線性代數(shù)知識點

1、120082008 年線 性代數(shù)必 考的知識 點年線 性代數(shù)必 考的知識 點1 1、行列式、行列式1.n行列式共有2n個元素，展開后有!n項項，可分解為2n行列式；2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：、ijA和ija的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為 0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM 4.設(shè)n行列式D：將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為1D，則(1)21( 1)n nDD ；將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90，所得行列式為2D，則(1)22( 1)n nDD ；將D主對角線翻轉(zhuǎn)后

2、（轉(zhuǎn)置），所得行列式為3D，則3DD；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為4D，則4DD；5.行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積(1)2( 1)n n ；、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；、 和 ：副對角元素的乘積(1)2( 1)n n ；、拉普拉斯展開式：AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC 、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6.對于n階行列式A，恒有：1( 1)nnkn kkkEAS，其中kS為k階主子式；7.證明0A 的方法：、AA ；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組0Ax ，證明其有非零解；、利用

3、秩，證明( )r An；、證明 0 是其特征值；2 2、矩陣、矩陣1.A是n階可逆矩陣：0A （是非奇異矩陣）；( )r An（是滿秩矩陣） A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組0Ax 有非零解；nbR ，Axb總有唯一解； A與E等價； A可表示成若干個初等矩陣的乘積； A的特征值全不為 0；TA A是正定矩陣；2 A的行（列）向量組是nR的一組基； A是nR中某兩組基的過渡矩陣；2.對于n階矩陣A：*AAA AA E無條件恒無條件恒成立；3.1 *111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB A4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或

4、箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：若12sAAAA，則：、12sAA AA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主對角分塊）、111OAOBBOAO；（副對角分塊）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）3 3、矩陣的初等變換與線性方程組、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個mn矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：rm nEOFOO；等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B，若( )( )r A

5、r BAB；2.行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非 0 元素必須為 1；、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為 0；3.初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）1、若(,)(,)rA EE X，則A可逆，且1XA；、對矩陣( ,)A B做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成1A B，即：1( ,)(,)cA BE A B；、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Axb，如果( , )(, )rA bE x，則A可逆，且1xA b；4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、12n ，左

6、乘矩陣A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；3、對調(diào)兩行或兩列，符號( , )E i j，且1( , )( , )E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符號( ( )E i k，且11( ( )( ( )E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符號( ( )E ij k,且1( ( )( ()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩陣秩的基本性質(zhì)：、0()min(, )m nr Am n；、()( )Tr Ar A；、若AB，則( )( )r Ar B；、若P、Q可逆，則( )()()()r Ar PAr AQ

7、r PAQ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩可逆矩陣不影響矩陣的秩）、max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B；（）、()( )( )r ABr Ar B；（）、()min( ( ), ( )r ABr A r B；（）、如果A是mn矩陣，B是ns矩陣，且0AB ，則：（）、B的列列向量全部是齊次方程組0AX 解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、( )( )r Ar Bn、若A、B均為n階方陣，則()( )( )r ABr Ar Bn；6.三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）列矩陣（向量）行矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；

8、、型如101001acb的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展開后有1n項；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、組合的性質(zhì)：11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似對角化：7.伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：*( )()1( )10( )1nr Anr Ar Anr An ；、伴隨矩陣的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA A、1*nAA8.關(guān)

9、于A矩陣秩的描述：、( )r An，A中有n階子式不為 0，1n階子式全部為 0；（兩句話）、( )r An，A中有n階子式全部為 0；4、( )r An，A中有n階子式不為 0；9.線性方程組：Axb，其中A為mn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Axb有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Axb為n元方程；10. 線性方程組Axb的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：、11112211211222221122nnnnmmn

10、mnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A為mn矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）、1212nnxxaaax （全部按列分塊，其中12nbbb ）；、1122nna xa xa x （線性表出）、有解的充要條件：( )( ,)r Ar An （n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4 4、向量組的線性相關(guān)性、向量組的線性相關(guān)性1.m個n維列向量所組成的向量組A：12,m 構(gòu)成nm矩陣12(,)mA ；m個n維行向量所組成的向量組B：12,TTTm構(gòu)成mn矩陣12TTTmB ；含有有限個向量的有序向

11、量組與矩陣一一對應(yīng)；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)0Ax有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB是否有解；（矩陣方程）3.矩陣m nA與l nB行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組0Ax 和0Bx 同解；(101P例 14)4.()( )Tr A Ar A；(101P例 15)5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)0 ；、, 線性相關(guān), 坐標成比例或共線（平行）；、, 線性相關(guān), 共面；6.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若12,s 線性相關(guān)，則121,ss 必線性相關(guān)；若12,s 線性無關(guān)，則121,s 必線性無關(guān)；（向量的

12、個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上nr個分量，構(gòu)成n維向量組B：若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組A（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則rs；向量組A能由向量組B線性表示，則( )( )r Ar B；5向量組A能由向量組B線性表示AXB有解；( )( ,)r Ar A B向量組A能由向量組B等價( )( )( ,)r Ar Br A B8.方陣A可逆存在有限個初等矩陣12,lP PP，使12lAPPP；、矩陣行等價：rABPAB（左乘，P可逆

13、）0Ax與0Bx 同解、矩陣列等價：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩陣等價：ABPAQB（P、Q可逆）；9.對于矩陣m nA與l nB：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則0Ax 與0Bx 同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10. 若m ss nm nABC，則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，TA為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組0Bx 的解一定是0ABx 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明考試中可以直接作為定理使用

14、，而無需證明；、0ABx 只有零解0Bx只有零解；、0Bx 有非零解0ABx一定存在非零解；12. 設(shè)向量組12:,n rrBb bb可由向量組12:,n ssAa aa線性表示為：1212( ,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K為sr，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)()r Kr；（B與與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：( )()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反證法）注：當rs時，K為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣m nA，存在n mQ，mAQE( )r Am、Q的列向量線性無關(guān)；、對矩陣m nA，存在

15、n mP，nPAE( )r An、P的行向量線性無關(guān)；14.12,s 線性相關(guān)存在一組不全為 0 的數(shù)12,sk kk，使得11220sskkk成立；（定義）1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解；12(,)srs ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設(shè)mn的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組0Ax 的解集S的秩為：( )r Snr；16. 若*為Axb的一個解，12,n r 為0Ax 的一個基礎(chǔ)解系，則*12,n r 線性無關(guān)；5 5、相似矩陣和二次型、相似矩陣和二次型1.正交矩陣TA AE或1TAA（定義），性質(zhì)：、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A為正交矩陣，則1TAA也為正交陣，且1A ；、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化施密特正交化和單位化單位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111 , ,b ababb b121121112211 , ,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3.對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4.、A與B等價 A經(jīng)過初等變換得到B；6P