高考數(shù)學(xué)解答題解題策略

1、 數(shù)學(xué)解答題的解題策略 解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個(gè)檔次，低檔題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法與技能，中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力及分析問題和解決問題的能力 基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）已知，求函數(shù)的最小值思路點(diǎn)撥：，而與有聯(lián)系，可設(shè)，則原來的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值問題 （2) x、y滿足條件，求y3x的最大值與最小值思路點(diǎn)撥：此題令b=y3x，即y=3x+b，視b為直線y=3x+b的截距，而直線與橢圓必須有公共點(diǎn)，故相切，b有最值 （3)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍思路點(diǎn)撥：此問題

2、由于是常見的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個(gè)角度，以m為變量，使，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）的值在-2，2內(nèi)恒負(fù)時(shí)，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件 典型例題 （一）以退為進(jìn)策略 1、由整體向局部退 某些問題，可以退到構(gòu)成這一整體內(nèi)容的部分上，用帶有整體特征的部分來處理問題，解題思路便會(huì)豁然開朗例1、在銳角中，求證：【解析】，即，由于在上是單調(diào)遞減的，同理可證：上述三式相加，得：【題后反思】 本題由整體退向局部，由一個(gè)角的三角函數(shù)或兩個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系式入手，進(jìn)行研究，解出部分證明了整體2、由巧法向通法退 巧法的思維起點(diǎn)高，技巧性也強(qiáng)，有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn)，而巧法本身的思路難

3、尋，方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達(dá)流暢，通俗易懂的特點(diǎn)例2、已知，求的取值范圍【解析】由，得， ，從而得【題后反思】 本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目，求解時(shí)常常出錯(cuò)，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之一消元法上來，則解法通俗、思路清晰（二）合理轉(zhuǎn)化策略 轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時(shí)思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化成另一種情況，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維模式，轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡(jiǎn)單、容易、熟知，達(dá)到解決問題的有利境地，通向問題解決之策 1

4、、常量轉(zhuǎn)化為變量 有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化，使求解更容易例3、設(shè)，求證：【解析】令，則有，若，則成立；若，則，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，由韋達(dá)定理，即，又，【題后反思】 把變量變?yōu)槌Ａ?，也就是從一般到特殊，是我們尋找?guī)律時(shí)常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變?yōu)樽兞?，從特殊到一般使問題得到解決2、主元轉(zhuǎn)化為輔元有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻，陷于困境，這時(shí)可以將主元化為輔元，即可迎刃而解例4、對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式恒成立的x的取值范圍【解析】把轉(zhuǎn)化為，則成為關(guān)于p的一次不等式，則，得，由一次不等式的性質(zhì)有：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上可得：【題后反思】 視x為主元，不等式

5、是關(guān)于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉(zhuǎn)化為主元，不等式是關(guān)于p的一次的不等式，則問題不難解決3、正向轉(zhuǎn)化為反向有些數(shù)學(xué)問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”例5、若橢圓與連接A（1，2）、B（3，4）兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】設(shè)線段AB和橢圓有公共點(diǎn)，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段AB的方程為，則方程組，消去y得：，即，當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【題后反思】 在探討某一問題的解決辦法時(shí)，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)從反面的方向去探索4、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合，實(shí)質(zhì)上是將抽象的語言

6、與直觀圖形結(jié)合起來，以便化抽象為直觀，達(dá)到化難為易，化簡(jiǎn)為繁的目的例6、已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若，解不等式【解析】由在上為增函數(shù)，且是定義域上的奇函數(shù)，在上也是增函數(shù)，或，xy-11O由函數(shù)的單調(diào)性知：或，原不等式的解集為：【題后反思】 由已知，是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，由，則可得的大致圖像如下圖，可知5、自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)化函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關(guān)系與函數(shù)值間不等關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的思想，理解它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，有利于靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題例7、設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y，都有，求使不等式成立的x的取值范圍【解析】

7、的定義域是，即，由于，得，由，得，由題設(shè)條件得： ，是定義在上的增函數(shù)，解之得：，又，適合題意的x的取值范圍為3，4【題后反思】 這類抽象函數(shù)求解是初學(xué)者較難掌握的，解題的關(guān)鍵需實(shí)現(xiàn)三種轉(zhuǎn)化：將函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個(gè)值的大小，因此需將，根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為；需將轉(zhuǎn)化為某自變量的函數(shù)值，從而建立關(guān)于x的不等關(guān)系，求出x的取值范圍五、限時(shí)課后練習(xí)（1）已知函數(shù) （）若，求x的值；（）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）設(shè)函數(shù)，曲線通過點(diǎn)（0，2a+3）且在點(diǎn)（-1，）處的切線垂直于x軸 用a分別表示b和c； （）當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（

8、3）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（），（）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線與C交于A、B兩點(diǎn)， （）寫出C的方程； （）若，求k的值； （）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有（4）已知函數(shù)，（）將函數(shù)化簡(jiǎn)成的形式；（）求函數(shù)的值域（5）已知曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為，記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓， （）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；若M是與橢圓C2的交點(diǎn)，求面積的最小值答案：1（1）

9、；（2） 2（1）c=2a+3，b=2a；（2）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（-2，2）；3（1），（2），（3）略；4（1），（2）的值域?yàn)椋?（1），（2）， 探索性問題的基本題型及解題方法一、考情分析探索性問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，通過對(duì)探索性問題的考查，能考查出考生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，高考中一般以填空題或大題的形式出現(xiàn)，難度為中、高檔二、問題特點(diǎn)及解題方法 條件為完備或結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，數(shù)學(xué)探索性問題的解答一般沒有固定、現(xiàn)成的模式可循，它有較強(qiáng)的思維發(fā)散性，必須自己設(shè)計(jì)解決方案，以考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神為目標(biāo)的此類題型，常以新穎的形式出現(xiàn)，解題入口寬，而且題設(shè)條件往往比

10、較隱蔽，但只要能明確問題特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)采取相應(yīng)的策略，仍可以使求解“程序化”，有據(jù)可依，有規(guī)可特， 解決這類問題時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、比較、類比、分析、綜合、演繹、歸納、抽象、概括等思維方式，對(duì)試題的條件和結(jié)論所提供的外在信息與自身大腦中儲(chǔ)存的內(nèi)在信息進(jìn)行提取，組合、加工和轉(zhuǎn)化，明確解題方法，形成解題策略，選擇解題步驟三、基礎(chǔ)訓(xùn)練 （1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，計(jì)算，并猜想的表達(dá)式xyABCNO （2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)， （）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線，使得被以AC為直徑的圓截得弦

11、長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由 （3）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則， ， ，成等比數(shù)列 （4）設(shè)，由此能否推出？若不能，需如何改變條件？ （5）設(shè)函數(shù)，給出以下四個(gè)論斷：它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；它的圖像關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱；在區(qū)間上是增函數(shù)；它的周期為以其中的兩個(gè)論斷為條件，另兩個(gè)論數(shù)不結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題 （填寫序號(hào)）答案：（1），猜想：（2）（），（）滿足條件的直線存在，其方程為（3），（4）不能，需加條件（5）四、典型例題 1、探究型探究型是依據(jù)題目所給予條件或提供的信息，綜合所學(xué)知識(shí)，來探究問題的分析方法和解決方

12、法，常以常規(guī)題形式出現(xiàn)，但往往改變?cè)O(shè)問方式，或得出探究和方向，或給出探究的結(jié)論，考查學(xué)生的判斷能力，創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)，解答此類問題時(shí)，需要考生提取題目的有效信息，從有效信息引出思維聯(lián)想，從而設(shè)計(jì)解題方法，化歸與轉(zhuǎn)化是解決這類問題常用的數(shù)學(xué)思想例1、已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為d的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列（）若，求d的值；（）試寫出關(guān)于d的關(guān)系式，并求出的取值范圍；（）續(xù)寫已知數(shù)列，使是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列，提出同（）類似的問題，（）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？【解析】（），； （）當(dāng)，； （）所給數(shù)列可推廣為

13、無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列， 研究的結(jié)論可以是：由，依次類推可得：，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是：【題后反思】由題設(shè)條件給出問題的組成結(jié)構(gòu)，先通過特例研究問題的結(jié)論，然后給出問題的推廣，提出探究的方向，讓解題者順著命題者提出的推廣方向進(jìn)行探究，是探究型題的一種常見題型，解答這類問題時(shí)一般不改變命題的結(jié)構(gòu)形式，而提出的探究結(jié)論也應(yīng)該是對(duì)特例的推廣2、開放型開放型題是指問題的結(jié)論、條件、解題策略是不惟一的或需要探索的一種題型，這類題型結(jié)構(gòu)新穎，解題方法靈活、知識(shí)覆蓋面寬，問題結(jié)構(gòu)開放，打破了固定的思維模式和解題套路，給解題者很大的思考空間和多種分析思路，有利于

14、培養(yǎng)和考查學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和探究問題的能力，所以此類問題是當(dāng)前高考命題的熱點(diǎn)之一例2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d，已知F（2，0）且（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（）過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該圓錐曲線的“特征點(diǎn)”，問該曲線是否存在特征點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并觀察點(diǎn)M是怎樣的點(diǎn)，同時(shí)將你的結(jié)論推廣，若不存在，請(qǐng)說明理由（不用證明推廣后的結(jié)論）【解析】 （）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），且點(diǎn)P到直線的距離為d/， 動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d，F(xiàn)（2，0）且， 動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離為d/，F(xiàn)（2，0）且，即點(diǎn)P

15、是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線， 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 （）假設(shè)拋物線存在特征點(diǎn)M，并設(shè)其坐標(biāo)為M（m，0）， 弦AB不垂直于x軸，且拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）， 設(shè)直線AB的方程為，代入并整理，得：， 設(shè)，則， 被x軸平分，即， ，即， ，即， ， 故拋物線上存在特征點(diǎn)M，其坐標(biāo)為M（-2，0），該點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，猜想：對(duì)于拋物線，其“特征點(diǎn)M”是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)【題后反思】本題從特例出發(fā)，探究一般情況下的結(jié)論，解答這類問題時(shí)，可以通過特例得到的信息，從命題提出的探究方向思考，歸納問題的結(jié)論（有時(shí)不止一個(gè)，而有些問題的結(jié)論并不成立），再給出數(shù)學(xué)推理證明，本

16、題由于題目的要求沒有給出推理證明3、定義信息型 定義信息型是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點(diǎn)是：給出一個(gè)新的定義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識(shí)，然后在這個(gè)新情境下，綜合所學(xué)知識(shí)并利用新知識(shí)作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個(gè)步驟：（1）對(duì)新知識(shí)進(jìn)行信息提取，確定化歸方向；（2）對(duì)新知識(shí)中所提取的信息進(jìn)行加工，探究解題方法；（3）對(duì)提取的知識(shí)加以轉(zhuǎn)換，進(jìn)行有效組合，進(jìn)而求解例3、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下： 輸入數(shù)據(jù)，計(jì)算出；若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作，若，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計(jì)算出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，

17、現(xiàn)在有， （）求證：對(duì)任意，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無窮數(shù)列；（）若，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】（）證明：當(dāng)，即0<x<1時(shí)，由可知m+1>x>0，又，即故對(duì)任意有；由有，由有；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無窮數(shù)列（）由，可得，即，令，則，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等差數(shù)列，于是【題后反思】 本題以算法語言為命題情境，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，通過定義工作原理，得到一個(gè)無窮數(shù)列，這是命題組成的第一部分，解答時(shí)只需依照命題程序完成即可，第（）問其實(shí)是一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，由上可知，創(chuàng)新題型的解答還是需要考生有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)解題功底4、類比歸納型類比是將式子結(jié)構(gòu)

18、、運(yùn)算法則、解題方法、問題結(jié)論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識(shí)探索新知識(shí)的一種研究問題的方法；歸納是從個(gè)別特殊事例，若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論，總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，所以它們?cè)诟呖贾蓄l繁亮相，已成為高考中的又一個(gè)熱點(diǎn)x1x2xyOD=x1,x2y=f(x)x1x2xyOD=x1,x2y=B例4、如下圖所示，定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)A，都有成立，則稱函數(shù)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下

19、圖中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零）（）試判斷函數(shù)在上是否有下界？并說明理由；（）具有圖所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界，請(qǐng)你類比函數(shù)有下界 的定義，給出函數(shù)在D上有上界的定義，并判斷（）中的函數(shù)在上是否有上界，并說明理由【解析】，由，得，x=2,當(dāng)0<x<2時(shí)，函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)； 當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)在（2，）上是增函數(shù)；x=2是函數(shù)在區(qū)間（0，）上的最小值點(diǎn)，于是，對(duì)任意，都有，即在區(qū)間（0，）是存在常數(shù)A=32，使得對(duì)任意，都有成立，所以，函數(shù)在上有下界（）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常B，都有成立，則稱函數(shù)在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界設(shè)x<0，則-x>0，則（）知，對(duì)任意，都有，函數(shù)為奇函