第二代小波提升步驟

1、第二代小波提升步驟小波分析2009-10-12 15:14:31閱讀663評(píng)論5字號(hào)：大中小訂閱1 提升原理小波提升是一種構(gòu)造緊支集雙正交小波的新方法。1) 步驟由提升構(gòu)成第二代小波變換的過(guò)程分為如下3個(gè)步驟：(1)分裂分裂(Split)是將原始信號(hào)習(xí)= sj, k 分為兩個(gè)互不相交的子集和。每個(gè)子集的長(zhǎng)度是原子 集的一半。通常是將一個(gè)數(shù)列分為偶數(shù)序列ej-1和奇數(shù)序列oj-1,即Split (sj) = (ej-l,oj-l )其中,ej-1 = ej-1, k = sj, 2 k, oj-1 = oj-1, k = sj, 2 k+1。預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)(Predict)是利用偶數(shù)序列和奇數(shù)序列之間

2、的相關(guān)性，由其中一個(gè)序列(一般是偶序列 ej-1)來(lái)預(yù)測(cè)另一個(gè)序列(一般是奇序列oj-l)o實(shí)際值oj-1與預(yù)測(cè)值P (ej-1)的差值dj-1反 映了兩者之間的逼近程度，稱之為細(xì)節(jié)系數(shù)或小波系數(shù)，對(duì)應(yīng)于原信號(hào)習(xí)的高頻部分。一 般來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)的相關(guān)性越強(qiáng)，則小波系數(shù)的幅值就越小。如果預(yù)測(cè)是合理的，則差值數(shù)據(jù)集 dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。預(yù)測(cè)過(guò)程如下：dj-1 = oj-1 -P (ej-1)其中，預(yù)測(cè)算子P可用預(yù)測(cè)函數(shù)Pk來(lái)表示，函數(shù)Pk可取為ej-1中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)本身：Pk (ej-1, k) = ej-1, k = sj, 2 k或ej-1中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的相鄰數(shù)據(jù)

3、的平均值：Pk (ej-1) = (ej-1. k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2 k + sj, 2 k +1)/ 2或其他更復(fù)雜的函數(shù)。(3)更新經(jīng)過(guò)分裂步驟產(chǎn)生子集的某些整體特征(如均值)可能與原始數(shù)據(jù)并不一致，為了保持原始 數(shù)據(jù)的這些整體特征，需要一個(gè)更新(Update)過(guò)程。將更新過(guò)程用算子U來(lái)代替，其過(guò)程如 下：sj-1 = ej-1 + U (d j-1)其中，sj-1為sj的低頻部分：與預(yù)測(cè)函數(shù)一樣，更新算子也可以取不同函數(shù)，如Uk(dj-l) = dj-l,k/2或U k (dj-1) = (dj-1, k-1 + dj-1, k) / 4 + 1 / 2

4、。P與U取不同的函數(shù)，可構(gòu)造出不同的小波變換。2) 分解與重構(gòu)經(jīng)過(guò)小波提升，可將信號(hào)sj分解為低頻部分sj-1和高頻部分dj-1；對(duì)于低頻數(shù)據(jù)子集sj-1可 以再進(jìn)行相同的分裂、預(yù)測(cè)和更新，把習(xí)-1進(jìn)一步分解成dj-2和習(xí)-2；-；如此下去，經(jīng) 過(guò)n次分解后，原始數(shù)據(jù)sj的小波表示為sj-n, dj-n, dj-n+1,，dj-1。其中sj-n代表了信 號(hào)的低頻部分，而dj,dj+l,dj則是信號(hào)的從低到高的高頻部分系列。每次分解對(duì)應(yīng)于上面的三個(gè)提升步驟一一分裂、預(yù)測(cè)和更新：Split(sj) = (ej-1, oj-1 ), dj-1 = oj-1 -P (ej-1), sj-1 = ej-

5、1 + U (dj-1)小波提升是一個(gè)完全可逆的過(guò)程，其反變換的步驟如下：ej-1 = sj-1 - U (dj-1 ), oj-1 = dj-1 + P (ej-1), sj = Merge (ej-1, oj-1 )卜圖是用提升方法進(jìn)行小波分解和重構(gòu)的示意圖。佩坎序列s偶敵那列3分解的三個(gè)步驟可以用替代的方式來(lái)計(jì)算：先將奇數(shù)序列更新(用偶數(shù)序列預(yù)測(cè)奇數(shù)序列), 然后用更新的奇數(shù)序列更新偶數(shù)序列。大致過(guò)程如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l ), oj-1 -=P(ej-l), ej-1+= U (oj-1)其反變換過(guò)程也可以用替代的方式來(lái)計(jì)算：ej-1 -= U (oj-1

6、), oj-1 += P (ej-1 ), sj = Merge (ej-1, oj-1)4)例子(1)線性Ha如小波變換取預(yù)測(cè)函數(shù)Pk (ej-l) = ej-l,k=sj,2k更新函數(shù)Uk(dj-l) = dj-l,k/2則得到線性Haar小波變換。分解式如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l )d j-1, k = oj-1, k - Pk (ej-1) = oj-1, k - ej-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2ksj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj、2k + dj-i, k/ 2 = (sj、2k+l + sj, 2k)

7、/ 2重構(gòu)式如下：ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k - djl, k/ 2oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d jJ, k + ej-1, ksj = Merge (ej-l,oj-l) (2)線性小波變換取預(yù)測(cè)函數(shù)Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj，2k + sj, 2k +2)/ 2更新函數(shù)Uk (d j-1) = (dj-1, k-1 + dj-1, k) /4則得到線性小波變換。分解式如下：Split (sj) = (ej-l,oj-l )d j-1, k

8、 = oj-1, k - Pk (ej-1) = oj-1, k - (ej-l? k + ej-1, k+1) / 2 = sj, 2k+l - (sj, 2k + sj, 2k +2)/2sj-1,k = ej-1,k + Uk(dj-1) = sj, 2k + (dj-1,k-1 + dj-1,k)/4重構(gòu)式如下：ej-1, k = sj-1, k -Uk(dj-1) = sj-1, k - (dj-1,k-1 + dj-1, k) /4oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d jJ, k + (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2sj = Mer

9、ge (ej-l,oj-l)實(shí)際上，提升算法是一種改善快速小波變換的方法。單步的提升算法并不能用于所有的小波 構(gòu)造過(guò)程，事實(shí)上只有一些特殊的小波變換很容易用它構(gòu)造，比如雙正交小波。不過(guò)，涉及 有限濾波器(FIR)的所有小波或子帶變換可用多個(gè)提升步驟來(lái)構(gòu)造。Daubeclues和Sweldens 等已經(jīng)證明，借助于因子化小波變換，所有小波的構(gòu)造都能夠用提升模式實(shí)現(xiàn)。1整數(shù)小波變換可以用提升方法來(lái)構(gòu)造具緊支集的雙正交小波，那么就可以通過(guò)對(duì)每一次濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行 取整(用表示)來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)小波變換，而且這種變換是完全可逆的，也就是完全重構(gòu)數(shù) 據(jù)。Sweldens已經(jīng)證明在提升的基礎(chǔ)上可以進(jìn)行整數(shù)集到整

10、數(shù)集的小波變換，也就是說(shuō)，一個(gè)整 數(shù)集合通過(guò)小波變換得到的仍然是整數(shù)集合。這就給數(shù)字圖象的壓縮編碼帶來(lái)了好處，由于 不需要對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行量化，因此提供了實(shí)現(xiàn)無(wú)損壓縮的可能。下面試幾個(gè)典型的整數(shù)小波變換的例子：1)S變換最簡(jiǎn)單的整數(shù)小波變換是S變換(S transform, S = sequential),它是線性Haar小波變換的近似 整數(shù)形式。分解式如下：dj-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2ksj-1, k = sj, 2k + dj-1, k/2相當(dāng)于對(duì)原更新函數(shù)取整。重構(gòu)式如下：sj,2k = sj-l,k-dj-l,k/2sj, 2k+1 = d j-1, k +

11、sj, 2k 2 ) S+P變換S變換之后，在低通系數(shù)sj-l,k的基礎(chǔ)上進(jìn)行線性預(yù)測(cè)，以產(chǎn)生新的高通系數(shù)dj-l,k ,這 就是 S+P 變換族(S+P family of tiaiisform, S+P = sequential plus prediction)0 分解式如 I、： sj-1, k = sj, 2k + vk / 2d j-1, k = vk + tk + 1/2其中vk = sj, 2k +1 _ sj, 2ktk = a -1 (sj-1, k -2 - sj-1, k-1) + a 0 (sj-1, k -1 - sj-1, k) + a 1 (sj-1, k - s

12、j-1, k+l) + 3 -1 vk+1 例如，取參數(shù)如下表所示。變換a -1a 0a 13-1S00002/601/41/40B01/43/81/4C-1/161/41/23/8其中(1) S變換：sj-1, k = sj, 2k + vk /2 = sj, 2k + (sj, 2k+1 - sj, 2k)/ 2 d j-1, k = vk = sj, 2k +1 - sj, 2k 其分解與重構(gòu)式同上l)o(2) 2/6 變換：分解：sjrk H sj“ 2k + vk、2H sj2k +(Sj9 2k +11 sj" 2k)、2 d jrk H vk +(sj.r'7 sj.rk )、4 + (sjrk I sjrk +1) / 4+1*2 H (SL 2k+l I Sr 2 片)+(sj?7 sjrk +1)、4 + la 君“vkH $ 2k+1 sj2k sj-lk-H sj2k + vk 一 2 dlk H vk +(s.r-k 1 丨 slk+l)、4 + =2m酋“:r、>r -r卜" *卜 rJlUTk I LEIr P 丄di-r? 0 4 T 卜Sy 2k 丄(2 sj.rk I d j?k + uk 二 22Sy 2k+1 H sjv 2k