拋物線壓軸題答案

1、.綜合題答案1.如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OAOB）且OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC=1：2（1）求A、C兩點的坐標；（2）若點M從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以 A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由1答案： 2.如圖，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與x軸交于點A、B兩點，且A點坐標為（-2，0），

2、與y軸交于點C（0，3）（1）求出這個二次函數(shù)的解析式； （2）直接寫出點B的坐標為_；（3）在x軸是否存在一點P，使ACP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；（4）在第一象限中的拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABQC的面積最大？若存在，請求出Q點坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由解答：解：（1）y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過A（-2，0），C（0，3），c=3，a=-，所求解析式為：y=-x2+x+3；（2）（6，0）；（3）在RtAOC中，AO=2，OC=3，AC=，當P1A=AC時（P1在x軸的負半軸），P1（-2-，0）；當P2A=AC時（P2在

3、x軸的正半軸），P2（-2，0）；當P3C=AC時（P3在x軸的正半軸），P3（2，0）；當P4C=P4A時（P4在x軸的正半軸），在RtP4OC中，設P4O=x，則（x+2）2=x2+32解得：x=，P4（，0）；（4）解：如圖，設Q點坐標為（x，y），因為點Q在y=-x2+x+3上，即：Q點坐標為（x，-x2+x+3），連接OQ，S四邊形ABQC=SAOC+SOQC+SOBQ=3+x+3（-x2+x+3）=-x2+x+12，a0，S四邊形ABQC最大值=，Q點坐標為（3，）。3.如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）圖（2）、圖（3）為解答備用圖（1），點A的坐標為

4、，點B的坐標為；（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線上求點Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形解答：解：（1），A（-1，0），B（3，0）（2）如圖（1），拋物線的頂點為M（1，-4），連結OM   則 AOC的面積=，MOC的面積=，MOB的面積=6， 四邊形 ABMC的面積=AOC的面積+MOC的面積+MOB的面積=9說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面積轉化為求1個梯形與2個直角三

5、角形面積的和（3）如圖（2），設D（m，），連結OD 則 0m3， 0且 AOC的面積=，DOC的面積=，                  DOB的面積=-（）， 四邊形 ABDC的面積=AOC的面積+DOC的面積+DOB的面積= 存在點D，使四邊形ABDC的面積最大為（4）有兩種情況：如圖（3），過點B作BQ1BC，交拋物線于點Q1、交y軸于點E，連接Q1C  CBO=45°

6、;，EBO=45°，BO=OE=3 點E的坐標為（0，3） 直線BE的解析式為由 解得  點Q1的坐標為（-2，5）如圖14（4），過點C作CFCB，交拋物線于點Q2、交x軸于點F，連接BQ2 CBO=45°，CFB=45°，OF=OC=3 點F的坐標為（-3，0） 直線CF的解析式為由 解得 點Q2的坐標為（1，-4）綜上，在拋物線上存在點Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形說明：如圖14（4），點Q2即拋物線頂點M，直接證明BCM為直角三角形4.如圖1，在ABC中，AB=B

7、C，P為AB邊上一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作APCD，AC與PD相交于點E，已知ABC=AEP=（0°90°）（1）求證：EAP=EPA；（2）APCD是否為矩形？請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)為BC中點，連接FP，將AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌?，得到MEN（點M、N分別是MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點）猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論考點：旋轉的性質；全等三角形的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質；矩形的判定。專題：證明題；探究型。分析：（1）根據(jù)AB=BC可證CAB=ACB，則在ABC與AEP中，有兩個角對應相等，根據(jù)三角形內角和定

8、理，即可證得；（2）由（1）知EPA=EAP，則AC=DP，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可求證；（3）可以證明EAMEPN，從而得到EM=EN解答：（1）證明：在ABC和AEP中，ABC=AEP，BAC=EAP，ACB=APE，在ABC中，AB=BC，ACB=BAC，EPA=EAP（2）解：APCD是矩形理由如下：四邊形APCD是平行四邊形，AC=2EA，PD=2EP，由（1）知EPA=EAP，EA=EP，則AC=PD，APCD是矩形（3）解：EM=EN證明：EA=EP，EPA=90°，EAM=180°EPA=180°（90°）=90°+

9、，由（2）知CPB=90°，F(xiàn)是BC的中點，F(xiàn)P=FB，F(xiàn)PB=ABC=，EPN=EPA+APN=EPA+FPB=90°+=90°+，EAM=EPN，AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌龋玫組EN，AEP=MEN，AEPAEN=MENAEN，即MEA=NEP，在EAM和EPN中，EAMEPN（AAS），EM=EN點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，以及矩形的判定方法，在旋轉中找到題目中存在的相等的線段以及相等的角是解決本題的關鍵5.提出問題：如圖，在正方形ABCD中，點P，F(xiàn)分別在邊BC、AB上，若APDF于點H，則AP=DF類比探究：（1）如圖，在正方形ABCD

10、中，點P、F、G分別在邊BC、AB、AD上，若GPDF于點H，探究線段GP與DF的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖，在正方形ABCD中，點P、F、G分別在邊BC、AB、AD上，GPDF于點H，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連結EF，若四邊形DFEP為菱形，探究DG和PC的數(shù)量關系，并說明理由【分析】（1）如答圖1，過點A作AMDF 交BC于點M通過證明BAMADF得到其對應邊相等：AM=DF，則又由平行四邊形的性質推知AM=GP，則GP=DF；（2）如答圖2，過點P作FNAD與點N根據(jù)菱形的性質、等腰三角形的“三線合一”的性質推知DG=2DN，然后結合矩形DNPC的性

11、質得到：DG=2PC【解答】解：（1）GP=DF理由如下：如答圖1，過點A作AMDF 交BC于點M四邊形ABCD是正方形，AD=AB，B90°，BAM=ADF，在BAM與ADF中，BAMADF（ASA），AM=DF又四邊形AMPG為平行四邊形，AM=GP，即GP=DF；（2）DG=2PC理由如下：如答圖2，過點P作FNAD與點N若四邊形DFEP為菱形，則DP=DF，DP=DF，DP=GP，即DG=2DN四邊形DNPC為矩形，PC=DN，DG=2PC6.如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的

12、對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.解答：(1)將A(1，0)，B(3，0)代中得 拋物線解析式為： (2)存在。 理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱 直線BC與的交點即為Q點， 此時AQC周長最小 C的坐標為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點坐標即為的解 Q(1，2)（3）答：存在。理由如下：設P點若有最大值，則就最大，當時，最大值 最大 當時，點P坐標為7.在平面直角坐標系xOy中

13、，已知拋物線y=x22mx+m29（1）求證：無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個交點；（2）該拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，且OAOB，與y軸的交點坐標為（0，5），求此拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，若點M是線段AN上的任意一點，過點M作直線MCx軸，交拋物線于點C，記點C關于拋物線對稱軸的對稱點為D，點P是線段MC上一點，且滿足MP=MC，連結CD，PD，作PEPD交x軸于點E，問是否存在這樣的點E，使得PE=PD？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由解答：解：（1）令y=0，則x22mx+m29=0，=（2m）24m2+3

14、60，無論m為何值時方程x22mx+m29=0總有兩個不相等的實數(shù)根，21題答圖拋物線y=x22mx+m29的開口向上，頂點在x軸的下方，該拋物線與x軸總有兩個交點（2） 拋物線y=x22mx+m29與y軸交點坐標為（0，5），5=m29解得：m=±2當m=2，y=0時，x2+4x5=0 解得：x1=5，x2=1，拋物線y=x22mx+m29與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側，且OAOB），m=2不符合題意，舍去m=2拋物線的解析式為y=x24x5；（3）如圖2，假設E點存在，MCEM，CDMC，EMP=PCD=90°MEP+MPE=90°PEPD，EPD=9

15、0°，MPE+DPC=90°。MEP=CPD在EMP和PCD中，EPMPDC（AAS）PM=DC，EM=PC設C（x0，y0），則D（4x0，y0），P（x0，y0）2x04=y0點C在拋物線y=x24x5上；y0x024x05 2x04=（x024x05）解得：x01=1，x02=11（舍去），P（1，2）PC=6ME=PC=6E（7，0）8. 如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點（1）求此拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方的拋物線上一點，（不與點A、B

16、重合），過點P作x軸的垂線交x軸于點H，交直線AB于點F，作PGAB于點G求出PFG的周長最大值；（3）在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點D以外的點M，使得ABM與ABD的面積相等？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由解答：（1）直線AB：與坐標軸交于A（-3,0）、B（0,3）代入拋物線解析式 中拋物線解析式為： 4分（2）由題意可知PFG是等腰直角三角形，設 PFG周長為：=PFG周長的最大值為： 8 分（3）點M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使ABM的面積等于ABD的面積.此時，且與AB距離相等D（-1，4），則E（-1,2）、則N（-1,0）中，k=

17、1 直線解析式為：直線解析式為：9分或、10 分11 分 12 分9是等邊三角形，點是射線上的一個動點（點不與點重合），是以為邊的等邊三角形，過點作的平行線，分別交射線于點，連接（1）如圖（a）所示，當點在線段上時 求證：； 探究四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當點在的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立？（3）在（2）的情況下，當點運動到什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由AGCDBFE圖（a）ADCBFEG圖（b）解答（1）證明：和都是等邊三角形，AGCDBFE圖（a）第25題圖1分又，3分法一：由得，又，5分又，四邊形是平行四邊形6分法二：證出，得5

18、分由得得四邊形是平行四邊形6分（2）都成立8分ADCBFEG圖（b）第25題圖（3）當（或或或或）時，四邊形是菱形9分理由：法一：由得，10分又，11分由得四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形12分法二：由得，9分又四邊形是菱形，11分12分法三：四邊形是平行四邊形，9分，是等邊三角形10分又，四邊形是菱形，11分，10如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=x2+2x與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA（1）求點A的坐標和AOB的度數(shù)；（2）若將拋物線y=x2+2x向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線m，其頂點為點C連接OC和AC，把AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC試判

19、斷其形狀，并說明理由；（3）在（2）的情況下，判斷點C是否在拋物線y=x2+2x上，請說明理由；（4）若點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線m上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由解答：（1）由y=x2+2x得，y=（x2）22，拋物線的頂點A的坐標為（2，2），令x2+2x=0，解得x1=0，x2=4，點B的坐標為（4，0），過點A作ADx軸，垂足為D，ADO=90°，點A的坐標為（2，2），點D的坐標為（2，0），OD=AD=2，AOB=45°；（2）四邊形ACOC為

20、菱形由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為，且過頂點C的坐標是（2，4），拋物線的解析式為：y=（x2）24，即y=x22x2，過點C作CEx軸，垂足為E；過點A作AFCE，垂足為F，與y軸交與點H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CEEF=2，OC=2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不變性的性質可知，OC=AC=OC=AC，故四邊形ACOC為菱形（3）如圖1，點C不在拋物線y=x2+2x上理由如下：過點C作CGx軸，垂足為G，OC和OC關于OA對稱，AOB=AOH=45°，COH=COG，CEOH，OCE=COG，又CEO=CGO=90°，OC=OC，CEOCGO，OG

21、=4，CG=2，點C的坐標為（4，2），把x=4代入拋物線y=x2+2x得y=0，點C不在拋物線y=x2+2x上；（4）存在符合條件的點Q點P為x軸上的一個動點，點Q在拋物線m上，設Q（a，（a2）24），OC為該四邊形的一條邊，OP為對角線，=0，解得x1=6，x2=4，P（6，4）或（2，4）（舍去），點Q的坐標為（6，4）11如圖1，在OAB中，OAB=90°，AOB=30°以OB為邊，在OAB外作等邊OBC，D是OB的中點，連接AD并且延長交OC于E（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，試探

22、究線段OG與AB的數(shù)量關系并說明理由【解答】（1）證明：RtOAB中，D為OB的中點，DO=DA（直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半），EAO=AOB=30°，OBC為等邊三角形，COB=60°，又AOB=30°，EOA=90°，AEO=180°EOAEAO=180°90°30°=60°，AEO=C，BCAE，BAO=COA=90°，COAB，四邊形ABCE是平行四邊形；（2）解：在RtABO中，OAB=90°，AOB=30°，BO=2AB，OA=AB，設OG=x，由折疊可得：AG=GC=2ABx，在RtOAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（AB）2=（2ABx）2，解得：x=AB，即OG=AB12.在菱形ABCD中，ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F(xiàn)是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，求證：BE=EF（2）如圖2，當點E不是線段AC的中點，其它條件不變時，請你判斷（1）中的結論：成立（填“