定積分應用實用教案

1、 定定積積分分的的元元素素法法 , )1(baxxx 任任取取xxfIId)(d )2( babaxxfIId)(d )3( 物物理理應應用用 液液體體的的靜靜壓壓力力變變力力作作功功引力引力一一 復習復習(fx)(fx)第1頁/共36頁第一頁，共37頁。 幾幾何何應應用用,(直角直角平平面面曲曲線線的的弧弧長長體體積積旋旋轉轉體體的的側側面面積積積積截截面面面面積積已已知知立立體體的的體體旋旋轉轉體體體體積積 平平面面圖圖形形的的面面積積 )極極坐坐標標,參參數(shù)數(shù),(直角直角)極極坐坐標標,參參數(shù)數(shù)第2頁/共36頁第二頁，共37頁。1 1、定積分應用、定積分應用(yngyng)(yngyng

2、)的常用公式的常用公式(1) 平面(pngmin)圖形的面積 baxxfAd)( baxxfxfAd)()(12直角坐標(zh jio zu bio)情形)(xfy Aab)(1xfy )(2xfy Aab返回返回第3頁/共36頁第三頁，共37頁。若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)(cnsh)方程 )()(tytx 曲邊梯形(txng)的面積 21d)()(tttttA 參數(shù)方程(fngchng)所表示的函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，具有連續(xù)導數(shù)，上上在在)( 2, 1txtt .)( 連續(xù)連續(xù)ty . 21ttt 其中其中返回返回第4頁/共36頁第四頁，共37頁。 d)(212Axo d )( r xo)(2 r)

3、(1 r d)()(212122A極坐標情形(qng xing)返回返回(fnhu)第5頁/共36頁第五頁，共37頁。(2) 體積(tj)xxfVbad)(2 yyVdcd)(2 )(xfy baxxd Oxyx)(yx Oxycd返回返回(fnhu)第6頁/共36頁第六頁，共37頁。 baxxAVd)(平行(pngxng)截面面積為已知的立體的體積a xbxxd xOx)(xA返回返回(fnhu)第7頁/共36頁第七頁，共37頁。(3) 平面曲線的弧長弧長xysbad12 A曲線(qxin)弧為 )()(tytx )( t弧長tttsd)()(22 )(xfy B曲線(qxin)弧為,)()

4、,(上具有連續(xù)導數(shù)上具有連續(xù)導數(shù)在在其中其中 ttxoyabxxxd yd)(xfy xd返回返回(fnhu)第8頁/共36頁第八頁，共37頁。C曲線(qxin)弧為)( )( rr 弧長 d)()(22 rrs(4) 旋轉體的側面積(min j)xxxd xyo)(xfy , 0)( xfy baxxfxfSd)(1)( 22 側側bxa 返回返回(fnhu)第9頁/共36頁第九頁，共37頁。2.2.定積分定積分(jfn)(jfn)在物理中的應在物理中的應用用(1) 變力沿直線(zhxin)做功(2) 水壓力(yl)xxFwd)(d 微功xxFWbad)( 功xxgxApd)(d 微壓力xx

5、gxAPbad)( 壓力返回返回第10頁/共36頁第十頁，共37頁。二、典型二、典型(dinxng)例題例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體體積體體積它繞軸旋轉而成的旋轉它繞軸旋轉而成的旋轉它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx第11頁/共36頁第十一頁，共37頁。解解.10A設面積為設面積為由對稱性,有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4 dtttata 20642sinsin12 dttta.832a .20L設弧長為設弧長為由對稱性,有 2022)()(4 dtyxL 20sincos34 td

6、tta.6a 第12頁/共36頁第十二頁，共37頁。. 30V設旋轉體的體積為設旋轉體的體積為 adxyV022 02262)sin(cos3sin2 dtttata 20273)sin1(sin6 dttta.105323a 第13頁/共36頁第十三頁，共37頁。. 1)3()2()1( xyx繞繞直直線線軸軸；繞繞軸軸；繞繞:) 1 (軸旋轉生成的立體體積繞 x解(1)(1)dxyydV)(22下下上上 dxxx)(6 106)(dxxxV 145 例2 2求由 所圍平面圖形繞下32xyxy 和和列直線旋轉一周產生的旋轉體的體積. .第14頁/共36頁第十四頁，共37頁。dyxxdV)(2

7、2左左右右 dyyy)(432 10432)(dyyyV 0153/55153 yy 52 軸軸旋旋轉轉生生成成的的立立體體體體積積繞繞 y )2(32xyxy 和和第15頁/共36頁第十五頁，共37頁。:1)3(旋旋轉轉生生成成的的立立體體體體積積直直線線繞繞 x13/11yr 外外21yr 內內32xyxy 和和dyrrdV)(22內內外外 dyyy)1()1(2223/1 第16頁/共36頁第十六頁，共37頁。dyrrdV)(22內內外外 dyyy)1()1(2223/1 dyyyyy)22(423/23/1 10423/23/1)22(dyyyyyV 10533/53/45132532

8、3 yyyy 3037 第17頁/共36頁第十七頁，共37頁。例例3 3解 abdxxfdxxf)()( 要證：要證：)(xfy Aab tabtdxxfdxxftF)()()(上連續(xù)上連續(xù)在在,)(batF構造輔助(fzh)函數(shù)：.),(:, ),0)()( 將曲邊梯形的面積平分將曲邊梯形的面積平分存在直線存在直線求證求證圍成圍成軸與直線軸與直線線線設曲邊梯形是由連續(xù)曲設曲邊梯形是由連續(xù)曲baxbxaxxxfxfy 第18頁/共36頁第十八頁，共37頁。)(xfy Aab由零點(ln din)定理: tabtdxxfdxxftF)()()(上連續(xù)上連續(xù)在在,)(batF aabadxxfdx

9、xfaF)()()(0 0)()()( babbdxxfdxxfbF輔助(fzh)函數(shù)0)(),( Fba使使第19頁/共36頁第十九頁，共37頁。軸所圍圖形軸所圍圖形與與，求由求由xxxxy211 . 1 . 3 . 232的長度的長度求曲線求曲線 xdtty3.3.設有曲線 1 xy(1)(1)求曲線(qxin)(qxin)過原點的切線； 三、練習題三、練習題.積積軸旋轉形成的旋轉體體軸旋轉形成的旋轉體體繞繞 x第20頁/共36頁第二十頁，共37頁。(2)(2)求由曲線、曲線過原點的切線與 軸所圍成的平面圖形的面積； x(3)(3)求(2)(2)中平面圖形繞 軸旋轉所產生的旋轉體體積. .

10、 xD4. 4. 設是XOY平面上由曲線 xy42 和直線 xy2 所圍成的區(qū)域, ,試求: : (1) (1) 的面積; ; D(2)(2)繞 軸旋轉所成的旋轉體體積. . x第21頁/共36頁第二十一頁，共37頁。).0 , 3(),0 , 1( . 5BAx軸上兩點軸上兩點已知一拋物線通過已知一拋物線通過物線所圍圖形的面積物線所圍圖形的面積試證：兩坐標軸與該拋試證：兩坐標軸與該拋.的面積的面積軸與該拋物線所圍圖形軸與該拋物線所圍圖形等于等于x),2(pp的一段曲線弧長. .6.6.求拋物線pxy22 )0( p)0,0(自點至點7. 7. 求曲線 ,sin ar )0()sin(cos

11、aar 所圍圖形公共部分的面積。 第22頁/共36頁第二十二頁，共37頁。8. 8. 如圖所示, , ,21SSS 問t取何值時,S取得(qd)最大( (小) )值. .3xy 2S1SOxyt 19. 有一立體(lt)，以拋物線, 所圍成的圖形為底所圍成的圖形為底都是等邊三角形,求其體積(tj).垂直于拋物線軸的截面2 22 xxy與直線與直線第23頁/共36頁第二十三頁，共37頁。21 1. 121212 xdxxVx返回(fnhu)解答解答(jid) ,3,3 ,3, 3. 22 xytt的定義域的定義域函數(shù)函數(shù)按定義按定義 ,3,3,32 xxyxxy1 1 12 2y第24頁/共36

12、頁第二十四頁，共37頁。返回(fnhu) ,3,3,32 xxydxxdxxdxyS 30233233242 4 1.343)2arcsin2442(2302 xxx第25頁/共36頁第二十五頁，共37頁。121)1( xy3 解：設切點(qidin)(qidin)坐標為 )1,(00 xx則切線(qixin)(qixin)方程為 121000 xxxxy由于切線(qixin)(qixin)過原點，所以 00000)1(2121xxxxx ，解得切點為 ),1 , 2(所以切線方程為 2xy 返回1 xy12yx第26頁/共36頁第二十六頁，共37頁。（2 2）所求圖形(txng)(txng)

13、的面積 102)21(dyyyS313)1(103 y（3 3）所求旋轉體體積(tj) (tj) 21)1(32dxxV 6232 返回(fnhu)第27頁/共36頁第二十七頁，共37頁。返回(fnhu)4 4 （1 1）求面積(min j)(min j)dxxxA)22(10 31)34(10223 xx（2 2）求體積(tj)(tj)dxxxdxV 10102)2(4 32)44(102 dxxx第28頁/共36頁第二十八頁，共37頁。返回(fnhu)設該拋物線方程為設該拋物線方程為. 5)3)(1( xxay).30(, 0aya，交點為交點為軸的軸的則拋物線與則拋物線與不妨設不妨設 a

14、3的面積為：的面積為：圍圖形圍圖形兩坐標軸與該拋物線所兩坐標軸與該拋物線所1A 101)3)(1(dxxxaAdxxxa)34(102 a34 2AxyO OAB第29頁/共36頁第二十九頁，共37頁。返回(fnhu)的面積為：的面積為：軸與該拋物線所圍圖形軸與該拋物線所圍圖形x dxxxaA 312 )3)(1(0a34 21AA 所以，所以， dxxxa 34312 aA341 a31A2AxyO OAB第30頁/共36頁第三十頁，共37頁。)21ln(22 p6.6.拋物線pxy22 可寫為：可寫為：)0( ppyx22 pyx 所以(suy),(suy),所求曲線弧長為: :dypys

15、p 02)(1dyyppp 0221返回(fnhu)pypypypyp022222)ln(221 第31頁/共36頁第三十一頁，共37頁。7.7.解: :),0 , 0()2,( a所求面積(min j)(min j)為 返回(fnhu) dadaS 43222202)sin(cos21)sin(21241a 兩曲線(qxin)(qxin)交點為 第32頁/共36頁第三十二頁，共37頁。4033143 )(. 8tdxxtSt 返回(fnhu)4143 )(341332 ttdxtxSt4146)(3421 ttSStS3xy 2S1SOxyt 1第33頁/共36頁第三十三頁，共37頁。036)( 23 tttS令令210 tt，得駐點：得駐點：,41)0( S又又,9121 S21)1( S因此, ,當 1 tS時時，取得最大值, , S取得最小值. . 返回(fnhu)時時21 t當?shù)?4頁/共36頁第三十四頁，共37頁。. 9如圖建立坐標系如圖建立坐標系xyO2x , 20 x內任取一點內任取一點，在在軸的截面為軸的截面為處垂直于處垂直于在點在點xx為邊長的等邊三角形，為邊長的等邊三角形，以以x22xxxxA3222232221)( 其面積為其面積為xdxdxxAV 202032)( 所求體積為所求體積為34 返回(fnhu)第35頁/共36頁第三十五頁，共37頁