中央電大《微積分初步》模擬試題..

1、微積分初步模擬試卷一一、填空題（每小題4 分，本題共 20 分）函數 f ( x)1的定義域是2)ln( x答案： (2,3)(3,)提示：對于 f10，即x 3 ；對于 ln( x2) ，要求，分母不能為ln( x2)x 2 0 ，即 x2。所以函數 f (x)1的定義域是 (2,3)(3, )ln( x 2)x22x 3函數 y1的間斷點是 =x答案： x1提示：若 f ( x) 在 x0有下列三種情況之一，則f ( x) 在 x0間斷：在 x0 無定義；在x0 極限不存在；在x0 處有定義，且 limf ( x) 存在，但 limf ( x)f ( x0 ) 。題中在x x0x x0x0

2、1 處無定義曲線 f ( x)x 1 在 (0,1)點的斜率是1答案：2提示：若已知曲線方程yf ( x) ，則它在任一點x 處的斜率為 k f ( x) 。題中，1，將 x1f ( x)0 代入上式得 f (0)2 x12若 f ( x)dx cos2xc ，則 f (x) 答案： 4 cos2x提示 ： f ( x) (cos 2xc)2sin 2xf ( x) (2 sin 2x)4 cos 2x微分方程 xy( y )30 的階數是答案： 2提示：微分方程的階數是微分方程中出現(xiàn)的未知函數的導數的最高階次。二、單項選擇題（每小題4 分，本題共20 分）設函數 yx sin x ，則該函數

3、是（）A 奇函數 B 偶函數 C非奇非偶函數 D 既奇又偶函數答案： B / 9提示： f (x)xsin(x)x sin xf ( x) ，所以函數 yx sin x 是偶函數。若函數f ( x)sin x，則 lim f ( x)（ ） .2xx0A 1D 不存在B 0C 12答案： A提示： limsin xsin x1112xlimx212x 0x 02函數 y(x1)2 在區(qū)間 (2,2)是（）A 單調增加B 單調減少C先減后增D先增后減答案： C提示： y2(x1)，令 y0，得駐點 x1。當 2 x1 時， y0 ，函數單調減少；當1 x2時， y0，函數單調增加；即函數先減后增

4、。下列無窮積分收斂的是（）A sin xdxB e 2 xdx00C11dxdx D x1x1答案： B提示：in dcoscos1 發(fā)散0sx xx 0e 2x dx1e2x1111 收斂0202e22211 dxln x0ln1 發(fā)散x11 dx2x02發(fā)散x微分方程 yy1 的通解是（）A. y1 x 2c； B. y x2c ；2C. y exc ； D. y cex1答案： D提示：原方程經移項得，yy1，可見 p( x)1, q( x) 1p( x)dxx ， ep ( x) dxex， ep ( x) dxe x / 9yep (x )dxp( x)dxcex (e xdxc)e

5、x ( exc) 1 ce x q( x)edx三、計算題（本題共44 分，每小題 11分）x 23x2 計算極限 limx21x1解 lim x 23x2lim ( x1)( x2)limx21x 1x 21x 1 ( x 1)( x 1)x 1 x 123 設 yx 2ln cosx ，求 y .解 y3x 211( sin x)3x 21tan x2cos xex23計算不定積分dx5ex解exxd(5ex )xxcd25 e5d5exex4計算定積分2 x sin xdx0解2x sin xdx22cos xdx2100xcos x 0sin x 0四、應用題（本題16 分）用鋼板焊接

6、一個容積為4 m 3 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方M10元，焊接費40 元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？解：設水箱的底邊長為x ，高為 h ，表面積為 S ，且有 h4x216 ,所以 S(x)x24xh x216xS ( x)2xx 2令 S ( x) 0，得 x2 ，因為本問題存在最小值，且函數的駐點唯一，所以，當x2, h 1 時水箱的表面積最小.此時的費用為S(2)10 40 160 （元） . / 9微積分初步模擬試卷二一、填空題（每小題4 分，本題共20 分）函數 f ( x1)x22x ，則 f ( x)答案： x21提示： f ( x1)x22

7、x( x1) 21，所以 f ( x) x212k ,x0函數 f ( x)x sin在 x0 處連續(xù)，則 k =x2,x0答案： 2提示：因為 lim ( x sin 2k )0kf (0) 2 ，所以 k0x0x曲線 f ( x)x1在 (0,1)點的斜率是答案： 12提示：若已知曲線方程yf ( x) ，則它在任一點 x 處的斜率為 k f ( x) 。題中，f( x)1，將 x10 代入上式得 f (0)2x 1215x2)dx(3x31答案： 4提示：注意被積函數的第一、二項是奇函數，其積分結果為0，第三項是偶函數，因此11原式= 222dx 4 x 0 4微分方程 xy( y )3

8、sin y 0 的階數是答案： 2提示： 微分方程的階數是微分方程中出現(xiàn)的未知函數的導數的最高階次。二、單項選擇題（每小題4 分，本題共20 分）函數 yx1的定義域（）23xx2A x 2 B x 1 C x 2 且 x0 D x 2 且 x 1答案： D提示： yx1x 1，為要求分母不能為0 ，必須有 x 1, x 2x23x 2 ( x1)( x2) / 9若函數 f ( x) x sin 1，則 lim f ( x)（ ） .xx1A 0BC1D 不存在2答案： Clim x sin 1sin 1提示： lim f ( x)limx 1xxx011xx函數27( 5,5)y xx在區(qū)

9、間是（）4A 單調增加B 單調減少C先減后增D先增后減答案： C提示： y2x4 ，令 y0 ，得駐點 x2 。當5x2, y0 ，函數單調減少；當2x5, y0 ，函數單調增加。所以函數先減和增。下列無窮積分收斂的是（）A 12dx B 1dx1x13xC11 dx D 11dxxx答案： A提示： A.12dx101 1，收斂1xx 123 ，發(fā)散B.1dx3 x 313x212C.1 dxln x 1，發(fā)散1xD.1dx2x2 ，發(fā)散1x1下列微分方程中為一階線性微分方程的是（）A. yexy ；B.ysin yx ；C. y ysin x ； D. ysin xytan x答案： B提

10、示：所謂“線性”是指方程中含有未知數y 和它的導數 y 的項都是關于y 、 y 的一次項。 / 9三、計算題（本題共44 分，每小題11 分） 計算極限 lim x 26 x8 x2x 1 x 2x26x 8lim( x 2)( x 4)( x 4)2解 limx 2lim3x 1 x2x 2 ( x 2)( x 1)x 2 (x 1) 設 ycos5xln 3x ，求 y .解 y(cos 5x)(ln 3x)sin 5x(5x)3ln 2 x(ln x)5sin 5x3 ln 2 xx3. 計算不定積分sinx dxx解sinxx2 sin xdx2 cosx cxd =計算定積分2 x

11、cos xdx0解2x cosxdxx sin x22sin xdxcos x21000022四、應用題（本題16 分）欲做一個底為正方形，容積為62.5 立方 M 的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解： 設底邊的邊長為x ，高為 h ，容器的表面積為y ，由已知 x2 h62.5， h62.562.5250x2yx24xhx24xx2250x2xy2xx 2令 y0 ，解得 x5是唯一駐點，易知x5 是函數的極小值點，此時有h62.52.5 ，所以當 x5 ， h2.5時用料最省52 / 9微積分初步期末模擬試卷三一、填空題（每小題4 分，本題共20 分）函數 f ( x)1的定義域是4x

12、 2答案： ( 2,2)提示：要求分母不能為0，即 x2, x2 ；對于根號內，要求4x 20 ，即x 2, x2。所以函數f ( x)1的定義域是 (2,2)。4 x 2若 lim sin 4x2 ，則 kx 0kx答案： 2提示： lim sin 4xlim sin 4x442 ，所以 k2。x0kxx04xkk已知 f (x)ln x ，則 f(x) =答案：1x 2提示： f( x)(lnx)1， f( x)( 1)1xxx2若 sin xdx答案：cos x c提示：indcosxcsx x微分方程 xy( y )4 sin xex y 的階數是答案： 3二、單項選擇題（每小題4 分

13、，本題共 20分）設函數 yx sin x ，則該函數是（）A 奇函數B偶函數C非奇非偶函數D 既奇又偶函數答案： B提示： f ( x)x sin(x)x sin xf ( x) ，所以函數 yx sin x 是偶函數。當 k =（）時，函數f ( x)x 21,x0x0處連續(xù) .kx，在0A 1B2C 1D0答案： B / 9提示： lim (x 21)1f (0)k ，即 k1 。x0滿足方程f(x)0 的點一定是函數f ( x) 的（ ）。A 極值點B最值點C 駐點D 間斷點設 f (x) 是連續(xù)的奇函數，則定積分af (x)dx （）-aA 20f (x) dx B0f ( x)dx

14、 Caf (x)dx D 0-a-a0微分方程yy1 的通解是（）A. y eCx 1 ； B. yCex1； C. yx C ； D. y1 x2C2答案： B提示：px)1,q(x)1,px dxx( )ep( x) dxexp ( x )dxe x, eyep (x )dxq( x)ep( x)dxcex (e xdxc)ex (e xc) cex1dx三、計算題（本題共44 分，每小題11 分）計算極限 limx223x2 x2x4x2解 lim3x 2lim( x 1)( x 2)x 112limx 2x4x 2 ( x 2)( x 2)x 2 x 2 4設 yx3x，求 y.sin 5cos解 y5cos5x3cos2x(sin x)5cos5x3sin x cos2 x計算不定積分(1x ) 2xxd解(1x )2x223(1x )d(1x )(1x)Cxd = 2x sin xdx3計算定積分02解xsin xdx1x cosx1cos xdx1sin x22222