第三章條件概率與條件期望

1、A學E R s I T丄YdA漢第三章 條件概率與條件期望為什么要研究條件概率與期望在解決現(xiàn)實問題時，常常需要計算在 部分信息已知時的概率和期望條件概率和條件期望本身是計算概率 和期望的有效方法本章主要內(nèi)容離散隨機變量的條件概率與條件期望連續(xù)隨機變量的條件概率與條件期望條件概率與條件期望的作用女學第一節(jié)離散隨機變量的條件概率與條件期望如果X和Y是離散隨機變量，在Y=y給定的條件下，X的條件概率密度函數(shù)定艾為：Pxiy(xI y) = PX = x| Y = y=PX = %Y二 yPY=yp(%y)pY(y)在Y=y給定的條件下，X的條件分布密度函 數(shù)定義為:Fxiy(x | y) = PX

2、W x | Y 二 y二工 px,Y(a | y)a<x2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20125女學在Y=y的條件下，X的條件期望定義為：EX|Y=y = xPX = x|Y=y = xpx|Y(x|y)XX前面所有f特別地，如果X和Y獨立，那么, 的定義和無條件時的一樣。例3.1假定X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(x,y)為： p(l，l)=05, p(l,2)=0l, p(2,l)=0l, p(2,2)=03 計算在Y=1給定的條件下X的條件概率密度函 數(shù)。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012WUHAN UNI

3、VERSITY例3.2有n個零件，零件i在雨天運轉(zhuǎn)的概率為pi, 在非雨天運轉(zhuǎn)的概率為qi, i=l,2, ,n<明天下雨的概率為oc。計算在明天下雨時, 運轉(zhuǎn)的零件數(shù)的條件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學E R s I T丄Yd第二節(jié)連續(xù)隨機變量的條件概率與條件期望定義為：g)=ff驚) X和Y是連續(xù)隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為 f（x，y）,那么在Y=y時X的條件概率密度函數(shù)給定Y=y時X的條件期望定義為:EX|Y=y=Lxfx|Y(x|y)dx2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,201211A漢A

4、學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd例3.3假定X和Y有聯(lián)合密度f (淫 y)=6 號(2 -x- y),0 <x<l,O<y<l0,其他對于0<y<l,計算給定Y=y時X的條件期望。2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd2012/3/2Copyright©Pei Zha

5、ng ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd例3.4 X和Y的聯(lián)合密度為ye_xy?0 < x<oo?0 < y <2 f(x, y) = p0,其他求 Eex/2|Y = 12012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學第三節(jié)條件概率與條件期望的應用一、通過取條件期望計算期望對于任何的隨機變量X和Y,條件期望的重 要性質(zhì)：EX = EEX|Y注意：EX|Y本身是一個隨機變量，是隨機變量Y的 函數(shù)，在Y=y處取值是EX|Y=y2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄

6、Yd歷史書中的印刷錯誤數(shù)服從均值為5的例3.5假設我們正在讀一本概率書和一本歷史 書，在讀的一章概率書中的印刷錯誤數(shù) 服從均值為2的泊松分布，在讀的一章泊松分布，假定我們等可能地選取概率 書或歷史書，那么遇到的印刷錯誤數(shù)的 期望是多少？例3.6 （幾何分布的均值）連續(xù)拋擲一枚正面出現(xiàn)的概率為P的硬 幣直至出現(xiàn)正面為止，問需要拋擲的 次數(shù)的期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012例3.7某礦工身陷在有三個門的礦井之中，經(jīng) 第1個門的通道行進2小時后，他將到達 安全地。經(jīng)第二個門的通道前進3小時 后，他將回到原地。經(jīng)過第三個門的通 道前進5小時后，他

7、還是回到原地。假 定這個礦工每次都等可能地選取任意一 個門，問直到他到達安全地所需時間的 期望是多少？2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012#A漢A學E R s I T丄Yd二、通過取條件期望計算方差方差的計算公式為：Var(X) = EX2-(EX)2用取條件期望分別計算兩個期望值2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012A漢A學E R s I T丄Yd例3.8連續(xù)地做每次成功率為p的獨立試驗。N 是首次成功時的試驗次數(shù)，求Var (N)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012女學20

8、12/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012 E是一個事件,X二由X的定義推出:三、通過取條件期望計算概率定義示性隨機變量X為:1,若E發(fā)生0,若E不發(fā)生EX=P(E)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,20122012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012EX|Y=y=P(E|Y=y)2012/3/2Copyright©Pei Zhang ,2012&岳4丸祐氏：、Mp(E-YHy)p(YHy)y 誡箱M聲3P(E)JLy7+8P (E_Y"y) fY(y)dx 謝爺ffiBsyJ82012/32Copyright©Pei Zhang -2012例3.9保險公司假定參保人每年發(fā)生事故數(shù)是 均值依賴于參保人的泊松隨機變量，假 定一個隨機選取的參保人的泊松均值具 有密度函數(shù)為：g(2) = -2>0的伽馬分布。問一個隨機選取的參保人明 年恰有n次事故的概率是多少？四、其他應用例3.10 （列表模型）考慮n個元素el,., e