向量的共線問題 證明共線問題常用的方法ppt課件

1、 向量的共線問題向量的共線問題 證明共線問題常用的方法證明共線問題常用的方法. .1 1向量向量 共線共線 存在獨(dú)一實(shí)數(shù)存在獨(dú)一實(shí)數(shù),使使(2)(2)向量向量 =(x1,y1), =(x2,y2) =(x1,y1), =(x2,y2)共線共線 x1y2-x2y1=0; x1y2-x2y1=0;(3)(3)向量向量 與與 共線共線(4)(4)向量向量 與與 共線共線 存在不全為零的實(shí)數(shù)存在不全為零的實(shí)數(shù)1,21,2，使，使a b a0) 、 （ba; ababa ba b ; ab12ab0.【例【例1 1】知】知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),A(-1,1),B(

2、1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判別兩線試判別兩線段段 能否共線？能否共線？【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得兩向量 的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示. .要判別要判別 能否共線，首先看能否能否共線，首先看能否滿足滿足 ，再闡明線段，再闡明線段ABAB與與CDCD能否有公共點(diǎn)能否有公共點(diǎn). .ABCD 與ABCD 和ABCD 與ABCD 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】 =(2,4), =(-1,-6), =(2,4), =(-1,-6),-1-14-(-6)4-(-6)2=-4+12=80.2=-4+12=80. 不共線，即點(diǎn)不共線，即

3、點(diǎn)C C不在直線不在直線ABAB上，同理點(diǎn)上，同理點(diǎn)D D也不在直也不在直線線ABAB上，直線上，直線ABAB與與CDCD不共線，即線段不共線，即線段ABAB與與CDCD不共線不共線. .AB AC ABAC 與【例【例2 2】知】知 =(1,2), =(-3,2). =(1,2), =(-3,2).假設(shè)假設(shè)平行，務(wù)虛數(shù)平行，務(wù)虛數(shù)k k的值的值. .【審題指點(diǎn)】此題調(diào)查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求【審題指點(diǎn)】此題調(diào)查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件. .經(jīng)過兩向量共線可得坐標(biāo)的經(jīng)過兩向量共線可得坐標(biāo)的關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值關(guān)系

4、，列出等式，求得參數(shù)的值. .abka2b2a4b與【規(guī)范解答】方法一：向量【規(guī)范解答】方法一：向量 平行，那么存在平行，那么存在獨(dú)一實(shí)數(shù)獨(dú)一實(shí)數(shù)，使，使 =k(1,2)+2(-3,2) =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),(k-6,2k+4)=(14,-4).(k-6,2k+4)=(14,-4).即實(shí)數(shù)即實(shí)數(shù)k k的值為的值為-1.-1.ka2b2a4b與ka2b2a4b . ka2b2a4b1k614 ,22k44 ,k1. 解得方法二：方法二： =

5、k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，平行，k-6k-6(-4)-(2k+4)(-4)-(2k+4)14=0.14=0.解得解得k=-1.k=-1.ka2b2a4bka2b2a4b與 向量的夾角和垂直問題向量的夾角和垂直問題1.1.兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式. .非零向量非零向量 =(x1,y1), =(x2 =(x1,y1), =(x2，y2)y2)的夾角為的夾角為，那么有，那么有2.2.兩向量垂直的條件兩向量

6、垂直的條件. .ab121222221122x xy ya bcos.a bxyxy 1212aba b0 x xy y0. 要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件坐標(biāo)表示的區(qū)別坐標(biāo)表示的區(qū)別. .【例【例3 3】設(shè)兩個(gè)向量】設(shè)兩個(gè)向量 ，滿足，滿足 |=2,| |=1, |=2,| |=1, 的夾角為的夾角為 ，假設(shè)向量，假設(shè)向量 的夾角為鈍角，務(wù)虛的夾角為鈍角，務(wù)虛數(shù)數(shù)t t的范圍的范圍. .【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出向量的夾角以及【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出向量的夾角以及 =2=2和和| |=1| |=1等條件，由公式等條件，由公式cos= cos= 可得

7、可得假設(shè)為鈍角，那么假設(shè)為鈍角，那么coscos0 0且且cos-1cos-1，即，即 0.0.同時(shí)也應(yīng)留意向量的共線反向這同時(shí)也應(yīng)留意向量的共線反向這一情況一情況. .12ee 與1e2e 12ee 與312122te7eete 與1e2e a bab a b 【規(guī)范解答】由知【規(guī)范解答】由知為鈍角，為鈍角，2t2+15t+70,2t2+15t+70,得得-7t .-7t .又由又由tt的取值范圍是的取值范圍是-7-7， ( , ).( , ).1212e ee e cos13 ，222121211222(2te7e ) (ete )2te2t7 ee7te2t15t7. 1212122te

8、7eete,(0) 2t14,t.7t2 14212142【例【例4 4】求證：】求證：ABCABC的三條高線交于一點(diǎn)的三條高線交于一點(diǎn). .【審題指點(diǎn)】證明此題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，【審題指點(diǎn)】證明此題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn)，然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對(duì)邊垂直然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對(duì)邊垂直. .【規(guī)范解答】如圖，知【規(guī)范解答】如圖，知ADAD，BEBE，CFCF是是ABCABC的三條高，設(shè)的三條高，設(shè)BEBE，CFCF交于點(diǎn)交于點(diǎn)H H，且令，且令可得可得由于由于所以所以所以所以 運(yùn)算并化簡(jiǎn)得運(yùn)算并化簡(jiǎn)得ABb,ACc,AHh ，BHhb,CHhc,BC

9、cb. BHAC,CHAB, (hb) c0 (hc) b0, ，(hb) c(hc) b ，hcb0,所以所以又又ADBCADBC且且AHAD=A,AHAD=A,所以所以A A、H H、D D三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以所以ADAD，BEBE，CFCF相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)H.H.即即ABCABC的三條高交于一點(diǎn)的三條高交于一點(diǎn). .AHBC ， 向量模的問題向量模的問題 處理向量模的問題常用的戰(zhàn)略處理向量模的問題常用的戰(zhàn)略1 1運(yùn)用公式：運(yùn)用公式： = (= (其中其中 =(x,y); =(x,y);2 2運(yùn)用三角形或平行四邊形法那么；運(yùn)用三角形或平行四邊形法那么；3 3運(yùn)用向量不等式運(yùn)用向量不

10、等式 (4)(4)研討模的平方研討模的平方a22xyaababab22abab.【例【例5 5】【審題指點(diǎn)】此題主要調(diào)查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的【審題指點(diǎn)】此題主要調(diào)查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由運(yùn)算，可以用平方求解法，也可以由 =1 =1，設(shè)出，設(shè)出 的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算的坐標(biāo)，化為坐標(biāo)運(yùn)算. .ab1, 3a2b3,3ab.設(shè)求的值ab a,b 【規(guī)范解答】方法一：【規(guī)范解答】方法一：223a2b39a12a b4b9. ，1ab1,a b.3 又 222213ab(3ab)9a6a bb96112,33ab2 3. 故方法二：設(shè)方法二：設(shè) =(x1,y

11、1), =(x2,y2), =(x1,y1), =(x2,y2), =1,x12+y12=x22+y22=1. =1,x12+y12=x22+y22=1. =(3x1-2x2,3y1-2y2), =(3x1-2x2,3y1-2y2), = =3, = =3,x1x2+y1y2= ,x1x2+y1y2= ,abab 3a2b3a2b2212123x2x3y2y132212123ab3xx3yy 2222112212129 xyxy6(x xy y )19 162 3.3 待定系數(shù)法處理向量問題待定系數(shù)法處理向量問題 待定系數(shù)法在向量中的運(yùn)用待定系數(shù)法在向量中的運(yùn)用待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的

12、方法，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，假設(shè)知所求結(jié)果具有某種確定的方式，那么可引入一些題，假設(shè)知所求結(jié)果具有某種確定的方式，那么可引入一些尚待確定的系數(shù)或參數(shù)來表示這樣的結(jié)果，經(jīng)過變形比尚待確定的系數(shù)或參數(shù)來表示這樣的結(jié)果，經(jīng)過變形比較，建立起含有待定字母系數(shù)或參數(shù)的方程組，并較，建立起含有待定字母系數(shù)或參數(shù)的方程組，并求出相應(yīng)的字母或參數(shù)的值，進(jìn)而使問題獲解，這種方求出相應(yīng)的字母或參數(shù)的值，進(jìn)而使問題獲解，這種方法稱為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛運(yùn)用，如法稱為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛運(yùn)用，如平行向量根本定理、平面向量根本定理就是這

13、種方法的表達(dá)平行向量根本定理、平面向量根本定理就是這種方法的表達(dá)方式方式. .【例【例6 6】如圖，在】如圖，在ABCABC中，中，M M是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，N N在在ACAC上且上且AN=2NCAN=2NC，AMAM與與BNBN交于點(diǎn)交于點(diǎn)P P，求求APPMAPPM的值的值. .【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出了【審題指點(diǎn)】標(biāo)題中給出了M M點(diǎn)是點(diǎn)是ABCABC的邊的邊BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ACAC邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)N N滿足滿足AN=2NCAN=2NC，欲求，欲求APPMAPPM的值，的值，可適中選取基底表示出可適中選取基底表示出 由于點(diǎn)由于點(diǎn)A A、P P、M M共線，假設(shè)有共線，假設(shè)有

14、 那么那么為為APPMAPPM的值的值. .AP,PM ，APPM ，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】 A A、P P、M M與與B B、P P、N N共線共線, , APPM=41. APPM=41.1221BMe ,CNeAMACCM3ee 設(shè)，12BN2ee , 1212APAMe3e,BPBN2ee. BABPPABCCA, 1122122eee3e2e3e , 42253335 ，4APAM,5 平面向量的運(yùn)用平面向量的運(yùn)用 平面向量?jī)蓚€(gè)方面的運(yùn)用平面向量?jī)蓚€(gè)方面的運(yùn)用(1)(1)在平面幾何中的運(yùn)用在平面幾何中的運(yùn)用. .向量的加法運(yùn)算和全等、平行，數(shù)乘向量和類似，間隔、夾向量的加法運(yùn)算和全

15、等、平行，數(shù)乘向量和類似，間隔、夾角和數(shù)量積之間有著親密聯(lián)絡(luò)，因此利用向量方法可以處理角和數(shù)量積之間有著親密聯(lián)絡(luò)，因此利用向量方法可以處理平面幾何中的相關(guān)問題平面幾何中的相關(guān)問題. .(2)(2)在物理中的運(yùn)用在物理中的運(yùn)用. .主要處理力、位移、速度等問題主要處理力、位移、速度等問題. .【例【例7 7】知正方形】知正方形ABCD,EABCD,E、F F分別是分別是CDCD、ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BEBE、CFCF交交于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.求證：求證：1 1BECFBECF；2 2AP=AB.AP=AB.【審題指點(diǎn)】此題欲求證線段垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的【審題指點(diǎn)】此題欲求證線段垂直和相等，可

16、轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問題垂直和向量的模相等問題. .知正方形知正方形ABCDABCD，可建系設(shè)點(diǎn)，把向，可建系設(shè)點(diǎn)，把向量用坐標(biāo)表示出來，用向量的有關(guān)知識(shí)處理量用坐標(biāo)表示出來，用向量的有關(guān)知識(shí)處理. .【規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系【規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOyxOy，其中，其中A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，無妨設(shè)無妨設(shè)AB=2AB=2，那么那么A(0,0),B(2,0),C(2,2),A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).E(1,2),F(0,1).(1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)(1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)，

17、=(0,1)-(2,2)=(-2,-1) =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1 =-1(-2)+2(-2)+2(-1)=0(-1)=0， 即即BECF.BECF.BEOEOB CFOFOC BE CF BECF ，2 2設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)，那么，那么 = =x,y-1x,y-1, =(-2,-1), =(-2,-1)，-x=-2(y-1)-x=-2(y-1)，即，即x=2y-2.x=2y-2.同理由同理由 ，得，得y=-2x+4,y=-2x+4,代入代入x=2y-2.x=2y-2.FPCFFPCF，BPBE 686 8xyP( , ).555 5解得，即222268AP

18、( )( )4AB55 ，APABAPAB. ，即【例【例8 8】如下圖，求兩個(gè)力】如下圖，求兩個(gè)力的合力的合力 的大小準(zhǔn)確到的大小準(zhǔn)確到0.1 N0.1 N和和方向準(zhǔn)確到分方向準(zhǔn)確到分. .【審題指點(diǎn)】題中給出兩個(gè)力的大小【審題指點(diǎn)】題中給出兩個(gè)力的大小及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運(yùn)算，在三角形中處理形中處理. .12F F 、F【規(guī)范解答】設(shè)【規(guī)范解答】設(shè) =(a1,a2), =(a1,a2), =(b1,b2), =(b1,b2),那么那么a1=300cos30a1=300cos30259.8,259.8,a2=300sin

19、30a2=300sin30=150.0=150.0，b1=-200cos45b1=-200cos45-141.4,-141.4,b2=200sin45b2=200sin45141.4,141.4,所以所以 =(259.8,150.0), =(-141.4,141.4), =(259.8,150.0), =(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4) =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),=(118.4,291.4),2F 12FFF 1F1F1F設(shè)設(shè) 與與x x軸的正向夾角為軸的正向夾角為,那么那么

20、tan= 2.461 1.tan= 2.461 1.由由 的坐標(biāo)知的坐標(biāo)知是第一象限的角，所以是第一象限的角，所以676753.53.所以兩個(gè)力的合力是所以兩個(gè)力的合力是314.5 N314.5 N，與，與x x軸的正方向的夾角為軸的正方向的夾角為67675353，與，與y y軸的夾角為軸的夾角為22227.7.22F118.4291.4314.5.F291.4118.4F1.1.設(shè)平面向量設(shè)平面向量 = =3,53,5, =, =-2,1-2,1, ,那么那么 =( ) =( )A A7 7，3 3B B7,77,7C C1,71,7D D1,31,3【解析】選【解析】選A. =(3,5)-

21、2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).aba2ba2b2.2.給出以下各命題：給出以下各命題：1 1向量向量 的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度與向量 的長(zhǎng)度相等；的長(zhǎng)度相等；2)2)向量向量 與向量與向量 平行，那么平行，那么 與與 的方向一樣或相反；的方向一樣或相反；3 3兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必一樣；兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必一樣；4 4兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；5 5向量向量 與向量與向量 是共線向量，那么點(diǎn)是共線向量，那么點(diǎn)A A、B

22、B、C C、D D必必在同一條直線上；在同一條直線上；6 6有向線段就是向量，向量就是有向線段有向線段就是向量，向量就是有向線段. .其中假命題的個(gè)數(shù)為其中假命題的個(gè)數(shù)為( )( )A A2 2 B B3 3 C C4 4 D D5 5AB BA ababAB CD 【解析】選【解析】選C.C.抓住方向、長(zhǎng)度、零向量，結(jié)協(xié)作圖判別抓住方向、長(zhǎng)度、零向量，結(jié)協(xié)作圖判別. .1 1真命題真命題. .2 2假命題假命題. .假設(shè)假設(shè) 與與 中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的確定的. .3 3真命題真命題. .4 4假命題假命題. .終點(diǎn)一樣并不能闡明這兩個(gè)向量的方向一

23、樣或終點(diǎn)一樣并不能闡明這兩個(gè)向量的方向一樣或相反相反. .5 5假命題假命題. .共線向量所在的直線可以重合，也可以平行共線向量所在的直線可以重合，也可以平行. .6 6假命題假命題. .向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段段. .ab3.3.知知 =(1,0), =(0,1), =(1,0), =(0,1),那么與向量那么與向量 垂直的一個(gè)向量垂直的一個(gè)向量為為( )( )A A B B C C D D【解析】選【解析】選C.C.設(shè)設(shè) 那么那么 =0 =0，且且 故故2a+b=02a+b=0，C C項(xiàng)符合項(xiàng)符合. .ij2ij 2ij ij i2

24、jij caibj a,bR ,2ij (aibj) （）22ij1,i j0, 4.4.假設(shè)假設(shè) 那么那么=( )=( )A A B B C C D D【解析】選【解析】選故故=- .=- .1APPB,ABBP3 ，1434434314D.ABAPPBPBPBPBABBPPB.33 ，又435.5.知直線知直線ax+by+c=0ax+by+c=0與圓與圓x2+y2=1x2+y2=1相交于相交于A A、B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 那么那么 =_. =_. 【解析】如圖，作【解析】如圖，作ODABODAB于于D D，那么在那么在RtRtAODAOD中，中，OA=1OA=1，AD= AD= ，所以，

25、所以AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120，所以，所以 =1 =11 1(- )= .(- )= .答案答案: :AB3 ，OA OB 32OA OB |OA| OB cos120 1212126.6.知向量知向量 =( ,1), =( ,1), 是不平行于是不平行于x x軸的單位向量軸的單位向量, ,且且 那么那么 =_. =_.【解析】設(shè)【解析】設(shè) =(m,n) =(m,n)，依題意有，依題意有又又 不平行于不平行于x x軸，故軸，故答案答案: : ab3a b3, bb22mn1,3mn3.1mm12n03n.2，解得或，b13b( ,).2213( ,)227.7.如圖

26、，如圖，B B、C C是線段是線段ADAD的三等分點(diǎn)，分別的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出_個(gè)互不相等的非個(gè)互不相等的非零向量零向量. .【解析】可設(shè)【解析】可設(shè)ADAD的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為3 3，那么長(zhǎng)度為，那么長(zhǎng)度為1 1的向量有的向量有6 6個(gè)，其中個(gè)，其中 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2 2的向量有的向量有4 4個(gè)，其中個(gè)，其中 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為3 3的向量有的向量有2 2個(gè)，分別是個(gè)，分別是 ，所以最多可以寫出所以最多可以寫出6 6個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量. .答案答案:6AB BC CD BA CBDC ， ；AC BD CA DB ， ；ADDA 和8.8.知知 =(1,2), =(-2,n), =(1,2), =(-2,n), 與與 的夾角是的夾角是4545. .(1)(1)求求 ; ;(2)(2)假設(shè)假設(shè) 與與 同向同向, ,且且 垂直垂直,