考點(diǎn)21直線、平面之間的位置關(guān)系

1、圓學(xué)子夢(mèng)想 鑄金字品牌溫馨提示： 此題庫(kù)為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)21 直線、平面之間的位置關(guān)系1.（2010·湖北高考文科·4）用，表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則.其中真命題的序號(hào)是（ ）（A）（B）（C） （D）【命題立意】本題主要考查立體幾何中的線線、線面關(guān)系，考查考生的邏輯推理和空間想象能力【思路點(diǎn)撥】空間中線線平行具有傳遞性，線線垂直不具有傳遞性，線面平行不具有傳遞性.【規(guī)范解答】選C.由空間直線的平行公理知正確；，時(shí)，與可以平行、相交也可以異面，

2、故錯(cuò)；，時(shí)，與可以平行、相交也可以異面，故錯(cuò)；由直線與平面垂直的性質(zhì)定理知正確.·2.（2010·江西高考文科·）如圖，是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線，都相交； 過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線，都垂直；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線，都相交；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線，都平行. 其中真命題是：（ ）（A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題主要考查空間中線與線的位置關(guān)系、線與面的位置關(guān)系，考查空間想象力【思路點(diǎn)撥】由線與線、線與面關(guān)系定理直接判斷.【規(guī)范解答】選C.如圖：設(shè)分別為，的中點(diǎn)，則平面平面,這個(gè)交線是唯一的，且.正確. 這條唯一

3、成立的直線是,正確；顯然平面,平面BDD1B1等與直線，都相交，錯(cuò)誤;這樣的唯一平面是過(guò)且與上、下底面都平行的平面，正確.故選C.3.（2010·全國(guó)高考卷文科·6）直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ ）(A) (B) (C) (D)【命題立意】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法. 【規(guī)范解答】選C. 如圖：延長(zhǎng)到，使得，連結(jié),則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，.【方法技巧】求兩條異面直線所成的角的方法：（1）兩條異面直線所成的角，是借助平面幾何中的角的概念予以定義的，是研究空間兩條直線的基礎(chǔ).（2）“

4、等角定理”為兩條異面直線所成角的定義提供了可能性與唯一性，過(guò)空間任一點(diǎn)，引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積公式：求解.4.（2010·全國(guó)高考卷理科·7）正方體中，與平面所成角的余弦值為（ ）(A) (B) (C) (D)【命題立意】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，突出考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出正方體圖形，利用輔助線并結(jié)合正方體的性質(zhì)，找到線面垂直關(guān)系確定與平面所成角.【規(guī)范解答】選D.設(shè)上下底面的中心分別為；如圖：

5、則，與平面所成角就是與平面所成角，.【方法技巧】求立體幾何中的線面角的方法：（1）定義法：先作出斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影的夾角就是斜線與平面所成的夾角，然后在直角三角形中，求出這個(gè)角的某種函數(shù)值，最后求出這個(gè)角.（2）公式法：利用公式（3）向量法：5.（2010·全國(guó)高考卷文科·8）已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于的等邊三角形， 垂直于底面，,那么直線與平面所成角的正弦值為（ ）(A) (B) (C) (D)【命題立意】本題考查線面角的概念及其求法.【思路點(diǎn)撥】先找到與面垂直的平面，再作出該平面的垂線，找到直線在平面上的射影，然后作出所求的線面角求解.【規(guī)范解答】 選D

6、，如圖： 取的中點(diǎn)，連結(jié) ，過(guò)作，連結(jié),則即所求，,所以,.【方法技巧】正確作出線面角是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵,作線面角的方法是先找到平面的垂線，可以利用面面垂直的性質(zhì)，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)向另一平面作交線的垂線，這樣就找到該斜線在平面內(nèi)的射影，從而找到線面角.在求角的函數(shù)值時(shí)注意計(jì)算要準(zhǔn)確.6.（2010·江西高考理科·）過(guò)正方體的頂點(diǎn)作直線，使與棱所成的角都相等，這樣的直線可以作( ).(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條【命題立意】本題主要考查空間中線面關(guān)系，空間角的概念，考查考生的空間想象能力【思路點(diǎn)撥】建立空間想象能力是關(guān)鍵.【規(guī)范解答】選第一類：過(guò)點(diǎn)位于三條棱

7、之間的直線有一條體對(duì)角線；第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條. 故選D.7.（2010·重慶高考文科·9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)（ ）.(A)只有1個(gè) (B)恰有3個(gè) （C）恰有4個(gè) （D）有無(wú)窮多個(gè)【命題立意】本小題考查異面直線、空間距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法. 【思路點(diǎn)撥】把兩條異面直線放在一個(gè)幾何模型內(nèi)，尋找符合題意的點(diǎn).【規(guī)范解答】選D.如圖：在正方體 中，直線與直線是兩條互相垂直的異面直線，則符合題意的點(diǎn)有正方體的中心，點(diǎn)，點(diǎn) ，的中點(diǎn)等4個(gè)點(diǎn)；進(jìn)一步思考，在平面中，到

8、點(diǎn)的距離就是到直線的距離，所以問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在平面中，到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線，所以符合題意的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè).【方法技巧】構(gòu)造幾何模型正方體，可以簡(jiǎn)捷解答.8.（2010·重慶高考理科·0）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是( ).(A)直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線【命題立意】本小題考查立體幾何中的線線、線面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力，考查圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.【思路點(diǎn)撥】把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上，抓住互相垂直的兩條異面直線的距離是定值，利用空間幾何體模型

9、，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行推導(dǎo).【規(guī)范解答】選D.異面直線，是已知互相垂直的異面直線，以正方體為模型，如圖所示，設(shè)，的距離是，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，那么，所以，所以，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.【方法技巧】借助于正方體這個(gè)模型是解題的關(guān)鍵，注意到兩條異面直線之間的距離為定值，尋找等量關(guān)系和即可求出軌跡方程.9.（2010·全國(guó)高考卷理科·11）到正方體的三條棱AB,CC1，A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)( ).（A）有且只有1個(gè) （B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè) （D）有無(wú)數(shù)個(gè)【命題立意】本題考查了空間直線、平面間的距離.【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用距離公式求解.【規(guī)范解答

10、】 選D，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得方程組，顯然時(shí)這個(gè)方程恒成立，即這個(gè)方程組有無(wú)窮多組解，故這樣的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè).【方法技巧】利用方程思想求解.方程組中的每個(gè)方程都是雙曲拋物面的方程，本題中符合要求的點(diǎn)的集合就是兩個(gè)雙曲拋物面的交線.在一些錯(cuò)誤解答中認(rèn)為其軌跡為柱面或者是平面是本質(zhì)性的錯(cuò)誤.這個(gè)題作為選擇題，命題者的目的是考查考生空間想象能力和直覺(jué)猜想能力.10.（2010·全國(guó)高考卷理科·9）已知正四棱錐中，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（ ）.（A）1 （B） （C）2 （D）3

11、【命題立意】本題考查了立體幾何棱錐的體積計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.【思路點(diǎn)撥】列出關(guān)于棱錐高的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【規(guī)范解答】 選C，如圖：設(shè)棱錐的高為,底面邊長(zhǎng)為,則,，令，得時(shí)棱錐的體積最大.11.（2010·江西高考理科·）如圖，在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且，分別經(jīng)過(guò)三條棱作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則的大小關(guān)系為_(kāi)【命題立意】本題主要考查棱錐的基本知識(shí)，考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查面積和體積的問(wèn)題，考查兩數(shù)大小的比較，考查空間想象力【思路點(diǎn)撥】先確定截面的位置，如圖：,.即為底面的高，則,過(guò)棱的截面若要平分三棱錐的體積，只要平分底面即可，故取的

12、中點(diǎn),則截面平分三棱錐的體積.過(guò)棱的截面同理.再確定截面面積，最后比較大小.【規(guī)范解答】依次取的中點(diǎn)，則截面三角形所在平面均平分三棱錐的體積，設(shè)，則=，又因?yàn)?，即，所以，?同理可得.【答案】.【方法技巧】為了便于計(jì)算，可取特殊值，如.12. (2010·四川高考理科·15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是 .【命題立意】本題考查了空間幾何體的二面角，線面角的求法問(wèn)題.【思路點(diǎn)撥】首先作出與平面所成的角，二面角的平面角，然后利用具有已知條件的直角三角形求邊.【規(guī)范解答】如圖：過(guò)點(diǎn)作,垂足為，連結(jié)，則就是與

13、平面所成的角.再過(guò)作,垂足為，連結(jié)，則就是二面角 的平面角.即，設(shè)，在中，,，在，.在中，【答案】【方法技巧】本題主要利用三垂線定理及其逆定理把要求的角作出來(lái)再求解.13.（2010·全國(guó)卷理科·19）如圖，四棱錐中， /，,， 為棱上的一點(diǎn)，平面平面.（1）證明：；（2）求二面角的大小 .【命題立意】“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”. 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況，命題人在這里一定會(huì)照顧雙方的利益.學(xué)生在備考中也應(yīng)注意

14、這一點(diǎn)，兩種方法都應(yīng)重視，不可偏頗.【思路點(diǎn)撥】本題很常規(guī)，給人感覺(jué)很熟悉，尤其給出，底面為直角梯形，這就為解答提供很大的方便，大部分考生會(huì)考慮到用建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量解答.再者，此題與2007年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷第19題，2009全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷第18題非常類似，給人似曾相識(shí)的感覺(jué)，如果考前接觸過(guò)這道試題，解決今年的這道考題不會(huì)有太大的困難. 【規(guī)范解答】方法一：(1)連結(jié),取的中點(diǎn),連結(jié),由此知,即為直角三角形,故,又,故,所以, ,.作,為垂足,因平面平面,故,.與平面內(nèi)的兩條相交直線，都垂直.,.所以, .(2)由,知,又,故是等腰三角形.取中點(diǎn),連結(jié),則,.連結(jié),則,.所以,是二面

15、角的平面角.連結(jié),.所以,二面角的大小為.方法二:以 為坐標(biāo)原點(diǎn),射線為軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.則, ,.(1),.設(shè)平面的法向量為,由,得,.故,.令,則，.又設(shè),則.,.設(shè)平面的法向量,由,得.故,.令,則.由平面平面，,.故.(2)由(I)知,取中點(diǎn),則,故,由此得.又,故,由此得,向量與的夾角等于二面角的平面角.于是,所以,二面角的大小為.【方法技巧】求二面角的方法求二面角的方法說(shuō)明定義法在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角垂面法利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面三垂線定理自二面角的一個(gè)平面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂

16、足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角.14. （2010·湖北高考文科·18）如圖，在四面體中，且.（1）設(shè)為的中點(diǎn)，在上且，證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【命題立意】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及二面角等，同時(shí)考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】（1）由三垂線定理，可先在上找一點(diǎn)，使,再證明即可.（2）可利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空間向量求解).【規(guī)范解答】方法一：（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于,連接.在等腰中，120

17、6;,30°, 在30°,在中120°-90°=30°，.又,為的中點(diǎn).在中，分別為的中點(diǎn)，.由，知：，又，由知：.（2）連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影.在等腰直角中，為的中點(diǎn)， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. .方法二: (1)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）則, 為的中點(diǎn)，.,又由已知可得,又,.故.即. (2)記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，二面角的平面角是銳角，記為，則.【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可

18、通過(guò)三垂線定理或線面垂直兩個(gè)途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可由已有的線線垂直，借用線線平行實(shí)現(xiàn)新的線線垂直.2.求二面角的大小一般有以下五種辦法：三垂線法（過(guò)其中一個(gè)半平面內(nèi)某點(diǎn)易作出另一個(gè)半平面的垂線時(shí)最適合用此法）.垂面法（有一個(gè)平面與二面角的棱垂直時(shí)適合用此法）.定義法.射影面積法（無(wú)棱二面角或容易找出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)圖形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影時(shí)適合用此法）.向量法.15.（2010·上海高考理科·21）如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當(dāng)圓柱底面半

19、徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;（2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）【命題立意】本題是個(gè)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，涉及函數(shù)求最值，立體幾何中求角等問(wèn)題【思路點(diǎn)撥】（1）建立關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；（2）按求異面直線所成的角的步驟進(jìn)行【規(guī)范解答】（1）設(shè)圓柱形燈籠的高為，則，所以所以（1.2-2r）所以，當(dāng)時(shí)S有最大值最大值為（平方米）（2）由（1）知時(shí)， 如圖，連接，易得，且相互平行，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，

20、所以為異面直線與所成的角，中可得，所以；同理可得；在中，由余弦定理,可得，所以異面直線與所成的角為【方法技巧】求異面直線所成的角按如下步驟進(jìn)行:（1）作角：通過(guò)作輔助線，作出或找到異面直線所成的角；（2）證明：由異面直線所成的角的定義證明前面所作的角是滿足條件的角；（3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（這里僅一句話即可）；（4）求角：在三角形中求出這個(gè)角的大小16.（2010·湖北高考理科·18）如圖, 在四面體中，, ,120°，且.(1) 設(shè)為的中點(diǎn).證明：在上存在一點(diǎn),使,并計(jì)算的值；(2) 求二面角的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的求法等，同時(shí)考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】(1)由,利用三垂線定理在上找一點(diǎn)，使，過(guò)作，交上一點(diǎn)即為所求的點(diǎn).在中即可計(jì)算的值.(2)由()利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形求出二面角的平面角的余弦值.(也可利用空間向量求解)【規(guī)范解答】方法一:(1)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于,連接.,.,.取為的中點(diǎn)，則.在等腰中，, 在,在中，,.(2)連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影.在等腰直角中，為的中點(diǎn)， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. cos.方法