實(shí)二次型實(shí)用教案

1、22212311 21 323(2) ( , )2223f x x xxxxxxxx22(3)( , )f x yxxyxy2(1)( , )1f x yxxy22(4)( , )f x yxy次次型型？下下面面例例子子中中，哪哪些些是是二二不是(b shi)是不是(b shi)是1231 21 32 3(5) ( , )224f x x xxxxxx x222212341234(6) ( , ,)23f x x x xxxxx是是第1頁(yè)/共40頁(yè)第一頁(yè)，共40頁(yè)。()2ijijijjiijjix xijaaaaa把把的的系系數(shù)數(shù)分分成成同同時(shí)時(shí)令令21211 112 1 213 1 311(

2、 , ,)nnnf x xxa xa xxa xxa xx21211 11212131311(,)222nnnf x xxa xa x xa x xa x x222223232222nna xa x xa x x+2nnna x (1)22121222232322nna x xa xa x xa x x+21122nnnnnnna x xa x xa x(2)111212122212. .nnnnnnaaaaaaAaaa記系數(shù)(xsh)矩陣12nxxxx則(2)=xTAx二次型的矩陣(j zhn)形式.第2頁(yè)/共40頁(yè)第二頁(yè)，共40頁(yè)。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa

3、()ijjiaaij，TAA ，于是(ysh)，給定一個(gè)二次型，就可以得到唯一的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A；反之，給定一個(gè)n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(j zhn)A，可以得到對(duì)應(yīng)的二次型.12(,)Tnf x xxx A xA叫作二次型 f 的矩陣(j zhn).即A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣. 實(shí)二次型與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一一對(duì)應(yīng)其中，矩陣A的秩定義為二次型 f (x1, x2, , xn) = xTAx 的秩.第3頁(yè)/共40頁(yè)第三頁(yè)，共40頁(yè)。2221231121322331234122334222123123(1) ( ,)22244(2) ( ,)+42(3) ( ,)24f x x xxx xx xxx xxf x x x

4、xx xx xx xf x x xxxx(1)A124111122(2)A1(3)24A例1 寫(xiě)出下列(xili)二次型的矩陣.0000121200002200-1-1練習(xí)(linx)：P164例2第4頁(yè)/共40頁(yè)第四頁(yè)，共40頁(yè)。111222213111(1) (2)110222301111222AA123(2) ( , , )f x x x 2112x1 2x x1 3x x2212x2 3x x2312x212x122x x136x x22x23x例2 寫(xiě)出下列矩陣(j zhn)對(duì)應(yīng)的二次型.123(1) ( , , )f x x x 第5頁(yè)/共40頁(yè)第五頁(yè)，共40頁(yè)。定義(dngy)6

5、.1.2 關(guān)系式111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y12,nx xx111212122212,nnnnnnccccccCccc二、線性變換與矩陣(j zhn)合同(1)稱(chēng)為(chn wi)由變量到變量12,ny yy的一個(gè)線性變(替)換.矩陣形式：xC y其中，C稱(chēng)為線性變換矩陣.1122,nnxyxyxyxy當(dāng)|C|0時(shí)，稱(chēng)(1)式為非退化的線性變換或可逆線性變換.若C是正交矩陣，則稱(chēng)(1)式為正交變換.1.線性變換第6頁(yè)/共40頁(yè)第六頁(yè)，共40頁(yè)。12(,.,)Tnf x xxA xx11511200

6、1xy()()TCA Cyy()TTC AC yy在線性替換(t hun) x = Cy下，二次型是否仍化為二次型？BB是否(sh fu)對(duì)稱(chēng)？()TTTBC ACTTC A CTC AC= B()TTC ACyy= yT B y是關(guān)于(guny)y1, y2, , yn的二次型.對(duì)應(yīng)矩陣B=CTAC定理6.1.1 二次型 f = xTAx 經(jīng)過(guò)線性替換 x = C y 后，得到以 B = CTAC 為矩陣的二次型.如：二次型f=2x1x2-4x1x3+10 x2x3，在線性替換012105250AB=CTAC2220化為二次型： f ( y1, y2, y3) = 2y12 -2y22+20

7、y32矩陣的又一關(guān)系 合同若C可逆第7頁(yè)/共40頁(yè)第七頁(yè)，共40頁(yè)。2.矩陣(j zhn)的合同定義(dngy)6.1.3設(shè)矩陣A，B是兩個(gè)(lin )n 階方陣，如果存在可逆矩陣C，使得CTAC = B，則稱(chēng)矩陣A與B合同，記作AB顯然，二次型f = xTAx在非退化線性替換 x = C y下，得到二次型：yT B y因B=CTAC，故AB(1) (2) (3), AAABBAAB BCAC矩陣的合同具有性質(zhì)：(反身性)(對(duì)稱(chēng)性)(傳遞性)證(3),AB BC1122,TTC ACB C BCC2112TTCC C AC C1212()()TC CA C C第8頁(yè)/共40頁(yè)第八頁(yè)，共40頁(yè)。

8、合同矩陣還具有(jyu)下列重要性質(zhì)：(1) 若AB則 r(A) = r(B).AB,.TCC ACB可可逆逆矩矩陣陣使使得得r(A) = r(B)合同(h tong)矩陣的秩相等.(2) 若AB則AT=A的充要條件是BT=B.,.TCC ACB可可逆逆矩矩陣陣使使得得由AT=ATTTBC AC=CTAC=B由BT=BCTATC = CTACAT= A(3) 若AB則當(dāng)A，B可逆時(shí)，有11AB11()TC ACB1111()TC ACB1111()TC ACB(4) 若AB則TTABTC ACB()TTTC ACBTTTC A CB第9頁(yè)/共40頁(yè)第九頁(yè)，共40頁(yè)。TP APB1TPP若A與B

9、正交相似(xin s),BAPPP 1,正交矩陣正交矩陣P是正交矩陣(j zhn)，即PPT=I.矩陣的三大關(guān)系：等價(jià)(dngji)、相似、合同.它們之間的關(guān)系？A與B等價(jià)ABA經(jīng)過(guò)初等變換化為B.A與B相似AB,.TCC ACB可可逆逆矩矩陣陣使使得得1,.PP APB可可逆逆矩矩陣陣使使得得A與B合同AB相似等價(jià)反之不然.合同等價(jià)正交相似合同第10頁(yè)/共40頁(yè)第十頁(yè)，共40頁(yè)。三、二次型的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形2221 122nnd yd yd y定義(dngy)：若二次型 xTAx 經(jīng)過(guò)(jnggu)非退化線性替換，化為一個(gè)只含平方項(xiàng)的二次型，稱(chēng)此為二次型xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

10、的一般形式為：= yT y12nddd 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與對(duì)角陣一一對(duì)應(yīng)第11頁(yè)/共40頁(yè)第十一頁(yè)，共40頁(yè)。1. 配方法 此方法主要(zhyo)處理變量較少的情況，方法簡(jiǎn)單，其中 包括兩種類(lèi)型：含平方項(xiàng)、不含平方項(xiàng).一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形的三種方法： 配方法、初等變換法、正交替換法.定理(dngl)6.1.3即任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣必合同于一個(gè)對(duì)角形矩陣.定理6.1.2 任一實(shí)二次型，都可以經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形.對(duì)任一對(duì)稱(chēng)矩陣A，存在可逆矩陣C，使得TC AC 見(jiàn)P166定理6.1.1第12頁(yè)/共40頁(yè)第十二頁(yè)，共40頁(yè)。22212311 21 32233( ,)4424f x

11、 x xxx xx xxx xx221123234 () 4()xx xxxx21232()xxx222212322 333(22 )2(2) 3xxxxx xxx222123233(22 )2()3xxxxxx11232233322 yxxxyxxyx令令112223332 xyyxyyxy例1 將下列(xili)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.22223324xx xx2234()xx2222 33245xx xx即222123123( ,)23f y y yyyy標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形：例1等價(jià)(dngji)于：已知對(duì)稱(chēng)陣122222221A存在可逆矩陣C，120011001C使得TC AC10002

12、0003非退化線性替換：x = Cy第13頁(yè)/共40頁(yè)第十三頁(yè)，共40頁(yè)。1231 21 323( ,)2410f x x xx xx xx x11221233 xyyxyyxy令令22121231232() 4()10()yyyy yyy y22113392(3)4yy yy21332()2yy22213233372()2()2022yyyyy例2 將下列(xili)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解：非退化(tuhu)線性替換為：x= C1 y111 0 110001C f =22121 32322614yyy yy y22223392142yy yy222233492(7)4yy yy2320y311

13、327223233 zyyzyyzy令令311327223233 yzzyzzyzy= C2 z2221232220zzz231027 012001C x = C1C2z第14頁(yè)/共40頁(yè)第十四頁(yè)，共40頁(yè)。222123123(,)2220f z zzzzz則則標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為：1231 0211 071100 120010 01CCC115112001可逆的第15頁(yè)/共40頁(yè)第十五頁(yè)，共40頁(yè)。3TCC AC例例求求非非奇奇異異矩矩陣陣 ，使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣. .111122121A22211 21 322 332224xxxxxxx xx解：A所對(duì)應(yīng)(duyng)的二次型為1

14、123231 11( ,) 1 221 21Txx Axx x xxx221123232 () () xx xxxx2212322 3()2xxxxx x222123233()()xxxxxx222232233()24xxxx xx112322333 y x xxyxxyx 令令11222333 xyyxyyxy 即即222123yyy11 00 110 01C111TC AC第16頁(yè)/共40頁(yè)第十六頁(yè)，共40頁(yè)。4TCC AC例例求求非非奇奇異異矩矩陣陣 ，使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣. .012101210A1231 21 32 3( , , ) 242f x x xxxxxx x二次

15、型11221233 xyyxyyxy令令1110110001Cx=C1 y221213232262yyy yy y21332()2yy2222339222yy yy21332()2yy2223312()42yyy即11322333321 2 zyyzyyzy令令11322333321 2 yzzyzzyz231021012001C222123224zzzC= C1C2=111112001224TC AC第17頁(yè)/共40頁(yè)第十七頁(yè)，共40頁(yè)。TC AC1212()TssPPPAPPP 1112TTTsssP PP APPP 12sIP PPCAI只對(duì)A作相應(yīng)(xingyng)行變換對(duì)整個(gè)(zhn

16、gg)矩陣作列變換C2. 初等變換法 由于n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(j zhn) A 必合同于對(duì)角形矩陣(j zhn)，即存在可逆矩陣(j zhn)C，使得設(shè) C = P1 P2 Ps，Pi (i=1, 2, ,s)為初等矩陣，則(1)(2)比較兩式第18頁(yè)/共40頁(yè)第十八頁(yè)，共40頁(yè)。AI化化線線性性替替換換。為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形，并并求求出出非非退退用用初初等等變變換換法法化化二二次次型型例例122212311 21 32233( ,)4424f x x xxx xx xxx xx 122222221A解解：1221001222222211000100010-2 2-2 1002-52011000 -2

17、 2 0 2 -5 1 -2 2 0 1 0 0 0 1 10020212010000-30110C123TC AC112223332 xyyxyyxy令原二次型的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形：22212323yyy第19頁(yè)/共40頁(yè)第十九頁(yè)，共40頁(yè)。2TCC AC例例 求求非非奇奇異異矩矩陣陣 ，使使得得為為對(duì)對(duì)角角形形矩矩陣陣. .110221102211022A110221102211022100010001AI解1112221102211021001100011112110221102100110001第20頁(yè)/共40頁(yè)第二十頁(yè)，共40頁(yè)。1001004001111211120011112

18、1112001C1141TC AC1112110221102100110001112111001401212000-1-1-11第21頁(yè)/共40頁(yè)第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。矩陣C是正交矩陣的線性替換(t hun) x = C y，稱(chēng)為正交替換(t hun).定理(dngl)6.1.4Tnx Ax任任一一 元元實(shí)實(shí)二二次次型型都都可可以以經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)一一個(gè)個(gè)正正交交替替換換化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形2221122nnyyy12,nAn 其其中中為為 的的 個(gè)個(gè)特特征征值值. .證 因?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣必與對(duì)角(du jio)矩陣正交相似，12TnAP=P AP=1P 12,nAn 為為 的的 個(gè)個(gè)特特征征值值. .3

19、. 正交替(變) 換法CTC=I即存在正交矩陣P，使得2221122nnyyy正交替換x=Py()TTyP AP y二次型 xTAx第22頁(yè)/共40頁(yè)第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。123121323(,)f x x xx xx xx x110221102211022A解：二次型的矩陣(j zhn)為112211221122IA 21(1)()212311,.2A 得得 的的特特征征值值例1 用正交替換法將二次型化標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形，并寫(xiě)出所作的正交替換.第23頁(yè)/共40頁(yè)第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。(1,1,1)T111(,)333T31.2 - -對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為 ，116211262

20、6,.112211221122IA 111112211122111221 010 110 00特征向量：?jiǎn)挝?dnwi)化：正交單位(dnwi)化：正交矩陣(j zhn)：11132611132612036P正交替換x=Py:11232123313111326111326136xyyyxyyyxyy二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：222123yyy第24頁(yè)/共40頁(yè)第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。四、二次型的規(guī)范(gufn)形2222221212 ()pppryyyyyyrn定義6.1.4 如果一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)(xsh)只是1,-1或0則稱(chēng)這樣的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的規(guī)范形.二次型的規(guī)范(gufn)形的形狀為

21、222123yyy任一二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為規(guī)范形(1)式(r是二次型的秩).且規(guī)范形是由二次型本身唯一確定的，與所作的非退化線性替換無(wú)關(guān). (慣性定理)123121323(,)f x x xx xx xx x如：是二次型的規(guī)范形.定理6.1.5定義6.1.5 在二次型的規(guī)范形中， 正項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱(chēng)為該二次型的正慣性指數(shù)； 負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱(chēng)為該二次型的負(fù)慣性指數(shù)； 它們的差: p-( r-p)稱(chēng)為二次型的符號(hào)差.(1)第25頁(yè)/共40頁(yè)第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。22221234,yyyy例如(lr) 一個(gè)四元二次型的規(guī)范形為則該二次型的秩為4，正慣性(gunxng)指數(shù)為2，負(fù)慣性(gu

22、nxng)指數(shù)為2，符號(hào)差為0.例1 將二次型化為規(guī)范形.222123123(,)24f x x xxxx解：令11233222yxyxyx即1123321212xyxyxy規(guī)范形：222123yyy該二次型的秩 r =3，正慣性指數(shù)p=2,r-p=1，符號(hào)差為1.第26頁(yè)/共40頁(yè)第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。定義(dngy)6.2.1 設(shè)實(shí)二次型12(,)0Tnf x xxx Ax，第二節(jié) 正定(zhn dn)二次型與正定(zhn dn)矩陣一、二次型的分類(lèi)(fn li)12(,),Tnf x xxx AxA為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.若對(duì)于任意的非零向量 x ，都有( 0)0第31頁(yè)/共40頁(yè)第三十一頁(yè)，

23、共40頁(yè)。定理(dngl)6.2.3證： 對(duì)于(duy)A所對(duì)應(yīng)的二次型xTAx，0(1,2, ).iinn階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(j zhn)A正定A的所有特征值都大于零.可經(jīng)過(guò)正交替換 x = Cy,化為標(biāo)準(zhǔn)形：2221122nnyyy其中，12,n 是矩陣A的全部特征值.所以，矩陣A正定二次型xTAx正定(1)標(biāo)準(zhǔn)形(1)中定理6.2.4 對(duì)稱(chēng)矩陣A正定A的一切順序主子式都大于零. 相當(dāng)重要！第32頁(yè)/共40頁(yè)第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。111212122212nnnnnnnaaaaaaAaaa 定義(dngy)6.2.2111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa1212(1),Akkkk

24、nAk由 的第 ， ， ， 行及 ， ， ， 列交叉位置上的元素所構(gòu)成的 階子式稱(chēng)為 的 階順序主子式，.kA記作111,Aa111222122,aaAaa1112133212223313233,aaaAaaaaaan階方陣(fn zhn)第33頁(yè)/共40頁(yè)第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。例如(lr) 121221111A的各階順序(shnx)主子式為11 A21112 A1212211113 A1 010110111 1 第34頁(yè)/共40頁(yè)第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。例3 判別下列二次型是否(sh fu)為正定二次型233222312121321525445),(xxxxxxxxxxxxf 解 二次型的矩陣(j zhn)為522251215A, 051 A52252 A=210,5121522253 A880所以(suy)，A正定，為正定二次型為正定二次型即即),(321xxxf第35頁(yè)/共40頁(yè)第三十五頁(yè)，共40頁(yè)。例4 t 滿足(mnz)什么條件時(shí)，二次型 2221231231 21 323( ,)5224f x x xxxxt x xx xx x是正定(zhn dn)的. 解： 二次型的矩陣(j zhn)為