2013佛山二模（理數(shù)）

1、數(shù)學(xué)資源網(wǎng)2013年江門佛山兩市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測 數(shù) 學(xué)（理科） 2013.4本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知，則AB C D2已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，且，則復(fù)數(shù)的虛部是A B C D 3已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的公差等于A1B3 C5 D64. 為了解一片速生林的生長情況，隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是90110周長(cm) 頻率/組

2、距1001201300.010.020.0480第4題圖 A30 B60 C70 D805函數(shù)，,則A為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；B為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；C為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；D為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.6下列命題中假命題是A若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行；B垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直； C若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；D若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面相互平行7直線與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有A 個(gè) B. 個(gè) C.個(gè) D.無數(shù)個(gè)8將邊長為的等邊三角形沿軸滾動(dòng)，某時(shí)刻與坐標(biāo)

3、原點(diǎn)重合（如圖），設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，關(guān)于函數(shù)的有下列說法：OyxPBA第8題圖的值域?yàn)?；是周期函?shù)；.其中正確的說法個(gè)數(shù)為:A.0 B. C. D. 二、填空題：本大共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分 (一)必做題(913題)9命題“R，0”的否定是 .10. 已知向量滿足, , 向量與的夾角為 .11若二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)等于的系數(shù)的倍，則等于 .12已知圓經(jīng)過點(diǎn)和,且圓心在直線上,則圓的方程為 . 第13題圖13將集合|且中的元素按上小下大，左小右大的順序排成如圖的三角形數(shù)表，將數(shù)表中位于第行第列的數(shù)記為（）,則= . ks5u (二)選做題(1415題，考生只能從中選做一

4、題)14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線與的交點(diǎn)分別為，則線段的垂直平分線的極坐標(biāo)方程為 第15題圖15（幾何證明選講）如圖，圓的直徑，直線與圓O相切于點(diǎn)， 于，若，設(shè)，則_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)在第一象限，已知.（1）若,求的值； （2）若點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求.17（本題滿分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機(jī)的.同一條道路去程與回程是

5、否堵車相互獨(dú)立. 假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設(shè)道路、上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是,道路、上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到.乙甲丙第17題圖（1）求李生小孩按時(shí)到校的概率；（2）李生是否有七成把握能夠按時(shí)上班？（3）設(shè)表示李生下班時(shí)從單位乙到達(dá)小學(xué)丙遇到擁堵的次數(shù)，求的均值.18（本題滿分14分）如圖甲，設(shè)正方形的邊長為,點(diǎn)分別在上,并且滿足,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點(diǎn)在平面上的射影恰好在上（1）證明：平面；圖甲圖乙第18題圖（2）求平面與平面所成二面角的余弦值19（本題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)圓

6、過定點(diǎn),且與定直線相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）中心在的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在曲線上，且直線與橢圓有公共點(diǎn),求橢圓的長軸長取得最小值時(shí)的橢圓方程.20（本題滿分14分）某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻,導(dǎo)致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減少對環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng),及時(shí)向污染河道投入固體堿，個(gè)單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度與時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系可近似地表示為：,只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于時(shí),才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用.（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間有多長？（2）第一次投放1單位固體堿后,當(dāng)

7、污染河道水中的堿濃度減少到時(shí),馬上再投放1個(gè)單位的固體堿,設(shè)第二次投放后水中堿濃度為,求的函數(shù)式及水中堿濃度的最大值.（此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）21（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，.（1）求；（2）用n表示；（3）設(shè)，是否存在使最大？證明你的結(jié)論.2013年江門佛山兩市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測 數(shù) 學(xué)（理科） 評分參考一、填空題 CDBCABBC二、填空題9R，0 10 11 12 1314（或） 15三、解答題16解法1、由題可知：， 1分， 2分，得 3分， 4分解法2、由題可知：， 1分， 2分， 3分， 得 4分解法3、設(shè)，（列關(guān)于x、

8、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分）解法1、由， 記， ，（每式1分） 6分 ，得（列式計(jì)算各1分） 8分（列式計(jì)算各1分） 10分（列式計(jì)算各1分） 12分解法2、由題意得：的直線方程為 6分則 即（列式計(jì)算各1分） 8分則點(diǎn)到直線的距離為（列式計(jì)算各1分） 10分又，（每式1分）12分解法3、 即 （每式1分） ks5u6分即：， ， 7分，9分（模長、角的余弦各1分） 10分則（列式計(jì)算各1分） 12分解法4、根據(jù)坐標(biāo)的幾何意義求面積（求B點(diǎn)的坐標(biāo)2分，求三角形邊長2分，求某個(gè)內(nèi)角的余弦與正弦各1分，面積表達(dá)式1分，結(jié)果1分）17因?yàn)榈缆稤、E上班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概

9、率分別是和，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是（列式計(jì)算各1分） 2分所以李生小孩能夠按時(shí)到校的概率是； 3分甲到丙沒有遇到擁堵的概率是， 4分丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是， ks5u5分甲到乙遇到擁堵的概率是， 6分甲到乙沒有遇到擁堵的概率是，李生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是，所以李生沒有八成把握能夠按時(shí)上班（計(jì)算結(jié)論各1分）8分依題意可以取. 9分=,=,=,11分012分布列是：. 12分18證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有， 1分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面（條件2分）4分解法1、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則， 5分所以平面，則， 6分所以平面與平面所成二面角的平面角， 8

10、分圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線， 9分設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，；11分（三角形全等1分）又由，得， 12分于是， 13分圖甲圖乙在中，即所求二面角的余弦值為14分圖丙解法2、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則， 5分所以平面，則，圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線， 6分設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，則；又由，得， 7分于是，在中， 8分作交于點(diǎn)，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，則（坐標(biāo)系、坐標(biāo)、向量各1分） 11分顯然，是平面的一個(gè)法向量， 12分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨取，則， 13分設(shè)平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，所以，

11、平面與平面所成二面角的余弦值為 14分19由題可知，圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等 2分由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線 4分（確定“曲線是拋物線”1分，說明拋物線特征1分）所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為. 5分解法1、設(shè)，則中點(diǎn)為， 因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，即，解之得（中點(diǎn)1分，方程組2分，化簡1分） 8分將其代入拋物線方程，得：，所以. 9分聯(lián)立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為.此時(shí)橢圓的方程為. 14分解法2、設(shè) ，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，則， 6分即，解之得 7分即,根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第四象限，且

12、直線與拋物線交于.則,于是直線方程為（斜率1分，方程1分） 9分聯(lián)立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為. 此時(shí)橢圓的方程為. 14分ks5u20由題意知或 2分解得或，即 3分能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間：小時(shí). 4分由知，時(shí)第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域?yàn)?5分當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故=+=; 6分當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故當(dāng)時(shí)， =; 7分當(dāng)時(shí)， ; 8分所以 9分當(dāng)時(shí)， =;當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,即（函數(shù)值與自變量值各1分）11分當(dāng)時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無殘留，當(dāng)時(shí)， ，所以為增函數(shù); 當(dāng)時(shí)，為減函數(shù);故 =， 12分又,所以當(dāng)時(shí)，水中堿濃度的最大值為. 13分答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；第一次投放小時(shí)后, 水中堿濃度的達(dá)