定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用實用教案

1、1 f(x) 在 x=x0處的邊際(binj)值為f(x0). 0 xx 邊際的經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng) 時, x 改變一個單位, y 改變)(0 xf 個單位 . 邊際成本；邊際收益；邊際利潤第1頁/共29頁第一頁，共30頁。2 定積分定積分(jfn)(jfn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 一、已知邊際一、已知邊際(binj)函數(shù)求總函數(shù)函數(shù)求總函數(shù) 二、資金流的現(xiàn)值和未來值二、資金流的現(xiàn)值和未來值 第六章 第2頁/共29頁第二頁，共30頁。3一、已知邊際(binj)函數(shù)求總函數(shù) 問題(wnt)：已知某邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求該總經(jīng)濟(jì)量. 設(shè)某個經(jīng)濟(jì)函數(shù) u(x)的邊際函數(shù)為 , 則有 )(xu )0()(

2、)(0uxudxxux 于是(ysh) .)()0()(0 xdxxuuxu第3頁/共29頁第三頁，共30頁。42. 已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為 ，x為銷售量，R(0)=0, 則總收益函數(shù)為)x(R x0dx)x(R)x(R1. 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本(chngbn)為 ，x為產(chǎn)量，固定成本(chngbn)為C(0), 則總成本(chngbn)函數(shù)為( )C x 00( )( )( )xC xC x dxC 第4頁/共29頁第四頁，共30頁。53. 設(shè)利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中x為產(chǎn)量， R(x)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若 L(x),R(x),C(x)均可導(dǎo)，則邊際(

3、binj)利潤為： L (x)=R(x)-C(x).因此總利潤為：0d0( )( )( )xL xL xxL 0d0( )( )( )xR xC xxC 第5頁/共29頁第五頁，共30頁。6 例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際(binj)成本函數(shù)為 100143)(2 xxxC 固定成本 C(0) = 1000, 求生產(chǎn) x 個產(chǎn)品(chnpn)的總成本函數(shù) . 解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xxx 第6頁/共29頁第六頁，共30頁。7 例2 已知邊際收益為 , 設(shè)R(0) = 0, 求 收益函數(shù)R(x) . xxR278)( 解 xd

4、xxRxR0)278()0()(.782xx 第7頁/共29頁第七頁，共30頁。8 例3：設(shè)某商品的邊際(binj)收益為( )200100QR Q 199.75 (50)(50)50RR 00( )200100QQQR Q dQdQ ( )R Q (50)9987.5R 21200200QQ (1) 求銷售50個商品時的總收益(shuy)和平均收益(shuy)； (2) 如果已經(jīng)(y jing)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解: (1) 總收益函數(shù):平均收益:第8頁/共29頁第八頁，共30頁。9 例3：設(shè)某商品(shngpn)的邊際收益為( )200100QR

5、Q 198.5 (200)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR19850 (1) 求銷售(xioshu)50個商品時的總收益和平均收益； (2) 如果(rgu)已經(jīng)銷售了100個商品，求再銷售100個商品的總收益和平均收益；解: (2) 總收益為:平均收益:第9頁/共29頁第九頁，共30頁。10 例4：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x臺的邊際(binj)成本為2150( )11C xx 210150ln(1)xxx2( )305R xx ( )C x 201501011xdxx 0(0)( )xCC x dx (萬元/臺)，邊際(binj)收入為 (萬元/臺)

6、. (1) 若不變成本(chngbn)為C(0)=10 (萬元/臺),求總成本(chngbn)函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；(2)當(dāng)產(chǎn)量從40臺增加到80臺時,總成本與總收入的增量;解: (1)總成本為第10頁/共29頁第十頁，共30頁。11 由于(yuy)當(dāng)產(chǎn)量為零時總收入為零,即R(0)=0,于是22129150ln(1)105xxxx0( )(0)( )xR xRR x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )L xR xC x21305xx 總收入為總利潤(lrn)函數(shù)為第11頁/共29頁第十一頁，共30頁。128040(80)(40)( )CCC x dx 143.96

7、240 8040(80)(40)( )RRR x dx （萬元）(2)當(dāng)產(chǎn)量(chnling)從40臺增加到80臺時,總成本的增量為;當(dāng)產(chǎn)量從40臺增加(zngji)到80臺時,總收入的增量為;（萬元）第12頁/共29頁第十二頁，共30頁。13 二、由變化率求總量 例5 某工廠生產(chǎn)某商品, 在時刻 t 的總產(chǎn)量變化率為 (單位/小時). 求由 t = 2 到 t = 4 這兩小時 的總產(chǎn)量 . ttx12100)( 解 總產(chǎn)量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt 例6 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 , 當(dāng) 產(chǎn)量由200增加到300時, 需追加成本為多少?xxC2

8、. 0150)( 解 追加(zhuji)成本dxxC 300200)2 . 0150(30020021 . 0150 xx .10000 第13頁/共29頁第十三頁，共30頁。14 設(shè)有本金A0,年利率為r,則一年后得利息(lx)A0r,本利和為A0A0rA0(1r),n年后所得利息(lx)nA0r,本利和為An=A0+nA0r=A0(1+nr)這就是單利的本利和計算公式假設(shè)(jish)在期初投資一個單位的本金，在每一時期內(nèi)都得到完全相同的利息金額，這種計息方式為單利.三、收益流的現(xiàn)值與未來值第14頁/共29頁第十四頁，共30頁。15 第二年以第一年后的本利和A1為本金,則兩年后的本利和為A2

9、A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此計算,n年后應(yīng)得本利和為AnA0(1r)n這就是(jish)一般復(fù)利的本利和計算公式. 這種計息方式的基本思想(sxing)是：利息收入自動被計入下一期的本金. 就像常說的“利滾利”.三、收益流的現(xiàn)值與未來值第15頁/共29頁第十五頁，共30頁。16 資金周轉(zhuǎn)過程是不斷(bdun)持續(xù)進(jìn)行的, 若一年中分n期計算,年利率仍為r,于是每期利率為r/n ,則一年后的本利和為A1A(1 r/n )n，t年后本利和為AtA(1 r/n )nt ，若采取瞬時結(jié)算法,即隨時生息,隨時計算,也就是n時,得t年后本利和為 這就是連續(xù)復(fù)利公式0lim(1)nttnrAA

10、n 00lim(1) .nrtrtrnrAAen 第16頁/共29頁第十六頁，共30頁。17 因此，在年利率為r的情形下,若采用連續(xù)(linx)復(fù)利，有： （1）已知現(xiàn)值為A0, 則t年后的未來值為AtAert， （2）已知未來(wili)值為At , 則貼現(xiàn)值為A At e-rt期數(shù)趨于無窮大的極限情況(qngkung)下的計息方式，即每時每刻計算復(fù)利的方式稱為連續(xù)復(fù)利.時刻t的一個貨幣單位在時刻0時的價值.第17頁/共29頁第十七頁，共30頁。18 我們(w men)知道, 若以連續(xù)復(fù)利率 r 計息, 一筆 P 元人民幣 從現(xiàn)在起存入銀行, t 年后的價值(將來值) ,t rPeB 若 t

11、 年后得到(d do) B 元人民幣, 則現(xiàn)在需要存入銀行的金 額(現(xiàn)值) .t rBeP 下面先介紹收益流和收益流量(liling)的概念 . 若某公司的收益是連續(xù)地獲得的 , 則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流 . 而收益流對時間的變化率稱為收益流量 . 4、收益流的現(xiàn)值和將來值第18頁/共29頁第十八頁，共30頁。19 收益流量實際上是一種速率 , 一般用 R (t) 表示(biosh) ; 若時間 t 以年為單位 , 收益以元為單位 , 則收益流量的 單位為: 元/年. (時間 t 一般從現(xiàn)在開始計算) . 若 R(t) = b 為常數(shù) , 則稱該收益流具有均勻收益流量. 將

12、來值：現(xiàn)在一定量的資金(zjn)在未來某一時點上的價值現(xiàn)值：將來某一時點的一定(ydng)資金折合成現(xiàn)在的價值， 俗稱“本金” 例如：假設(shè)銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行10000塊,一年以后可得本息10500元. 10500為10000的將來值,而10000為10500的現(xiàn)值 .第19頁/共29頁第十九頁，共30頁。20 和單筆款項一樣 , 收益流的將來值定義為將其存入 銀行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的現(xiàn)值是這 樣一筆款項, 若把它存入可獲息的銀行, 將來從收益流 中獲得(hud)的總收益, 與包括利息在內(nèi)的本利和, 有相同的 價值. 在討論連續(xù)(linx)收益流時, 為簡單起見,

13、假設(shè)以連續(xù)(linx)復(fù)利 率 r 計息 . 第20頁/共29頁第二十頁，共30頁。21 若有一筆收益流的收益流量(liling)為 R(t) (元/年) , 下面計 算其現(xiàn)值及將來值 . 考慮從現(xiàn)在(xinzi)開始(t = 0)到 T 年后這一時間段 . 利用元 素法, 在區(qū)間 0 , T 內(nèi), 任取一小區(qū)間 t , t + dt , 在該小 區(qū)間內(nèi)將 R (t) 近似看作常數(shù) , 則應(yīng)獲得的金額近似等 于 R (t) dt (元) . 從現(xiàn)在( t = 0 )算起, R (t) dt 這一金額(jn )是在 t 年后的將 來而獲得, 因此在 t , t + dt 內(nèi), 從而，總現(xiàn)值為00

14、( )TrtRR t edt 收益的現(xiàn)值( )rtR t edt 第21頁/共29頁第二十一頁，共30頁。22 在計算將來值時, 收入(shur) R(t) dt 在以后的( T t )年內(nèi)獲 息, 故在 t , t + dt 內(nèi) 例8 假設(shè)(jish)以年連續(xù)復(fù)利率 r = 0.1 計息 (1) 求收益(shuy)流量為100元/年的收益(shuy)流在20年期間的現(xiàn) 值和將來值; (2) 將來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何? 解釋這一關(guān)系 . 解 (1) 從而，將來值為()0( )Tr TtTRR t edt 收益流的將來值()( )r TtR t edt 第22頁/共29頁第二十二頁，共30頁。23

15、dtet1 . 0200100 現(xiàn)值現(xiàn)值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1 . 0200100 將來值將來值dteet1 . 02200100 . )(06.6389)1(100022元元 ee (2) 顯然(xinrn) ,2e 現(xiàn)值現(xiàn)值將來值將來值 若在 t = 0 時刻以現(xiàn)值 作為一筆款項存 入銀行, 以年連續(xù)復(fù)利率 r = 0.1計息, 則20年中這筆單 獨款項的將來值為 )1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而這正好是上述收益(shuy)流在20年期間的將來值 . 第23頁/共29頁第二十三頁，共30頁。24例9 某

16、公司投資(tu z)100萬元建成1條生產(chǎn)線，并于1年后取得經(jīng)濟(jì)效益，年收入為30萬元，設(shè)銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投資(tu z) Ttt01 . 0100de30解 設(shè)T年后可收回投資，投資回收期應(yīng)是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時間(shjin)長度，因此有 100)e1(301 . 0 T即解得T=4.055，即在投資(tu z)后的4.055年內(nèi)可收回投資(tu z)第24頁/共29頁第二十四頁，共30頁。25 一般來說, 以年連續(xù)復(fù)利率 r 計息, 則在從現(xiàn)在起到 T 年后該收益流的將來值等于將該收益流的現(xiàn)值作為 單筆款項(kunxing)存入銀行 T 年后的將來值.

17、例1 設(shè)有一項計劃現(xiàn)在( t = 0 )需要投入 1000 萬元, 在 10 年中每年收益為 200 萬元. 若連續(xù)利率為 5%, 求 收益資本價值W. (設(shè)購置的設(shè)備(shbi)10年后完全失去價值) 解資本價值 = 收益(shuy)流的現(xiàn)值 投入資金的現(xiàn)值 100020010005. 0 dteWt100005. 020010005. 0 te1000)1(40005 . 0 e. )(88.573萬元萬元 第25頁/共29頁第二十五頁，共30頁。26 例2 某企業(yè)一項為期10年的投資(tu z)需購置成本80萬元, 每年的收益流量為10萬元, 求內(nèi)部利率 (注: 內(nèi)部利率 是使收益價值等

18、于成本的利率) . 解由收益流的現(xiàn)值等于(dngy)成本, 得 1001080dtet 10010 te , )1(1010 e 可用近似計算得 .04. 0 第26頁/共29頁第二十六頁，共30頁。27), 2 , 1()1 (0 trAAtt 設(shè)有一筆數(shù)量為A0元的資金存入銀行，若年利率為r，按復(fù)利方式每年計息一次，則該筆資金t年后的本利和為1.連續(xù)(linx)復(fù)利概念), 2 , 1()1(0* tnrAAntt如果每年分n次計息，每期利率為r/n，則t年后的本利和為rnnnre1lim 當(dāng)n無限增大時，由于，故三、收益(shuy)流的現(xiàn)值與未來值第27頁/共29頁第二十七頁，共30頁。28rtntntnAnrAAe1limlim00* rttAA e0稱為t年末(nin m)的A t元的資金在連續(xù)復(fù)利方式下折算為現(xiàn)值的計算公式rttAAe 0 稱稱公公式式為A0元的現(xiàn)值(即現(xiàn)在價值)在連續(xù)復(fù)利方式下折 算為t年后的未來(wili)值(將來價值)的計算公式建立(jinl)資金的