隨機過程試題及解答(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2016隨機過程（A）解答1、（15分）設(shè)隨機過程，是相互獨立服從正態(tài)分布的隨機變量。1) 求的一維概率密度函數(shù)；2) 求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3) 求的二維概率密度函數(shù)；解：由于，是相互獨立服從正態(tài)分布的隨機變量，所以也服從正態(tài)分布，且： 故： (1) 的一維概率密度函數(shù)為： (2) 的均值函數(shù)為：；相關(guān)函數(shù)為： 協(xié)方差函數(shù)為：（3） 相關(guān)系數(shù)：的二維概率密度函數(shù)為：2、（12分）某商店8時開始營業(yè)，在8時顧客平均到達率為每小時4人，在12時顧客的平均到達率線性增長到最高峰每小時80人，從12時到15時顧客平均到達率維持不變?yōu)槊啃r80人。問在10:00

2、14:00之間無顧客到達商店的概率是多少？在10:0014:00之間到達商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差是多少？解：到達商店顧客數(shù)服從非齊次泊松過程。將8時至15時平移到07時，則顧客的到達速率函數(shù)為：在10:0014:00之間到達商店顧客數(shù)服從泊松分布，其均值：在10:0014:00之間無顧客到達商店的概率為：在10:0014:00之間到達商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差相等，均為：3、（13分）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個泊松過程，平均每周有8戶定居，如果一戶4人的概率為0.2，如果一戶3人的概率為0.3，一戶2人的概率為0.3，一戶1人的概率為0.2，并且每戶的人口數(shù)是相互獨立的隨機變量，求在8周

3、內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解：已知移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個強度的泊松過程，第戶的人口數(shù)是相互獨立同分布的隨機變量，在周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)：是一個復(fù)合泊松過程，的分布為：由公式：可得在5周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差為：4、（15分）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1） 求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。（2） 求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)零時刻初始分布為：時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對分布。解：（1）此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布滿足：解得：故平穩(wěn)分布各狀態(tài)的平均返回時間：（1）已知初始分布：，所以經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對分布為：5、（10分）假定在路口

4、只有紅、綠燈（沒有黃燈），開車時這個路口如果紅燈則下個路口仍紅燈的概率為0.1，而如果這個路口綠燈則下個路口仍綠燈的概率為0.6，試求路口遇紅燈的極限概率，以及紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時間。解：設(shè)紅燈為狀態(tài)1，綠燈為狀態(tài)2，可以求出其轉(zhuǎn)移概率矩陣為：此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布滿足：解得：故平穩(wěn)分布路口遇紅燈的極限概率為紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時間：6、（15分）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1）試對狀態(tài)進行分類，并說明各狀態(tài)的類型；（2）求各常返閉集的平穩(wěn)分布，及各狀態(tài)的平均返回時間。解：馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間可以分解為和的并。其中為非常返狀態(tài)；為不可約、非

5、周期、正常返閉集，從而存在平穩(wěn)分布。對于，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：，其平穩(wěn)分布滿足：解得：故的平穩(wěn)分布各常返狀態(tài)的平均返回時間：7、（10分）一質(zhì)點在1，2，3點上作隨機游動。若在時刻質(zhì)點位于這三個點之一，則在內(nèi)，它都以概率 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點之一。試求質(zhì)點隨機游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。解：質(zhì)點隨機游動t時刻的位置是一個馬爾科夫過程，其狀態(tài)空間：，矩陣元素為： ，（其中約定狀態(tài)：0=3，4=1）即： 柯爾莫哥洛夫向前微分方程為：由于：得到：解此一階線性微分方程得：，C為待定常數(shù)。又因：故轉(zhuǎn)移概率為：平穩(wěn)分布為：8、（10分）設(shè)隨機過程，其中是服從區(qū)間上的均勻分布的隨機變量。試回答：是否為（寬）