誤差理論實(shí)驗(yàn)

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告班級：學(xué)號： 姓名：試驗(yàn)時(shí)間：2013年5月21日 星期二 第四講 第二次試驗(yàn) 線性函數(shù)的最小二乘法處理、一元/多元回歸數(shù)據(jù)處理1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1. 會用matlab編寫最小二乘數(shù)據(jù)程序并對組合側(cè)里數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求出最佳估計(jì)值并進(jìn)行精度分析。2.掌握一元線性回歸方程的求解和方差分析、顯著性檢驗(yàn)方法。3.掌握一元非線性回歸方程的求解和顯著性檢驗(yàn)方法，掌握多元線性回歸方程的求解和方差分析、顯著性檢驗(yàn)方法，掌握回歸數(shù)據(jù)處理的程序設(shè)計(jì)方法。二、實(shí)驗(yàn)原理一、線性函數(shù)的最小二乘法是解決有關(guān)組合測量最佳估計(jì)問題的典型的數(shù)據(jù)處理方法。MATLAB里的基本算術(shù)運(yùn)算有： (1) (加)、

2、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。(2) 矩陣乘法 假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。(3) 矩陣除法在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則AB和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。 AB=inv(A)*B B/A=B*inv(A) 對于矩陣運(yùn)算，一般ABB/A。 (4) 矩陣的乘方 一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成Ax，要求A為方陣，x為標(biāo)量。 二、回歸分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象中變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。

3、 .一元線性回歸 1. 一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型： （i=1,2,3n） 其中（i=1,2,3n）表示隨機(jī)因素對影響的總和，一般假設(shè)它們是一組相互獨(dú)立，并服從同一正態(tài)分布N（0，）的隨機(jī)變量。 2. 一元線性回歸方程： 利用最小二乘可求得。 3. 方差分析：誤差來源平方和自由度方差F顯著度回歸U10.010.050.1或其它殘差Qn-2總計(jì)Sn-1. 多元線性回歸 1. 多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型： 2. 多元線性回歸方程： (矩陣形式)其中：；利用最小二乘法可求得： 3.方差分析: 誤差來源平方和自由度方差F顯著度回歸UM0.010.050.1或其它殘差Qn-m-1總計(jì)Sn-1 3、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和結(jié)

4、果第一個(gè)小實(shí)驗(yàn)：線性函數(shù)的最小二乘法處理 程序及其流程 L=1.015;0.985;1.020;2.016;1.981;3.032; A=1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1 ;1 1 1; C=A'*A;B=inv(C); X=B*A'*L %最小二乘估計(jì)值 v=L-A*X; o=sqrt(sum(v.*v)/(6-3) %測得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差 d=diag(B,0); o1=o*sqrt(d(1) %估計(jì)量的精度 o2= o*sqrt(d(2) o3= o*sqrt(d(3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖（一） 結(jié)果分析 由圖（一）可以看出、和的最小二乘估計(jì)值分別為1.02

5、80mm、0.9830mm、1.0130mm 。直接測量數(shù)據(jù)的精度=o=0.0134 。、和的最小二乘估計(jì)值的精度分別為=o1=0.0095、=o2=0.0095、 =03=0.0095 。第二個(gè)小實(shí)驗(yàn)：一元/多元回歸數(shù)據(jù)處理一、 程序及其流程y1=1 26.5;1 27.3;1 24.2;1 27.1;1 23.6;1 25.9;1 26.3;1 22.5;1 21.7;1 21.4;1 25.8;1 24.9;X=1 26.8;1 25.4;1 28.9;1 23.6;1 27.7;1 23.9;1 24.7;1 28.1;1 26.9;1 27.4;1 22.6;1 25.6;y=y1(

6、:,2);t=X(:,2);avy=mean(y);avx=mean(t);Lxy=sum(t.*y)-(sum(t)*sum(y)/12;Lxx=sum(t.2)-(sum(t)2)/12;Lyy=sum(y.2)-(sum(y)2)/12;b1=Lxy/Lxx;b0=avy-avx*b1;U=b1*Lxy,Q=Lyy-b1*Lxy,S=Lyy,s2=Q/(12-2),F=U/s2, %求回歸殘差總計(jì)平方和。b=b0;b1 a=inv(y1'*y1)*y1'*t;T=22:0.1:30'Y1=ones(size(T) T*b;Y2=ones(size(T) T*a;p

7、lot(T,Y1,'-',T,Y2,t,y,'*')legend('y對x','x對y','散點(diǎn)') 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Y對x的回歸方程的方差分析表誤差來源平方和自由度方差F顯著度回歸20.262112.68857.53670.100.05殘差26.884510總計(jì)47.146711 結(jié)果分析查表可知 可知y對x的回歸方程在上顯著。二、 程序及其流程x=1.585 2.512 3.979 6.310 9.988 15.85'y=0.03162 0.02291 0.02089 0.01950 0.01862 0.015

8、13'Z1=log(y); Z2=log(x);X=ones(size(Z2) Z2;c=XZ1;a=exp(c(1),b=c(2) %求曲線方程的系數(shù)a、bt=0:0.01:3'Y=ones(size(t) t*c;plot(t,Y,Z2,Z1,'K+') 實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫出原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和所擬合的曲線x=1.585 2.512 3.979 6.310 9.988 15.85'y=0.03162 0.02291 0.02089 0.01950 0.01862 0.01513'Z1=log(y); Z2=log(x);X=ones(size(Z2)

9、Z2;c=XZ1;a=exp(c(1)b=c(2)t=1:0.1:16;y1=a*t.b;hold on;plot(x,y,'o',t,y1,'k');title('散點(diǎn)圖和所擬合的曲線')結(jié)果： 結(jié)果分析 由上圖可以看出本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以用曲線來表示； 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知曲線方程為；3、 程序及其流程 Y=6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42' X1=1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65'

10、X2=1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40' x1=mean(X1); x2=mean(X2); X=ones(size(X1) X1 X2; C=inv(X'*X);B=X'*Y; b=C*B, %求系數(shù)的最小二乘估計(jì)值 M=2;Vq=10-2-1; L1y=sum(X1.*Y)-sum(X1)*sum(Y)/10; L2y=sum(X2.*Y)-sum(X2)*sum(Y)/10; Lyy=sum(Y.2)-sum(Y)2/10U=b(2)*L1y+b(3)*L2y,Q=Lyy-U,S=Lyy

11、, %求回歸、殘差、總計(jì)平方和F=(U/M)/(Q/Vq) P1=b(2)2/C(5),F1=P1/(Q/Vq),P2=b(3)2/C(9),F2=P2/(Q/Vq) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 結(jié)果分析由上圖可知：1. 多元線性回歸方程為 ： 2. 可得方差分析表誤差來源平方和自由度方差F顯著度回歸1095320.4316126890.010.050.1殘差3.02137總計(jì)109569可知此回歸方程在0.01、0.05、0.1上都是高度顯著的。由于 故、對y均為主要因素。思考題1. 如何對非線性函數(shù)進(jìn)行最小二乘處理？對于非線性的函數(shù)首先我們要確定函數(shù)的類型，其中就涉及對其選擇和檢驗(yàn)的過程。然后通過變量代換把回歸曲線轉(zhuǎn)換為回歸直線，繼而可以用最小二乘處理。2. 在實(shí)驗(yàn)一中兩條回歸直線為什么不一樣，在什么情況下這兩直線重合？ 求y對x的回歸方程時(shí)是把y看作是精確的，把誤差都?xì)w結(jié)在x方向，而在求x對y的回歸方程時(shí)則剛好相反。從計(jì)算的式子來看，兩個(gè)方程的回歸系數(shù)是不一樣的。但是當(dāng)兩個(gè)變量x，y之間的線性關(guān)系的加強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，這兩條直線將重合。四、心得體會通過本實(shí)驗(yàn)