《函數(shù)的連續(xù)性》ppt課件

1、二、二、 函數(shù)的延續(xù)點及其分類函數(shù)的延續(xù)點及其分類 一、一、 函數(shù)延續(xù)性的概念函數(shù)延續(xù)性的概念 第六節(jié)函數(shù)的延續(xù)性 三、延續(xù)函數(shù)的運算法那么三、延續(xù)函數(shù)的運算法那么 四、四、 初等函數(shù)的延續(xù)性初等函數(shù)的延續(xù)性 第二章 一、函數(shù)延續(xù)性的概念第一類可去第一類可去延續(xù)點延續(xù)點第一類騰躍第一類騰躍延續(xù)點延續(xù)點第二類無窮第二類無窮延續(xù)點延續(xù)點第二類延續(xù)點第二類延續(xù)點xyOxyOxyOxyO1 1定義定義2.9.)()(00內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點點設設xUxxf1. 延續(xù)函數(shù)的定義存存在在；)(lim) 1 (0 xfxx假假設設且且)()(lim) 2(00 xfxfxx 那么稱函數(shù)那么

2、稱函數(shù).)(0處處連連續(xù)續(xù)在在點點xxf注注1函數(shù)延續(xù)的增量定義函數(shù)延續(xù)的增量定義,0 xx x 那么稱那么稱為自變量的增量為自變量的增量(或改動量或改動量).假設相應地函數(shù)假設相應地函數(shù) y 從從)(0 xf),(0 xxf 變到變到稱稱)()(00 xfxxfy 為函數(shù)的增為函數(shù)的增量量(或改動量或改動量).定義定義2.10.)()(0內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在某某設設xUxf,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是.0lim0 yx處連續(xù)處連續(xù)在點在點0)(xxf設有函數(shù)設有函數(shù) y = f (x). 當自變量當自變量 x 從從增量概念增量概念:0 x變到變到定定義義 .)

3、()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當當2處處連連續(xù)續(xù)在在點點0)(xxf3).()(lim)3()(lim)2()() 1 (0000 xfxfxfxfxxxx 存存在在；有有意意義義；定義定義2.11f(x)在點在點 x0處延續(xù)的三要素：處延續(xù)的三要素：.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 例12. 單側(cè)延續(xù)處處在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)0000)(),()0(,()(xxfxfx

4、fxaxf 左延續(xù)；左延續(xù)；處處在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)0000)(),()0(,),)(xxfxfxfbxxf 右延續(xù)右延續(xù). .定理定理處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在0)(xxf).()()(000 xfxfxf 例2解解 . 21,2, 1, 2, 10,)(2xxxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)在點在點x=1處的延續(xù)性處的延續(xù)性.由于由于 )(lim1xfx21lim xx , 1 )(lim1xfx)2(lim1xx , 1 1)(lim1 xfx, 2)1( f所以所以 f(x) 在點在點 x=1 處不延續(xù)處不延續(xù)

5、. 在區(qū)間上每一點都延續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都延續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)叫做在該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)間上的延續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上延續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)端端點點并并且且在在左左內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 延續(xù)函數(shù)的圖形是一條延續(xù)而不延續(xù)的曲線延續(xù)函數(shù)的圖形是一條延續(xù)而不延續(xù)的曲線. .3. 函數(shù)在區(qū)間上的延續(xù)性. ,)(baCxf 記作記作例3 證明函數(shù)xysin 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .證證 ),( xxxxysin)sin( )cos

6、(sin222xxx )cos(sin222xxxy 122 xx 0 x即即0lim0 yx這闡明這闡明xysin 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .類似可證類似可證: 函數(shù)函數(shù)xycos 在在),( 內(nèi)延續(xù)內(nèi)延續(xù) .04. 知的延續(xù)函數(shù)), 0, xxyRxaxaxaynnn ,110多多項項式式：0)(,)()( xQRxxQxPynnm且且有有理理函函數(shù)數(shù)：Rxxy ,sinRxxy ,cos假設上述三個條件中有一個不滿足，那么稱假設上述三個條件中有一個不滿足，那么稱 f (x) 在在二、函數(shù)的延續(xù)點及其分類:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)(

7、)1(0處處有有定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某去去心心鄰鄰域域在在設設)()(00 xUxxf1. 定義定義(或延續(xù)點或延續(xù)點).點點x0 處不延續(xù)處不延續(xù)(或延續(xù)或延續(xù))，并稱點，并稱點x0為為 f (x)的不延續(xù)的不延續(xù)點點2. 延續(xù)點的分類.)()(00是是否否同同時時存存在在與與 xfxf)()(00 xfxf與與 延續(xù)點延續(xù)點0 x振蕩振蕩同同時時存存在在.)(0上上下下方方來來回回擺擺動動直直線線在在某某時時，當當Ayxfyxx 但但),()(00 xfxf無無意意義義或或)(0 xf

8、)()(00 xfxf )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去騰躍騰躍無窮無窮其他其他類類 第一至少有一至少有一個不存在個不存在第第二二類類根據(jù)：根據(jù)：)()()(000 xfxfxf xytan)1( 2x為其第二類無窮延續(xù)點為其第二類無窮延續(xù)點 .0 x為其第二類振蕩延續(xù)點為其第二類振蕩延續(xù)點 .xy1sin)2( 1 x為其第一類可去延續(xù)點為其第一類可去延續(xù)點 .11)3(2 xxyxoy1例4xytan2xyoxyxy1sin 0(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0( f1)0( f0 x為其第一類騰躍延續(xù)點為其第一類騰躍延續(xù)點

9、 . 例5 指出以下函數(shù)的延續(xù)點及其類型：指出以下函數(shù)的延續(xù)點及其類型：510510)()1(11 xxxf解解1 找找 f(x) 無定義的點無定義的點0 x間斷點：間斷點：2 判別延續(xù)點的類型判別延續(xù)點的類型510510lim)0(110 xxxf15050 0limlim1 xxxxaaa時，時，當當510510lim)0(110 xxxfxxx11010511051lim 1 )0()0()0()0( ffff均均存存在在，但但與與.)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點是是xfx 0limlim1 xxxxaaa時，時，當當 0,110,2)()2(2xxxxxxf解解1找找 f(

10、x) 無定義的點無定義的點1 x間間斷斷點點： 11lim)(lim11xxfxx.)(1的的第第二二類類無無窮窮間間斷斷點點是是xfx 2 查分段點：查分段點： 0 x0)2(lim)0(20 xxfx，111lim)0(0 xfx .)(0的的第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點是是xfx ，xx cot,tan在各自定義域內(nèi)延續(xù)在各自定義域內(nèi)延續(xù).三、延續(xù)函數(shù)的運算法那么定理定理2.14 在某點延續(xù)的有限個函數(shù)在某點延續(xù)的有限個函數(shù)上連續(xù)，上連續(xù)，在在),(cos,sinxx積積 ,商商(分母分母0) 運算運算,結(jié)果仍是在該點延續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是在該點延續(xù)的函數(shù) .例如：例如：經(jīng)有限次和經(jīng)有限

11、次和 , 差差 , xx csc,sec1. 四那么運算的延續(xù)性四那么運算的延續(xù)性利用極限的四那么利用極限的四那么運算法那么可以證運算法那么可以證明：明：結(jié)論：三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).例6 設設)()(xgxf與與均在均在,ba上延續(xù)上延續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù) )(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上延續(xù)上延續(xù).證證 21)( x )()(xgxf )()(xgxf )()()(21xgxfx )()(xgxf 根據(jù)延續(xù)函數(shù)運算法那么根據(jù)延續(xù)函數(shù)運算法那么 ,可知可知)(, )(xx 也在也在,ba上上延續(xù)延續(xù) . )(, )(min)(xgxfx 假

12、設函數(shù)假設函數(shù)例如：例如：xysin 在在2,2 上延續(xù)單調(diào)遞增，上延續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin (證明略證明略)在在1 , 1上也延續(xù)單調(diào)遞增上也延續(xù)單調(diào)遞增.且延續(xù)且延續(xù).(減少減少)那么其反函那么其反函數(shù)數(shù)),( xIxxfyy )(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xI單調(diào)添加單調(diào)添加)(1yfx 在對應區(qū)間在對應區(qū)間 yI(減少減少)上亦單調(diào)添加上亦單調(diào)添加且延續(xù)且延續(xù).類似地類似地,xyarccos 在區(qū)間在區(qū)間1,1 上延續(xù)單調(diào)遞減上延續(xù)單調(diào)遞減.2. 反函數(shù)的延續(xù)性定理2.15xyarctan xycotarc 及及在區(qū)間在區(qū)間 ( , +)上延續(xù)上延續(xù).結(jié)論：結(jié)論： 反三

13、角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).), 0(log),()1, 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在證證明明： xyaaayax證證1)4(1lim已已證證第第三三節(jié)節(jié)例例 nna2. 1lim0 xxa需需證證：例7，0 x xn1令令,1xn 則則，nx10 )0(11 xnxn,1時時當當 anxnaaa11 nx則則有有，令令0由夾逼準那么及由夾逼準那么及1，可得，可得. 1lim0 xxa,10時時當當 a. 111)1(1limlim00 xxxxaa3,0Rx xaxf )()()(00 xfxxfy 00 xxxaa )1(0 xxaa )1(limlim

14、000 xxxxaay000 xa.)(0處連續(xù)處連續(xù)在在xaxfx .), 0(log15.內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在易易知知，由由定定理理 xya2結(jié)論：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù)結(jié)論：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)皆延續(xù).3. 復合函數(shù)的延續(xù)性定理2.16設函數(shù)設函數(shù) y = f u(x)由函數(shù)由函數(shù) y = f (u)與函數(shù)與函數(shù)u=u(x)復合而成復合而成,)(lim00uxuxx 若若而函數(shù)而函數(shù) y = f(u)處處連連續(xù)續(xù)，則則在在0uu )(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(0uf )(lim0 xufxx),(lim0 xufxx )(0uf可以寫成可以寫成:定理

15、定理2.16的結(jié)論的結(jié)論1. 函數(shù)記號函數(shù)記號f 與極限記號可以交換次序與極限記號可以交換次序;意義意義: :.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例8).0(1)1(lim0 常常數(shù)數(shù)求求xxx解解xxxxx1elim1)1(lim00 xx0lim )0(1)1( xxx 時，時，當當0uuu1e )1ln(x )1ln(x 例9.), 0()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在為為常常數(shù)數(shù)證證明明： xy證證xxylne 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在), 0(ln)( xxu 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在而而),(e)( uxfy.), 0()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在為常數(shù)為常數(shù) xy可以證明：可以證明： xy 對于

16、對于取任何實數(shù)取任何實數(shù),均在其定義域內(nèi)延續(xù)均在其定義域內(nèi)延續(xù). .結(jié)論：冪函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：冪函數(shù)在其定義域內(nèi)延續(xù).四、初等函數(shù)的延續(xù)性延續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運算仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運算仍延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)延續(xù)定理定理 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù).根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)延續(xù)結(jié)論：一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)結(jié)論：一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例如例如,21xy 的延續(xù)區(qū)間為的延續(xù)區(qū)間為1,1 (端點為單側(cè)延續(xù)端點為單側(cè)延續(xù))xysinln 的延續(xù)

17、區(qū)間為的延續(xù)區(qū)間為.Z, )12( ,2( nnn 注1 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間上延續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間上延續(xù), 在其在其 定義域內(nèi)不一定延續(xù)定義域內(nèi)不一定延續(xù);如：如：, 1cos)1( xy,4,2, 0 xxD在這些孤立點的去心鄰域在這些孤立點的去心鄰域 (鄰域半徑不超越鄰域半徑不超越2)內(nèi)沒內(nèi)沒有定義有定義,)1()2(32 xxy1, 0 xxxD及及在在O點的去心鄰域點的去心鄰域(鄰域半徑不超越鄰域半徑不超越1)內(nèi)沒有定義內(nèi)沒有定義,.), 1上上連連續(xù)續(xù)但但此此函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間 因此它無延續(xù)點因此它無延續(xù)點.因此它在因此它在 x=0 處不延續(xù)，從而在其定義域內(nèi)

18、不延續(xù)處不延續(xù)，從而在其定義域內(nèi)不延續(xù).2 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.是是初初等等函函數(shù)數(shù)，則則設設)(xf)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx例10.1arcsinlim20 xxx 求求解解,1arcsin)(2為為初初等等函函數(shù)數(shù)xxxf x=0是它的定義是它的定義區(qū)間內(nèi)的點區(qū)間內(nèi)的點, )0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx . 0 1,41,)(xxxxx 例11 設,1,21,)(2 xxxxxf解解討論復合函數(shù)討論復合函數(shù))(xf 的延續(xù)性的延續(xù)性 . )(xf 1,2 xx1,2 xx1)(),(2 xx 1)(

19、, )(2 xx 故此時延續(xù)故此時延續(xù);而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1為第一類為第一類在點在點 x = 1 不延續(xù)不延續(xù) , ,)(1為為初初等等函函數(shù)數(shù)時時xfx 延續(xù)點延續(xù)點 . )(xf 1,2 xx1,2 xx內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左延續(xù)左延續(xù)右延續(xù)右延續(xù). 20 x第一類延續(xù)點第一類延續(xù)點可去延續(xù)點可去延續(xù)點騰躍延續(xù)點騰躍延續(xù)點左右極限都存在左右極限都存在 第二類延續(xù)點第二類延續(xù)點無窮延續(xù)點無窮延續(xù)點振蕩延續(xù)點振

20、蕩延續(xù)點左右極限至少有一左右極限至少有一個不存在個不存在在點在點延續(xù)的類型延續(xù)的類型. 10 x在點在點延續(xù)的等價方式延續(xù)的等價方式其它延續(xù)點其它延續(xù)點)(xf)(xf3. 根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的四那么運算的結(jié)果延續(xù)延續(xù)函數(shù)的四那么運算的結(jié)果延續(xù)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的反函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)延續(xù)延續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)延續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)延續(xù)延續(xù)闡明闡明: 分段函數(shù)在分段點處能否延續(xù)需討論其分段函數(shù)在分段點處能否延續(xù)需討論其 左、右延續(xù)性左、右延續(xù)性.思索與練習1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22 xxxxfx = 2

21、是第二類是第二類(無窮無窮)延續(xù)點延續(xù)點 .延續(xù)點的類型延續(xù)點的類型.2. 設設 0,0,sin)(21xxaxxxfx_, a時時提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0)(xf為為延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類是第一類(可去可去)延續(xù)點延續(xù)點 ,3.,)(0連連續(xù)續(xù)在在點點若若xxf是否連是否連在在問問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反之能否成立反之能否成立?解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxx

22、xxxx)(02xf 故故 | )(|xf、)(2xf在在 0 x都都連連續(xù)續(xù). 反例：反例： ,1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù))(xf處處延續(xù)處處延續(xù),)(, )(2xfxf處處延續(xù)處處延續(xù) ，但，但“反之反之 不成立不成立 .4.試分別舉出,1,21, 2, 1, 0)1(nnx 是是 f (x) 的一切延續(xù)點的一切延續(xù)點, 且它們都是無窮延續(xù)點；且它們都是無窮延續(xù)點；(2) f (x)在在R上處處不延續(xù)，但上處處不延續(xù)，但)(xf在在R上處處延續(xù)；上處處延續(xù)；(3) f (x)在在R上處處有定義，但僅在一點延續(xù)上處處有定義，但僅在一點延續(xù).xxxf sin1s

23、in1)()1( 解解具有以下性質(zhì)的函數(shù)具有以下性質(zhì)的函數(shù) f(x) 的例子：的例子： )()3(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,x是無理數(shù)是無理數(shù)x,x xyo )()2(xf是有理數(shù)是有理數(shù)x,1是無理數(shù)是無理數(shù)x,1 xyo11 5. 求. )1(lim2xxxx 方法方法1 原式原式 =xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim2 xx21 方法方法2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那那么么原式原式 =22011limttt 111lim20 ttx)11()11)(11(lim22220 tttttxxxx 1lim2 0t時，時，6 試確定常數(shù) a 使.0

24、)1(lim33 xaxx解解 令令,1xt 那么那么 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf備用題例2-1)0()0( ff )0 ( f )0 ( f不不存存在在)(lim0 xfx例2-2.0,0,0, 20,sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxexxxxxfx解解1sinlim

25、)(lim)0(00 xxxffxx1lim)(lim)0(00 xxxexff2) 0 ()0 ()0 ( fff.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 xxf但但存存在在 ,)(lim0 xfx例2-3解解 , 0, 0,)(xxaxexfx設設函函數(shù)數(shù)該當怎樣選擇該當怎樣選擇a,使得使得 f (x) 在在 x=0 處延續(xù)處延續(xù). )0(fxxe 0lim, 1 )0(f)(lim0 xax ,a ,)0(af 由延續(xù)的充要條件由延續(xù)的充要條件)0()0()0(fff 得得 a=1.所以當所以當a=1時，時，f(x)在在x=0處延續(xù)處延續(xù).例2-4.0, 0, 0,)1()(,3處處連連續(xù)續(xù)在在

26、函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxaxxxxfax解解xxxxxff300)1 (lim)(lim)0( ,)0(af 33)(10)(1lim exxx)(lim)(lim)0(00 xaxffxx , a ),0()0()0(fff 處處連連續(xù)續(xù)在在點點0)( xxf,3時時故故當當且且僅僅當當 ea.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf即即,3ae 例4-1解解.0sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點點 xxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)由于由于f(x)在在x=0處無定義處無定義, 所以所以x=0是是f(x)的延續(xù)點的延續(xù)點,又又, 1sinlim0 xxx注注 故假設補充定義故假設補充定義f

27、(0)=1,那么函數(shù)那么函數(shù) 0,10,sin)(xxxxxf在在x=0處就延續(xù)了處就延續(xù)了,因此因此, 這類延續(xù)點被稱為可去延續(xù)點這類延續(xù)點被稱為可去延續(xù)點.)(0的的第第一一類類可可去去間間斷斷點點是是故故xfx 例5-1 討論函數(shù)xxexf 111)(解解 延續(xù)點延續(xù)點1,0 xx)(lim0 xfx, 0 x為無窮延續(xù)點為無窮延續(xù)點;,1 時時當當 x xx1, 0)(xf,1 時時當當 x xx1, 1)(xf故故1 x為騰躍延續(xù)點為騰躍延續(xù)點. ,1,0處處在在 x.)(連續(xù)連續(xù)xf延續(xù)點的類型延續(xù)點的類型.例5-2解解討論函數(shù)討論函數(shù) 0,10,11)(1xxexfx在在 x=0

28、 處的延續(xù)性處的延續(xù)性., 111lim10 xxe, 011lim10 xxe, 1)0()0( ff雖雖然然 f (x) 在在 x=0 處左延續(xù)處左延續(xù),),0()0( ff但但由由于于 f (x)在在 x=0 處延續(xù)處延續(xù).函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖形在的圖形在 x=0 處有一個處有一個“躍度躍度,故稱騰躍延續(xù)點故稱騰躍延續(xù)點.oxy1xey111 21例5-3解解.tan的的間間斷斷點點，并并判判斷斷類類型型求求函函數(shù)數(shù)xxy , 0tan x令令得得無無定定義義，在在又又 tan x故函數(shù)在這些點處延續(xù)故函數(shù)在這些點處延續(xù)., 1tanlim0 xxx故故x=0是第一類延續(xù)點是第一類延

29、續(xù)點., 0tanlim2 xxkx, 1, 0,2 kkx故故是第一類延續(xù)點是第一類延續(xù)點., 1, 0, kkx, 1, 0,2 kk時時，又又當當, 2, 1 k,tanlim xxkx, 2, 1, 0, kkx故故是第二類延續(xù)點是第二類延續(xù)點.例8-1 求求.1lim0 xaxx 解解 令令,1 xat那那么么,ln)1ln(atx 原式原式atttln)1ln(lim0 aln )1ln(limln0ttat axaxln1 1e x時，時，當當0 xx時時，當當0 x特別地，假設特別地，假設 a = e，那么那么例8 求.)1(loglim0 xxax 解解原式原式xxax1)1(loglim0 eloga alneln 時，時，當當0 x)1ln(x xaln1 axxaln)1(log 時時，當當0 x特別地，假設特別地，假設 a = e，那么那么例8-3bxgaxfxxxx )(lim, 0)(lim00若若證證明明：證證)()(xgxfy