三相電流為穩(wěn)態(tài)平衡正弦電流時(shí)定子磁勢(shì)空間矢量的幅值是常數(shù)，其值為單向磁勢(shì)幅值

5、的k-倍，該空間2矢量對(duì)定子A軸的空間相角為Wit 10，對(duì)A軸的角速度為Wi 2 fi。因穩(wěn)態(tài)下I m, Wi都 是常數(shù)，所以空間矢量f 1A端點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，即f 1A是圓旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)。如果在動(dòng)態(tài) 過程中電流的幅值和角頻率都隨時(shí)間而變化時(shí)，f 1A的幅值和旋轉(zhuǎn)角速度也隨時(shí)間變化，這時(shí)f 1A端點(diǎn)軌跡就偏離圓形了。可見磁勢(shì)空間矢量是有確切的物理意義的。實(shí) 際上假設(shè)不計(jì)此時(shí)的空間譜波，并去系數(shù)K=1，那么在穩(wěn)態(tài)下f 1A即表示在空間按正弦分布的三相繞組合成磁勢(shì)波。從式(2)看出，定子電流空間矢量iiA與定子磁勢(shì)空間矢量f 1A僅差一有效匝數(shù)，A因此可以把ii理解為一個(gè)在空間按正弦分布的旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)波

6、，它的幅值為旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)波 幅值的丨Ni倍，而空間相位那么表示旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)波幅值的位置。按空間矢量的定義還可以寫出定轉(zhuǎn)子磁鏈和電壓的空間矢量。二極坐標(biāo)變換按空間矢量定義式(1)寫出的空間矢量是以定子 A軸為參考的，實(shí)際上作為參 考軸的“1軸可以任意選取，如圖3所示，可以選定子A軸。轉(zhuǎn)子a軸或任意的x 軸為“1軸。由于參考軸選擇的不同，同一空間矢量 x表現(xiàn)的形式也就不同。例如在圖3中的一個(gè)空間矢量X,根據(jù)圖中給出的軸距角A, a及x以及各軸之間的夾角AX, ax， Aa如果選定子A軸為參考軸，X的角距為A ；如取轉(zhuǎn)子3軸為參考，角距就 變成3 了，即角距減小了 A a Aa。因此只要把以轉(zhuǎn)子a軸為參考的

7、空間矢量X 的角距增加Aa，就得到了以定子A軸為參考的空間矢量X,用數(shù)學(xué)公式表示就是圖三極坐標(biāo)變換的角度上式就是把以a軸為參考的空間矢量變換到以 A軸為參考的極坐標(biāo)變換公式。仿此還可以得到以下的極坐標(biāo)變換公式：在列寫異步電動(dòng)機(jī)空間矢量根本方程式時(shí)，由于選取的參考軸不同，根本方程式的形式也不相同。為了能寫出一個(gè)一般化的異步電動(dòng)機(jī)空間矢量根本方程式和等 值電路，可以先取定子 A軸為參考，列寫定子空間矢量方程式；取轉(zhuǎn)子 a軸為參考 列寫出轉(zhuǎn)子空間矢量方程式，這樣做比擬容易。然后把得到的方程式利用極坐標(biāo)變 換公式變換到以任意軸x為參考軸的坐標(biāo)系統(tǒng)中，得到一般化空間矢量方程式。在 應(yīng)用時(shí)可以根據(jù)需要選取

8、參考軸。例如可選A軸，a軸或以同步角速度旋轉(zhuǎn)的同步軸為參考等等，通過相應(yīng)的極坐標(biāo)變換即可得到不同坐標(biāo)系的根本方程式。三空間矢量的逆變換據(jù)空間矢量定義，對(duì)三相定子而言，以定子A軸為參考的空間矢量為xA = kXA(t)+a XB(t)+a 2 x c (t)如果以引前定子A軸B電角度的x軸為參考，那么根據(jù)極坐標(biāo)變換公式有x AX X1 e j Ax =k X A (t)+a x B (t)+a 2 X C (t) e j Ax(4)如三相瞬時(shí)值XA,Xb,Xc (它們可以是電流，磁鏈或電壓)并選定 Ax和k的值, 按上式可唯一的求出空間矢量X?？梢娗罂臻g矢量是一種變量的變換，它把三相系統(tǒng)的三個(gè)瞬

9、時(shí)值變換為空間復(fù)平面中的一個(gè)矢量。即用一個(gè)復(fù)變量(在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) 可用矢量表示)同時(shí)表示三個(gè)時(shí)間變量。通過這種變換可以使異步電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué) 模型中的變量減少了2/3，因而使動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型得到簡(jiǎn)化。但是根據(jù)空間矢量方 程式求得的解是復(fù)變量，還需要進(jìn)行相反的變換，即把空間矢量變換為實(shí)際的變量。 這種變換就是空間矢量的反變換。.x當(dāng)空間矢量及Xi, Ax，k時(shí)，按式4是不能唯一地確定三個(gè)時(shí)間變量的， 這是因?yàn)橐粋€(gè)方程式中有三個(gè)未知量，其解有無(wú)窮多個(gè)。為了進(jìn)行變換再補(bǔ)充兩個(gè) 關(guān)系式，即定義x的共軛值*X xi=kxAt+a XBt+a Xct A 5并定義一個(gè)“零軸分量Xos k°kXA Xb

10、 xc- 一6其中k為任意選擇的系數(shù)，例如中選k ,2 ,3時(shí)，取ko 1 2，那么kok 1 3。把 式45及6和在一起寫矩陣形式，可得Xj Axj AxX1eae*Xj Ax2 j AxX1ea eX0sk°k02j Axa eaej Axk0XaXbXcCz XaXbXcT-式中c稱為空間矢量的正變換矩陣?？臻g矢量的反變換矩陣為AxJ Ax1eek°CfCz11Axa eae j Ax13kk。aej Axa2e j Ax丄ko因而可以證明，如果取k13，k01那么此時(shí)有CZ1 CzT-(8)式中C；T是復(fù)數(shù)矩陣Cz的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。滿足上式關(guān)系時(shí)k及k0的取值就是唯一的了。 式8