人教版八年級數(shù)學上冊期中精選試卷專題練習(解析版)

1、人教版八年級數(shù)學上冊期中精選試卷專題練習(解析版)一、八年級數(shù)學全等三角形解答題壓軸題(難)1 . (1)如圖 1：在四邊形 ABCD 中，AB=AD. ZBAD=I20° , ZB 二 ZADC= 90° E、F 分別是 BC, CD上的點.且ZmF=60° .探究圖中線段旺BE, R之間的數(shù)量關系.小明同學探究的方法是：延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)&G,先證明ABE ADG,再 證明AAE ' AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)：如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD. Z+Z D=180o , E、F分別是BC,

2、CD上的點， 且ZEAF是ZaAD的二分之一，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.(3)如圖3,四邊形A3CD是邊長為5的正方形，ZEBF=45° ,直接寫出三角形DEF的周 長【解析】【分析】(1) 如圖1,延長FD到G,使得DG=DC,先證AABEADGf得到AE=AGfZBAE=ZDAG,進一步根據(jù)題意得ZEAF=ZGAF,再證明 AEFAGF,得到EUFG,最后 運用線段的和差證明即可. 如圖2,延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,證得 AB駁 4DG,得到AE=AG, 上BAE=Z DAG,再結(jié)合題意得到ZEAF=Z GAF,再證明 &曰竺 AGF,得到EQFG,

3、最后運 用線段的和差證明即可.(3)如圖3,延長DC到點G,截取CG=AE.連接BG,先證 AEB旻心CG3,得到BE=BG9 ZABENCBG,結(jié)合已知條件得Z CBF+Z CBG=45。,再證明'EBF里世GBF,得到 EF=FG,最后求三角形的周長即可.【詳解】解答：(1)解：如圖1,延長FD到G,使得DG=DC在厶ABE和ZADG中，DC = DG. < ZB = ZADGAB = AD ABE 厶 ADG (SAS),/. AE=AG9 ZBAF=ZD4G,1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=乙 DAG+Z DAF=乙 B&E+Z DAF=乙 BAD乙

4、 EAF=Z EAl：.Z EAF=乙 GAF,/EAAEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF ,AF = AF AEF 厶 AGF (SAS), EF=FG9T FG=DGWF=BEWF9：.EF=BEWF;故答案為：EF=BEWF(2 )解：結(jié)論EF=BEWF仍然成立：理由：如圖2,延長FD到點G.使DG=BE連結(jié)AG在ZXABF和厶ADG中,DG =BE< ZB =ZADG ,AB =AD ABE厶 ADG (SAS)/. AE=AG. ZBAE=A DAG.1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=Z D&G+Z DAF=A BAE

5、DAF=乙 BAD2 EAF=Z EAF、：.Z EAF=Z GAF9±,AEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF tAF = AF AEF 心 AGF (.SAS), EF=FG9 FG=DGWF=BEWF,：.EF=BEWF,(3)解：如圖3,延長DC到點G,截取CG=AE,連接3G, 在ZXAEB 與 ACGB 中， AEB 厶 CGB (SAS), BE=BG9 ZABE=A CBG./ Z EBF=45o , ZABC=90c ,/. Z ABE+ Cf=45o , Z CBF+Z CBG=45° 在ZkEBF 與ZkGBF 中，

6、BE = BG. < ZEBF = AGBF ,BF = BF EBF里 GBF (SAS), EF=GF9 DEF 的周長=EF+ED+CF=AE+CF十DE+DF=AD+CD=10【點睛】本題主要考査了三角形全等的判定和性質(zhì)，靈活運用全等三角形的性質(zhì)和判定是解答本題 的關鍵但本題分為三問，難度不斷增加，對提升思維能力大有好處.2(1)如圖1,在Rt ABC中，AB = AC f DS E是斜邊BC上兩動點，且 ZDAE=45c ,將ZkABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到'肛C、連接DF.(1) 試說明：AAED AFD ；(2) 當BE=3,CE=9時，求ZBCF的度數(shù)和DE

7、的長；(3) 如圖2 , ABC和ZADE都是等腰直角三角形，ZBAC=Z DAE=90o , D是斜邊BC所在 直線上一點，BD二3,BC=8,求DE?的長.【解析】試題分析： 由MBE企AFC,得到AE = AF, ABAE = ZCAF, ZEAD = 45 ZBAE+ ZCAD = 45 , /. ZCAF + ZCAD = 45 , H卩 ZDAF = 45°. ZEAD = ZDAF,從而得到公AEDl,AFD.(2) 由ZkMZZa4FD得到Q = FD，再證明ZZ)CF = 90°,利用勾股泄理即可得出結(jié) 論.(3) 過點A作AH丄BC于H,根據(jù)等腰三角形三

8、線合一得，AH = BH=BC = DH = BH-BD = X 或 DH = BH + BD = 7,求岀 &£)的長，即可求得 DEI 試題解析：(1) aABE9zu4FC,AE = AF, ZBAE = ZCAF,. ZEAD = 4亍，ZBAC = 90 ,. ZBAE + ZCAD =：.ZCAF+ ZCAD = 45 ,即 ZDAF = 45'.AF = AE在 AEQ 和 ZVlFD 中，ZE4F = ZDAEAD = AD,AEDAFD.(2) ; MED竺“FD,. ED = FD,. AB = ACBAC = 90°. ZB = ZAC

9、B = 45。，VZACF = 45°,AZBCF = 90°.設 DE = XDF = DE = X,CD = 9-x. FC = BE = 3. FC2+ DC2 = DF2i .32+(9-x)2=x2.解得：x = 5.故 DE = 5.(3) 過點A作AH丄BC于H,根據(jù)等腰三角形三線合一得,AH = BH = LBC = 4.2DH = BH-BD = X 或 DH = BH+ BD = IAD2 =AH2+DH2 =H 或65.DE2 = 2 AD2 = 34 或 130.點睛：D是斜邊BC所在直線上一點,注意分類討論.3. 在四邊形ABCD中，E為BC邊中點

10、.(I )已知：如圖，若處平分Z BAD, Z AED=900,點F為AD上一點,AF=AB.求證:(1) ABE AFE- ( 2 ) AD=AB+CD()已知：如圖，若處平分Z BAD, DE平分ADC, AAED=I20°,點、F, G均為AD上的 點，AF=ABt GD=CD.求證：(I ) GEF 為等邊三角形;(2) AD=AB+ - BC+CD.【答案】(I) CL)證明見解析：(2)證明見解析：() (1)證明見解析；(2)證 明見解析.【解析】【分析】(I ) (1)運用SAS證明AABEAFE即可：(2) 由(1)得出ZAEB二ZAEF, BE=EF,再證明2DE

11、F9kDEC (SAS),得出 DF=DC,即可 得出結(jié)論：() (1)同(I) (1)得ABEAFE (SAS) , DGEDCE (SAS),由全等三角 形的性質(zhì)得出BE=FE, ZAEB=ZAEF, CE=GE, ZCED=ZGED,進而證明HFG是等邊三角 形：(2)由AEFG是等邊三角形得出GF=EE=BE=IBCf即可得出結(jié)論2【詳解】(I )(1) VAE 平分 ZBAD,AZBAE=Z FAE,在AABE和AAFE中，AB=AF< ZBAE=ZFAE,AE=AE'ABE竺ZkAFE (SAS),(2) VABEAFE, ZAEB=ZAEf, BE=EF,TE為BC

12、的中點,BE=CE,FE=CE,. ZAED=ZAEF+ZDEF=90%ZAEB+ZDEC=90o, ZDEf=ZDEC,在DEF和DEC中，F(xiàn)E=CE-ZDEF=ZDEC ,DE=DEDEFDEC (SAS),DF=DC,VAD=AF+DF,AD=AB+CD;() <1) TE為BC的中點,1ABE=CE=-BC,2同(I ) (I)得：ABEAFE (SAS),DEGDEC (SAS),BE=FE, ZAEB=ZAEFt CE=GE, ZCED=ZGED,VBE=CE, FE=GE./ ZAED=I20 ZAEB+ZCED=180o-120o=60o, ZAEF+ZGED=60o,Z

13、GEF=60o,EFG是等邊三角形，(2> VEFG是等邊三角形，1AGF=EF=BE=-BC,2VAD=AF+FG+G Dt1AAD=AB+CD+-BC.2【點睛】本題考查了全等三角形的判龍與性質(zhì)、等邊三角形的判左與性質(zhì)等知識：熟練掌握等邊三 角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵.4. 如圖，ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交4C于F,交AC的平行線BG于 G點，DE丄DO交AB于點&連結(jié)EG、EF(1) 求證：BG=CF;(2) 請你判斷BE+CF與FF的大小關系,并說明理由.【解析】(2) BECF>EF9 IiE明詳見解析【分析】(1) 先利用 A

14、SA HBGD CFD,從而得岀 BG=CFz(2) 利用全等的性質(zhì)可得GD=FD,再有DE丄GF,從而得到EG=EF,兩邊之和大于第三 邊從而得出BE+CF>EF.【詳解】解：(1) 9JBG/AC.： ZDBG=ZDCF.TD為BC的中點,：.BD=CD又. ZBDG=ZCDf, 任Abgd與Acfd中.ZDBG = ZDCF. BD = CDABDG = ZCDFBGDCFD (ASA)：.BG=CF.(2) BE+CF>EF： HBGD竺HCFD,GD=fD> BG=CF又： DE 丄 FG,：.EG=EF (垂直平分線到線段端點的距離相等).在ZkFBG 中，BE+

15、BG>EG即 BE+CF>EF.【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要注意判立三角形全等的一般方法有：sss、SAS、AAS. ASA、HL5. 如圖，A (0, 4)是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發(fā)，沿X軸正半軸運 動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰RtPB.設P點的 運動時間為r秒.（2）設點A關于X軸的對稱點為A,連接AB,在點P運動的過程中，ZOKB的度數(shù)是否 會發(fā)生變化，若不變，請求出ZOA1B的度數(shù)，若改變，請說明理由.（3）如圖2,當r=3時，坐標平而內(nèi)有一點M （不與A重合）使得以M、P、B為頂點的 三角形和AABP全等，請

16、直接寫出點M的坐標.【答案】（1）4； （2） ZOA1B的度數(shù)不變，ZoAB=45°，理由見解析：（3點M的坐 標為（6, - 4） ,（4, 7） ,（10, - 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，可證明AAOP為等腰直角三角形，從 而求得答案：（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)得：PA=PAt=PB,由ZPAB+ZPBA = 90°,結(jié)合三角形內(nèi)角和左理即 可求得 ZOB=45°（3）分類討論：分別討論當 ABPMBP. 'ABPmbMPB、ABP93PB時，點M的 坐標的情況：過點M作X軸的垂線、過點B作y軸的垂線，利用等腰直角

17、三角形的性質(zhì)及 全等三角形的判左和性質(zhì)求得點M的坐標即可.【詳解】（1）tJAB/P3為等腰直角三角形，：,ZPAB=ZPBA = ZAPO=45°,.,.OP為等腰直角三角形，.0A = 0P=4.t=4÷l=4 （秒），故t的值為4.（2）如圖2, ZOA1B的度數(shù)不變，ZoA3=45。，點q關于X軸的對稱點為a,.9.PA = PA,又 AP=PB9：.PA=PAI = PBf：.ZPAAl = ZPAlAt ZPBAt = ZPA1B.又 VZ4+ZP>4 = 90 ZPAAZPA,AZPAtBZPBAl= ISQO-(ZPAB+ ZPBA)= 180

18、6;-90°=90% ZA4,8=45o,即 ZOAB=45。；(3)當r=3時，M、P、3為頂點的三角形和AABP全等, 如圖3,若"BP9kM8P,則AP=PM,過點M作MD丄OP于點D,V ZAOP= ZPDM9 ZAPO=ZDPm,：.AOPMDP (AAS),0A = DM=4, OP=PD=39 如圖 4,若aABP9AMPB,則 AB = PM，過點M作ME丄X軸于點E ,過點3作BG丄X軸于點G ,過點B作BF丄軸于點F，VAPB為等腰直角三角形，則AMPB也為等腰直角三角形，：.ZBAP=ZMPB=45° , PA = PB Zl + Z3 =

19、90o = Z2 + Z3,Zl = Z2.,.RIAOP = RIPGB：.BG = OP = 3, PG = AO = 4V BG丄X軸，BF丄V軸四邊形BGoF為矩形，OP = BG = 3,則AF = OA-OF = 4-3 = BF = OG = OP+PG = 3+4T在 Ri SBF 和 RePME 中Z8M=45° + Z1, ZMPE=45° + Z2,：.ZBAF=ZMPE AB = PM RGABF = R2 PME： ME = BF = I PE = AF = X.M的坐標為：（4, 7）, 如圖 5,若ABPAMPBt 則 AB = PM，過點M作

20、ME丄X軸于點£>,過點3作BG丄X軸于點E ,過點3作BF丄軸于點F ,VP為等腰直角三角形，則AMPB也為等腰直角三角形，. ZBAP= ZMPB=45° , PA = PBV Zl + Z3 = 90o = Z2 + Z3,Zl = Z2 RGAoP 三 RgPEB： BE = OP = 3, PE = AO = 4： BE丄X軸，BF丄）'軸.四邊形BEoF為矩形，：OP = BG = 3,則AF = OA-OF = 4-3 = BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7 RIABF 和 RePMD 中 BF丄，軸Z4 = Z2V Z4+zAB

21、F = a+ZPMD ZABF = ZPMDJ AB = PM.,.RZABF R2 PMD MD = AF = L PD = BF = I：.M的坐標為：(10, - 1)【點睛本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判肚和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，第（3）小題 要注意分類討論，作此類型的題要結(jié)合圖形，構(gòu)建適當?shù)妮o助線，尋找相等的量才能得出 結(jié)論二. 八年級數(shù)學軸對稱解答題壓軸題（難）6. 如圖，將兩個全等的直角三角形ABD. MCE拼在一起（圖1）MBD不動,（1）若將"CE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DO M是DE的中點，連接MB、MC （圖2）, 證明：MB=MC.（2）若將圖1中的

22、CE向上平移，ZCAE不變，連接DE, M是DE的中點，連接MB、MC （圖3 ）,判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)疑關系.（3）在（2）中，若ZCAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的MB、MC的 數(shù)量關系還成立嗎？說明理由.【答案】（1）見解析：（2） MB=MC.理由見解析；（3） MB=MC還成立，見解析.【解析】【分析】（1）連接AM,根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得AD=AE. AB=AC,全等三角形對應角相等 可得ZBAD二ZCAE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到ZMAD=ZMAe,然后利用“邊角 邊”證明AABM和AACM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證：（2）

23、延長DB、AE相交于E',延長EC交AD于F,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到 BD=BE',然后求岀MBAE,再根拯兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出ZMBC二ZCAE,同理求 出MeAD,根據(jù)兩直線平行，同位角相等求岀ZBCM=ZBAD,然后求岀ZMBC=ZBCM,再根 據(jù)等角對等邊即可得證；（3）延長BM交CE于F,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得ZMDB=ZMEF, ZMBD=ZMFE, 然后利用“角角邊”證明AMDB和AMEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MB=MF,然 后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可.【詳解】（1）如圖（2）,連接AM.由已知得ZXMD

24、竺ACE t AD=AE I AB=AC t Z BAD=Z CAE.T MD=ME I：.Z MAD=A MAE t：.Z MAD丄 BAD=A MAE CAE I即 zbam= cam.在 ZABM 和 Z4CM 中，AB=AC tZ BAM=乙 CAM rAM=AM J ABM 厶 ACM ( SAS ) f MB=MC.(2 ) MB=MC 理由如下：如圖(3),延長CM交D3于F,延長BM到G,使得MG=BMt連接CG.(3) CfIl BD t：.Z MfC=Z MDF t Z MCe=Z MFDTM是ED的中點， MD=ME. MCE 和ZkMFD 中，Z MCE=A MFD I

25、Z MEC=Z MDF IMD=ME I MCE里厶MFD ( AAS ) MF=MC.：.在厶MFB和ZkMCG中,MF=MC tZ FMB=Z CMG tBM=MG I MFB里厶MCG ( SAS ) FB=GC t Z MFB二Z MCG IA CGIl BD.即G、CX F在同一條直線上. Z GC=90o. FBC 和ZGCB 中，F(xiàn)B=GC tZ FSC=Z GCB IBC=CB , FBd GCB ( SAS ) FC=GB.11. MB=-GB=-FC=MC.22(3 ) MB=MC還成立.如圖(4),延長交CE于F,延長CM到G,使得MG=CM.連接3G.(4) CfIl

26、BD t：.Z MDB= MEF I Z MBD=Z MFE又TM是DE的中點， MD=ME.在ZkMDB 和ZMEF 中.Z MDB二Z MEF tZ MBD=Z MFE tMD=ME I：. MDB里 ' MEF (AAS ), MB=MF.T CfIl BD t：.Z FCM=Z BGM1 FCM 和 ZXBGM 中，CM=MG IZ CMUZ GMB IMF=MB t：. FCM里心 BGM ( SAS ) CF=BG f Z FCM=乙 BGM. CF/BG,即D、B、G在同一條直線上.1 CFB 和厶BGC 中，CF=BG tZ FCS=Z GBC ICB=BCt：. CF

27、B里 BGC ( SAS )BF=CG1 1 MC=-CG=-BF=MB 2 2【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的中位線左理，綜合性較 強，但難度不大，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形或全等三角形是解題的關鍵.7. (問題情境)學習探索全等三角形條件后，老師提出了如下問題：如圖，ABC 中，若AB=12, AC=S,求BC邊上的中線AD的取值范圉.同學通過合作交流，得到了如下 的解決方法：延長AD到E,使DE=AD,連接BE根據(jù)SAS可證得到ADCEDB,從而根拯"三角形的三邊關系&

28、quot;可求得AD的取值范圍是.解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”"中線"等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同 一個三角形中圖1圖2圖3(直接運用)如圖，AB丄AC, AD±AE, AB二AC, AD=AE, AF是ACD的邊CD上中線求 證：BE=2AF.(靈活運用)如圖，在MBC中，ZC=90。，D為AB的中點，DE丄DF, DE交AC于點E, DF交AB于點F,連接EF,試判斷以線段AE、BF、EF為邊的三角形形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)2<AD<10;(2)見解析(3)為直角三角形，理由見解析.【解析

29、】【分析】(1) 根據(jù)EDB,得到BE=AC=8,再根據(jù)三角形的構(gòu)成三角形得到AE的取值，再 根據(jù)D為AE中點得到AD的取值；(2) 延長 AF 到 H, AF=HF,故 ADF幻 HCF, AH=2AF,由 AB丄AC, AD丄AE,得到 ZBAE+ZCAD=180° , XZACH+ ZCAH+ ZAHC=I80°,根據(jù)ZD=ZFCH, ZDAF=ZCHF,得 到ZACH+ZCAD=180% 故ZBAE=ACH,再根據(jù) AB=AC. AD=AE 即可利用 SASi正明 BAE ACH,故 BE=AH,故可證明 BE=2AR(3) 延長FD到點G,使DG=FD,連結(jié)GA,

30、 GE,證明 DBFDAGt故得到FD=GD, BF=AGZ由DE丄DF,得到EF=EGZ再求出ZEAG=90°,利用勾股圧理即可求解.【詳解】(1) V ADC EDB.ABE=AC=8,VAB=I2 12-8<AE<12+8,即 4<AEV20,TD為AE中點2<AD<10;(2) 延長 AF 到 H,使 AF=HF,由題意得2ADF9ZkHCF,故 AH=2AF>VAB±AC, AD±AE,ZBAE+ZCAD=180j t又 ZACH+ZCAH+ZAHC=180%VZD=ZFCH, ZDAF=ZCHF, ZACH+Z CA

31、D二 180°,故 ZBAE=ACHt又 AB=AC, AD=AEBAE ACH (SAS),故 BE=AH,又 AH=2AFBE= 2AF.(3) 以線段AE、BF、EF為邊的三角形為直角三角形，理由如下:延長FD到點G,使DG=FD,連結(jié)GA, GE由題意得厶DBFADG,FD=GD, BF=AGzT DE 丄 DF,ADE垂直平分GF,EF=EG,. ZC=90%ZB+Z CAB=90%又 ZB=ZDAGtZDAG+ZCAB=90oZEAG=90o,故 EG2=AE2+AG2,VEF=EGj BF=AGEF2=AE2+BFS則以線段AE、BF. EF為邊的三角形為直角三角形【點

32、睛】此題主要考査全等三角形的判立與性質(zhì)，解題的關鍵是根拯題意作出輔助線，根據(jù)垂直平 分線與勾股定理進行求解.8. 知識背景：我們在第十一章三角形中學習了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章 全等三角形中學習了全等三角形的性質(zhì)和判圧，在第十三章軸對稱中學習了等腰 三角形的性質(zhì)和判肚在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題.問題：如圖1, ABC是等腰三角形，ZBAC = 90。，D是BC的中點，以AD為腰作等 腰aADE,且滿足ZDAE = 90°,連接CE并延長交34的延長線于點F ,試探究BC與 CF之間的數(shù)量關系.圖1發(fā)現(xiàn)：（1） BC與CF之間的數(shù)量關系為_探究：（2）

33、如圖2,當點D是線段BC上任意一點（除3、C外）時，英他條件不變, 試猜想BC與CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論.圖2拓展：（3）當點D在線段BC的延長線上時，在備用圖中補全圖形，并直接寫出ABCF 的形狀備用圖【答案】（1） BC = CF; （2） BC = CF ,證明見解析：（3）畫圖見解析，等腰直角 三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得BC = CF ；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得.ABDACE（SASY再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及 等角對等邊即可證明：（3）作出圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易iE.a4BD竺CE（SqS）,進而根據(jù)角度的代換，得岀結(jié)論.【詳解】解：(

34、1) BC = CF.VABC是等腰三角形，且ZBAC = 90。，:.AB = AC, ZB = ZACB = 45。. ZDAE = 90° ,.DAE = BAC,. ZDAE - ZDAC = ZBAC - ZDAC,.ZBAD = ZCAE. ADE是以AD為腰的等腰三角形，.AD = AE.在 AABD 與ZACE中，AB = AC, ABAD = ACAE , AD = AE, :ABDACE(SAS),:.ZACE = ZB = Q.VZACB = 45°,. ABCF = ZACB+ZACE = 90°,.ZB + ZF = 90°,.

35、 ZF = 45°,.-.ZB = ZF,BC = CF.(2) BC = CF.證明：mABC是等腰三角形，且ZBAC = 90°.:.AB = AC, ZB = ZACB = 45。. ZzME = 90。，.乙 DAE =乙 BAC,:.ZDAE - ZDC = ZBAC - ZDAC,:.ZBAD = ZCAE.APE是以AD為腰的等腰三角形，.AD = AE-在 AABr)與 AACE中，AB = AC, ZBAD = ACAE , AD = AE, .ABDACE(SASY:.ZACE = AB = SQ.VZACB = 45°,. ZBCF = ZA

36、CB+ZACE = 90°,.ZB + ZF = 90°,. ZF = 45°,.ZB = ZF,BC = CF.（3） ABCF是等腰直角三角形.提示：如圖，ABC是等腰三角形，ZBAC = 90°,:.AB = ACf ZB = ZACB = 45。. ZDAE = 90° ,.乙 DAE =乙 BAC,:.ZDAE+ZDAC = ZBAC+ZDAC ,.ZBAD = ZCAE.APE是以AD為腰的等腰三角形，.AD = AE.在 AABr)與ZVlCE中，AB = AC, ZBAD = ZCAE . AD = AE:ABDACE(SAS)

37、,:.ZACE = ZB = Q.VZACB = 45°,. ABCF = ZACB+ZACE = 90° . ZB+ ZBFC = 90°,. ZBFC = 45。,. ZB = ZBFC,BCF是等腰三角形，. ZBCF = 90。，ZCF是等腰直角三角形.【點睛】本題考查等腰三角形及全等三角形的性質(zhì)，熟練運用角度等量代換及等腰三角形的性質(zhì)是 解題的關鍵.9. 如圖，已知MBC（AB < AC < BC）,請用無刻度直尺和圓規(guī)，完成下列作圖（不要 求寫作法，保留作圖痕跡）：圖圖（1）在邊BC上找一點M ,使得：將ABC沿著過點M的某一條直線折疊，點

38、3與點 C能重合，請在圖中作出點M ；（2）在邊BC上找一點N,使得：將ABC沿著過點N的某一條直線折疊，點“能落在 邊AC上的點D處，且M）丄AC ,請在圖中作出點N .【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.【解析】【分析】（1）作線段BC的垂直平分線，交BC于點M,即可；（2）過點B作BO丄BC,交CA的延長線于點O,作ZBOC的平分線交BC于點N,即 可.【詳解】（1）作線段Be的垂直平分線，交BC于點M,即為所求.點IVl如圖所示：（2）過點B作BO丄BC,交CA的延長線于點O,作ZBOC的平分線交BC于點N,即為 所求.點N如圖所示：【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，掌握尺規(guī)作線段的中垂線

39、和角平分線，是解題的關鍵.10. 如圖，在MBC中，已知AB = AC, AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上 一動點，點、P是AD上的一個動點.A（1）若 ZBAD = 3T > 求 ZACB 的度數(shù)；（2）若 BC = 6, AD = 4, AB = 5,且 CE丄 AB 時，求 CE 的長：（3）在（2）的條件下，請直接寫出BP+EP的最小值.2424【答案】（i） ZACB = 53°.（2） CE = -（3） =【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC是等腰三角形，/ACB = NABC .AD是BC邊的中線，有 AD丄BC,求岀NABC的度數(shù)，即可得岀NACB

40、的度數(shù).（2）根據(jù)三角形ABC的而積可得岀CE的長（3）連接CP,有BP=CP, BP+EP=EP+CP,當點E, P, C在同一條直線上時BP+EP有最 小值，即CE的長度.【詳解】解：（1） -AB = AC,:.ZACB = ZABC,Y AD是BC邊上的中線，. ZADB = 90 ,. ZBAD = 37',. ZABC = 90 37° =53°, . ZACB = 53°.(2) VCE丄AB, /. SMC =丄 BCAD = -AB CE,2 2.BC = 6 , AD = 4» AB = 5»ACE =(3)24T【

41、點睛】三角形的而積公式等，充分利用等本題考查的知識點主要有等腰三角形的“三線合一”腰三角形的“三線合一”是解題的關鍵三. 八年級數(shù)學整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11. 利用我們學過的知識，可以導岀下而這個等式：a2 +b2 +c2 - ab -be - ac = *（ 一/?），+ （b _ c）? + （C _（/）*.該等式從左到右的變形，不僅保持了結(jié)構(gòu)的對稱性，還體現(xiàn)了數(shù)學的和諧、簡潔美.（1）請你展開右邊檢驗這個等式的正確性：（2）利用上面的式子計算： 20182+20192+20202-2018x2019-2019×2020-2018×2020.【答案】

42、（1）見解析：（2） 3.【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和合并同類項的方法可以將等式右邊的式子進行化簡，從而可以得 出結(jié)論：（2）根據(jù)題目中的等式可以求得所求式子的值.【詳解】解：（1） - （a-b） 2+ （b-c） 2+ （c-a） 22=（a2-2ab+bz+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）2=× （ 2a2+2 b2+2c2-2a b-2 bc-2a C ）2=a2+b2+c2-ab-bcac, i½ a2+b2+c2-ab-bc-ac=- (a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-a)勺疋確:(2) 20182+20192+20202-2018&

43、#215;2019-2019×2020-2018×2020 =-× (2018-2019) 2+ (2019-2020) 2+ (2020-2018) 2J2=-× (1+1+4)2 =-X6 =3.【點睛】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確題意，熟練掌握完全平方公式并能靈活 運用 12圖是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形.（1）請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積：方法1： 方法2：（2）觀察圖請你寫出下列三個代數(shù)式：（m+n） 2,（m-n） 2, mn之間的等量關系._:(

44、3) 根據(jù)(2)題中的等量關系，解決：已知：a - b=5, ab= - 6,求：(a+b) ?的值:?nnn【答案】(i)(m-n) 2(m+n) 2-4mn；(2)(m-n) 2= (m+n) 2-4mn：(3) 1【解析】【分析】(1) 方法1：表示出陰影部分的邊長，然后利用正方形的而積公式列式：方法2：利用大正方形的而積減去四周四個矩形的面積列式：(2) 根據(jù)不同方法表示的陰影部分的而積相同解答：(3) 根據(jù)(2)的結(jié)論整體代入進行計算即可得解.【詳解】解：(1)方法2： 陰影部分的四條邊長都是m-n,是正方形，陰影部分的而積=(m-n) 2方法2： 陰影部分的而積=：大正方形的面積減

45、去四周四個矩形的而積陰影部分的面積=(m+n) Mmn；(2) 根據(jù)(1)中兩種計算陰影部分的面積方法可知(m-n) 2= (m+n) 2-4mn;(3) 由(2)可知(a+b) 2= (a-b) 2+4ab,.a-b=5, ab=-6, (a+b) 2= (a-b) 2+4ab=52+4× (-6) =25-24=1【點睛】本題考查幾何圖形與完全平方公式，應從整體和部分兩方而來理解完全平方公式的幾何意 義：主要圍繞圖形而積展開分析13. 仔細閱讀下而例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2-4x + m有一個因式是(X + 3),求另一個因式以及m的值. 解：設另一個因式為(x +

46、 n),得X2 -4x + m = (x + 3)(x + n)則 X2 -4x + m = x2 +(n + 3)x÷3n!n÷3一4m = 3n .解得：n = -7, m = -21另一個因式為(X7), m的值為_21問題：仿照以上方法解答下而問題：已知二次三項式2x2+3x-k有一個因式是(2x-5),求另一個因式以及k的值.【答案】(x+4), 20.【解析】【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個式子的關系，二次三項式2-4x + m的二次項系數(shù)是1，因式是 (x + 3)的一次項系數(shù)也是1,利用待泄系數(shù)法求岀另一個因式所求的式子2x2+3x-k 的二次項系數(shù)是2,因式

47、是(2x-5)的一次項系數(shù)是2,則另一個因式的一次項系數(shù)一泄是 1，利用待立系數(shù)法，就可以求出另一個因式.【詳解】解：設另一個因式為(x + a),得2x2 +3x-k = (2x-5)(x + a)則 2x' +3x-k = 2x2 +(2a-5)x-5a解得：a = 4, k = 20故另一個因式為(x+4), k的值為20【點睛】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關鍵.14. 對于任意兩個數(shù)b的大小比較，有下面的方法：當a-b>0時，一定有“>b：當 -b = 0時，一泄有a = b；當a-b< 0時，一定有a<b.反過來也成立.因此，我們

48、 把這種比較兩個數(shù)大小的方法叫做"求差法".請根據(jù)以上材料完成下而的題目：(1) 已知：A = 2y + 8y , B = t且A>B,試判斷的符號；(2) 已知：a、b、C為三角形的三邊，比較a2+c2-b2和2dc的大小.【答案】(1) y>0：(2) a2+c2-b2<2ac【解析】【分析】(1) 根據(jù)題意得到2y + 8y-8xy>O,因式分解得到2y(x-2)2>0,進而得到y(tǒng)的符 號即可；(2) 將a1+c1-b2和加C作差，結(jié)合已知及三角形的兩邊之和大于第三邊可求.【詳解】解：(1)因為A>B,所以A-B>O.即 2x

49、2y + 8y-8y >0,： 2y(x2 +4-4x) = 2y(x-2)2 >O, 因為(x-2)2O.y>O< 2)因為 a2-b2+c2-2ac=a2 + c2-2ac-b2 (a-c) 2-b2= (a-c-b)(a-c+b),Va + b>c, a<b + c.所以(a-c-b)(a-c+b) <0,所以a2-b2÷c2-2ac的符號為負., a2 +c2 -b2 < Iac【點睛】本題考查了作差法比較兩個式子的大小以及因式分解，解題的關鍵是理解題中的"求差 法”比較兩個數(shù)的大小，并熟練掌握因式分解的方法.15.

50、閱讀材料：要把多項式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它進行分組再因式分解： am+an+bm+bn= (am+an) + (bm+bn) =a (m+n) +b (n+n) = (+b)(m+n), 這種因式分解的方法叫做分組分解法.(1)請用上述方法因式分解：×2-y2+×-y< 2)已知四個實數(shù) a、b、c、d 同時滿足 a2+ac=12k, b2+bc=12k. c2+ac=24k, cf+ad=24k, 且 ab, cd, k0 求a+b+c的值； 請用含a的代數(shù)式分別表示b、c、d【答案】(2)(x-y) (x+y+l) : (2) d+b + C

51、= O ：/? = 3d, C = M ,d=-3a【解析】【分析】(1) 將Jy2分為一組，x-y分為一組，前一組利用平方差公式化為x+y)(×-y),再提取公因 式即可求解.(2) 已知a2+ac = b2+bc=12k,可得a2-b2+ac-bc = 0將等號左邊參照(1)因 式分解，即可求解.由 a2+ac=12k. c2+ac=24k 可得 2(a2+ac)= c2+ac,即可得岀 c=2a,同理得岀 b = 3d、d = -3a【詳解】(1) ×2-y2+×-y = (x? -,)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+l)

52、故答案為：(×-y)(×+y+l)(2) / + CIC = b' + be =12ka2 -IyL +ac-bc = 0(-b)( + Z? +C) = OT a Kb： d+b+C = O/a2+ac=12k, c2+ac=24k2(a2+ac)= c2+ac2a2+ac- c2=0得(2a-c)(a+c)=0Va2+ac=12k0 即 a(a+c)Oc=2a, a2=4kV b2+bc=12k: b2+2ba=3a2則(-b) (3+b) =OVab° b = 3d同理可得 d2+ad=24kt c2+ac=24kd2+ad=c2+ac(d-c) (

53、+d+c) =O9cd: a + d + c = 0: d = 3a故答案為：a+b+c = O: b = 3a, c = 2d, d = -3c【點睛】本題考查了用提取公因式法、運用公式法、分組分解法進行因式分解.四、八年級數(shù)學分式解答題壓軸題(難)W -1 a.x+12x16. 已知：M = r N =2 x + (1) 當X > O時，判斷M-N與O的關系，并說明理由；(2) 設y = +N M 當y = 3時，求X的值； 若X是整數(shù)，求y的正整數(shù)值.【答案】(I)見解析；(2)1；4或3或1【解析】【分析】(1) 作差后,根據(jù)分式方程的加減法法則計算即可；(2 ) (DffiM、

54、W代入整理得到八解分式方程即可；2把煙形為：y = 2 +丄，由于X為整數(shù)，y為整數(shù)，則兀+ 1可以取±2 ,然后一一檢 x+1驗即可【詳解】(1 )當X>0時t N0 .理由如下：M-N=x + 1 2x2x + = IiZIr2(x + l)t X >0 , ：. (x-l)20 , 2(x+l)>O ,學丄02(x + l)M-OZ 、g= z_4 2x 2x + 4(2) 依題意，得：y =+=x+1x+1 +12 v4當y = 3 ,即- = 3時，解得：X = I經(jīng)檢驗，X = I是原分式方程的解，當尸3 x + 1時,X的值是1 .2x + 4 2x + 2 + 2 C 2=2 +x+1x+x+12 $ y是整數(shù)， 是整數(shù)，x+可以取±2x + l當x+l=l f 即 X = O 時，2嚴2 +廠4>02當÷l= - 1 時，即x = -2時，y = 2- = 0 (舍去)；) = l>0當x+l=2時z即兀=1時， 當+l= - 2時，即 X =-3 時，