2004～2005學(xué)年第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》期末考試試題B卷及答案(216學(xué)時)

1、x 2 y 2 z 22 x 2 y 2.21 2 2004 2005 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題 b 卷（216 學(xué)時）專業(yè)班級學(xué)號姓名一、填空題（每小題 4 分）1、設(shè)函數(shù) f (x, y) 連續(xù)，且 f (x, y) xy f (x, y)dxdy 15x 2 y 2 ，則f (x, y) 。2設(shè)n 是曲面 xyz x y 1 在點p(1,0, 1) 處指向外側(cè)的法向量，則u ln(x 2 y 2 z 2 ) 在p 點處沿n 方向的方向?qū)?shù)為。3平面lx my nz p 與二次曲面ax 2 by 2 cz 2 1 相切的條件為：x, 0 x 1 a 4設(shè)f (x) 2 ， s (x

2、) 0 a cos n x ，x ，其中2 2x,1 x 1 2 n 1 a 2f (x) cos n xdx ，n 0,1,2, ，則s 5 。n 0 5微分方程y 3y 2 y 2ex 滿足lim y(x) 1的特解為。x0 x二、計算下列各題（每小題 7 分）2 f 1、設(shè)函數(shù)z f (x, y) ，有y 2 2 ，且f (x, 0) 1 ，f y (x, 0) x ，求f (x, y) 。1 2、計算i xf (x)dx ，其中f (x) 0 x2 sin t 1 tdt 。x y 4 xy3計算 i dxydxdy ，其中d 是由曲線2 3 在第一象限中所圍成的區(qū)域。6 4、計算i

3、e lx2y 2ds其中l(wèi) 為由圓周x 2 y 2 a 2 及直線y x 和y 0 在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域的邊界。5 .設(shè)球體x 2 y 2 z 2 2x 上各點的密度等于該點到坐標(biāo)原點的距離，求這球體的質(zhì)量。3 1y 3 1y 3 6 .求流速場v x i zf yz j yf zz k 流過曲面的流量，其中f (u) 具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，為x 2 y 2 z 2 1，x 2 y 2 z 2 4 與z 所圍成的立體表面的內(nèi)側(cè)。n x 三 、 （12 分） 函數(shù)f (x, y) 3 x2 y 在點(0, 0) 處（1）是否連續(xù)？（ 2）偏導(dǎo)數(shù)是否存在？（3）是否可微？均說明理由。四 、（6

4、分）設(shè),都具有連續(xù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)，1 1 y ax 2 z 2 2 z z 2 ( y ax) ( y ax) 2a y ax (t)dt ，試求 x 2 a y 2 。五、 （7 分）設(shè)有微分方程yp(x) yx 2 ， 其中：p(x) 1 x 1 。 試求在區(qū)間(,) 1x 1 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y y(x) ，使之在區(qū)間(,1) 和(1,) 內(nèi)都滿足所給微分方程，且滿足條件y(0) 2 。六 、（7 分）證明：xf ( y)dy y dx 2 f x其中為圓周曲線(x a)2 ( y a)2 1 (a 0) 正向。七 、 （6 分） 試證：連續(xù)曲線y f (x) 上點p 與原點o 的線段op

5、 的長為極大或極小時，op 為在點 p 處 y f (x) 的法線。22 0 2 6 2004 2005 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題 b 卷答案一、填空題（每小題 4 分）1 2 2 l 2 m2 n2 2 3 1、 f (x, y) xy 15x 3 y ;2 、 1;3 、a p b c ;4 、; 4 5、y 3ex 3e2 x 2xex 。2 f f 二、1、解應(yīng)選 b。由y 2f 2 ，則y 2 y (x) ；又f y (x, 0) x ，故(x) x ，2 對y 2 y x 兩邊對 y 積分，有 f (x, y) y 故f (x, y) y 2 xy 1。xy (x) ；由f

6、 (x,0) 1，有(x) 1，2、方法 1 直接計算i 1 xf (x)dx 1 1 f (x)dx 2 1 x 2 f (x) 1 1 1 x 2 df (x) 0 1 1 1 2 1 2 2 2 0 2 1 1 222 0 0sin x 2x 2 f (1) x f (x)dx 0 f (1) x 0 2xdx 1 f (1) 1 1 2x sin x 2 dx 1 cos x 2 1 1 (cos1 1) 2 2 0 2 0 2 方法 2 交換積分次序i xdx0 x2 sin t 1 tdt 0 1 xdx x sin t t dt 。由上述積分可知，由上曲線t 1，下曲線t x 2

7、 和左直線x 0 右直線x 1所圍成的積分區(qū)域為d （如圖 8-14 所示） ，交換積分次序，得i x sin t dtdx 1 sin tdt t xdx 1 1 x 2t sin t dtd t 0 t 02 0 0 t 1 1 sintdt 1 (cos1 1) 2 0 2 x y 4 xy3、解：是一個四次方程，要解出x 或y 相當(dāng)困難。因此不宜在直角坐標(biāo)系中計算，為此，令x 2cos2 ，y 3sin 2 ，則曲線方程變?yōu)? sin 2 cos2 ，又因所研究的是曲線在第一象限中所圍成的區(qū)域，令 0 ，得 0 ，且2 (x, y) 2 cos2 sin cos ，j 4cos sin

8、 12 sincos ，故(u, v) 3sin 2 6sin cossin cosi dj d d2 d12 6 sin 2 cos2 2 d15 4、解：設(shè) l1： y 0(0 x a)ds 1 02 dx dx ；l2： y x(0 x a), ds 2 1 12 dx 2dx ；62 sin 2 cos2 6 2 3 1 1 0 x 2 y23 x 2 y3 x 2 y x 2 y 22 0 2 1 l3：x a cos t, y a sin t,0 t , ds 4 dt adt e x2 y 2 ds e l l1a x2 y 2 ds e l22 ax2 y 2 ds e l3x

9、2y 2ds2 a 0ex dx 20 e 2x 2dx 4 ea adt ex0 a e 2x 20 aea4 ea 1ea 1aea 1 ea (8 a) 2 4 4 5、解：密度函數(shù)為： f (x, y, z) 則球體的質(zhì)量為： m x 2 y 2 z 2 dxdydz 應(yīng)用球面坐標(biāo)得：x2y 2z 22 x m x 2 y 2 z 2 dxdydz 2 d0 d2sincosr 3 sin dr 8 0 x2y 2z 22 x 2 56、解：為求流量，由高斯公式有： v dsv ds 3x z2f y 3y 2 1z z 2f y 3 zz2 dv3(xy 2z 2)dv 球面坐標(biāo)23

10、 0d40sin d14 d93 (5 2)流量為負(fù)值表示流入量小于流出量。7、解： f (1) f (1, f (1,1) f (1,1) 1 f (x) f1f2 f1f2 f (1) a ba b a ab b2三、解：函數(shù)f (x, y) 在整個平面上有定義，且f (0,0) 0 。又lim ( x, y )(0,0) f (x, y) lim ( x, y )(0,0) lim ( x, y )(0,0) 0 f (0, 0) 所以f (x, y) 在點(0,0) 處連續(xù)， 又因 f (x, 0) f (0, y) 0 ，x r, y r ，于是f x(x, 0) 0 ，f y(0,

11、 y) 0 ，特別在點(0, 0) 處有f x(0, 0) f y(0, 0) 0 ，利用已經(jīng)求出的f (x, y) 在點(0, 0) 處的兩個偏導(dǎo)數(shù)f x(0, 0) 和f y(0, 0) 知，f (x, y) 在點(0, 0) 處可微的充分必要條件是：f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0)x f y(0, 0)y lim (x,y )(0,0) lim 0 ( x , y )(0,0) 1 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)y x 0 時，。這表明上述極限不是零，故函數(shù)f (x, y) 3 x2 y 在點(0, 0) 處不可微。四、解：z a ( y ax) ( y ax) 1 ( y ax)

12、( y ax)，x 2 2 ( a sin t)2 (a cos t)2x 2 y 2 z 22 3 x 2 3 yx 2 y 2內(nèi)外22x1x43 f (x) 3 2 z a 2 a x 2 2 ( y ax) ( y ax) ( y 2 ax) ( y ax) ，z 1 ( y ax) ( y ax) 1 ( y ax) ( y ax)，y 2 2a 2 z 1 1 2 z 故x 2y 2a2 2 2 z y 2( y 0 。ax) ( y ax) ( y 2a ax) ( y ax)，五、解：由于方程中系數(shù)p(x) 是分段函數(shù)，因而一般應(yīng)分段求解。注意到p(x) 雖然是分段函數(shù)，但它在(

13、,) 內(nèi)連續(xù)，因而存在原函數(shù)，于是，在求出p(x) 的一個原函數(shù)后，可按照一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)解法求解。首先在區(qū)間,1上求解初值問題：yp(x) yx 2,x 1 yy x 2 ,x 1 y(0) 2 ，即，y(0) 2 不難得到方程的通解是y cex x 2 2x 2 ，x 1。利用初始條件y(0) 2 可確定c 0 ，從而所求的解為：y x 2 2x 2 ，x 1。接著在區(qū)間(1,) 上求解方程：yp(x) y x 2 , x 1 ，即y 1y x 2 ，x 1，不難得到方程的通解是y c x3x x 4 c x3x 1。為了得到符合題目要求的函數(shù)y y(x) ，只需取c 使得函數(shù)y x

14、 在x 1處4 與函數(shù) y x 22x 2 連接起來，即：limx3 (x 2 2x 2) x 1 1 ，可得c 4 ，x 2 2x 2, x 1 也就是說分段函數(shù)： y 1 34 xx , x 1 是符合題目要求的函數(shù)。六、解：設(shè) p y f (x) , q xf ( y), qx py f ( y) 1 f (x) 依格林公式得，y 1 i xf ( y)dy f (x) dx f ( y) f (x) dxdy 又f y dxdy d d d f ( x)dxdy 故 i f x1 dxdy df (x) f (x) 是正值的連續(xù)函數(shù)f (x) 1 2 f (x)dxdy da 1 a

15、1 a 1 f (x) 2 1 (x a)2dy a 1 a 1 2 f ( y) 1 ( y a)2dy a 1 f ( y) 2 1 ( y a)2dy a 1 ( y a)2a 1a 1 f (y)a 1 ( ya)2d xd ya 1a 1 ( y a)2a 1 a 1 ( ya)2f (y ) d x d y注 f y dxdy dc，fy于是， i f (x) 1 dxdy 2dxdy 2 df (x) d即xf ( y)dy y dx 2 f x七、證設(shè)由方程y f (x) 所確定的曲線為。如果上的一點為p(x, y) ，求距離函數(shù)op 2 x 2 y 2 在條件f (x) y 下的極值。作輔助函數(shù)f (x, y) x 2 y 2 ( y f